Первообразная функция и неопределённый интеграл

Размещено на http://www.allbest.ru/

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Определение первообразной функции:

Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ? Х выполняется равенство: F?(x) = f (x)

Можно прочесть двумя способами:

f производная функции F

F первообразная для функции f

Свойство первообразных:

Если F(x) -- первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С, где С -- произвольная постоянная.

Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если F(x) -- первообразная для f(x), а G(x) -- первообразная для g(x), то F(x) + G(x) -- первообразная для f(x) + g(x).

Постоянный множитель можно выносить за знак производной. Если F(x) -- первообразная для f(x), и k -- постоянная, то k·F(x) -- первообразная для k·f(x).

Если F(x) -- первообразная для f(x), и k, b -- постоянные, причём k ? 0, то 1/k · F(kx + b) -- первообразная для f(kx + b).

Любая функция F(x) = х2 + С, где С -- произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х.

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так:

?f(x)dx=F(x)+C\int f(x) dx = F(x) + C ?f(x)dx=F(x)+C

где

f(x) -- называют подынтегральной функцией;

f(x) dx-- называют подынтегральным выражением;

x -- называют переменной интегрирования;

F(x) -- одна из первообразных функции f(x);

С -- произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

(?f(x)dx)?=f(x)(\int f(x) dx)\prime= f(x)(?f(x)dx)?=f(x).

Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:

?k?f(x)dx=k??f(x)dx \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx?k?f(x)dx=k??f(x)dx.

Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:

?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx.

Если k, b -- постоянные, причём k ? 0, то ?f(kx+b)dx=1k?F(kx+b)+C \int f(kx + b) dx = \frac { 1 } { k } \cdot F(kx + b) + C ?f(kx+b)dx=k1?F(kx+b)+C.

Интегрирование.

Интеграл -- одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть -- двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и так далее; также существуют разные подходы к определению интеграла -- различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие.

Методы нахождения неопределенных интегралов: приведение к табличному виду и метод замены переменной, интегрирование по частям.

В математическом анализе большое значение имеет преобразование дифференциалов. Задачей интегрирования является сведение функции за знак дифференциала. Существует таблица интегралов в дифференциальной форме, устанавливающая связь между дифференциалами - бесконечно малыми приращениями.

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x, переходим к другой переменной, которую обозначим как t. При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t), или t = t(x). Например, x = ln t,   x = sin t,   t = 2x + 1, и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t, чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u и v являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x (символ после знака дифференциала d в конце записи интеграла) . Тогда u и v являются функциями от x: u(x) и v(x).

Определённый интеграл, его применение для вычисления площадей фигур и работы переменной силы.

Определённый интеграл -- одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм). Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции.

В терминах функционального анализа, определённый интеграл -- аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая -- область в множестве задания этой функции (функционала). Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).

интеграл первообразный функция

.

Рис. 1 - Площадь криволинейной трапеции

Первый способ.

Разбили отрезок на  одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью по ступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили  в пределе и получили искомую площадь S. Ввели обозначение .

Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.

Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:

Рис. 2 - Функция S (x)

Ввели функцию . Каждому площадь под соответствующей частью кривой . Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:

Каждому  соответствует единственное значение .

Мы доказали, что производная этой же функции  и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функциии взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке  и отнять первообразную в точке  И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.

.

Вычисление определенных интегралов, правило Ньютона-Лейбница.

Когда функция y=y(x) является непрерывной из отрезка [a; b] ,а F(x) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так ?baf(x)dx=F(b)?F(a).

Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.

Примеры использования интегрального исчисления в медицинских задачах строительстве

За первые 13 дней химиотерапии масса злокачественного новообразования уменьшалась со скоростьюграмм в день.

Какова масса опухоли на десятый день лечения, если начальная ее масса равнялась 180 грамм?

Решение

Ответ: 175 грамм.

Количество миллиграмм тетрациклина m(t), поступающее в кровоток черезt минут после приема таблетки определяется скоростью его поступления. Какое количество тетрациклина окажется в крови через 15 минут после приема, если скорость его поступления подчиняется законумг/мин.?

Проводим интегрирование по частям. Положим u=3t, , тогда du=3dt, а . Используя формулу, решим нашу задачу.

Ответ 18,2мг

Размещено на Allbest.ru