Размещено на http://www.allbest.ru

Курсовая работа

по алгебре

ТЕМА: «Алгебраические уравнения второй, третьей и четвертой степени»

Выполнила: Муртазова Дениза Беслановна

Студентка 2 курса (МИ -19.2)

Руководитель: Джамбетов Эльман Махмудович

Грозный 2020



СОДЕРЖАНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ, ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
• 1.1 Алгебраические уравнения второй степени
• 1.2 Алгебраические уравнения третьей степени
• 1.3 Алгебраические уравнения четвертой степени
• ГЛАВА 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ, ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
• 2.1 Примеры решения уравнений второй степени
• 2.2 Примеры решения уравнений третьей степени
• 2.3 Примеры решения уравнений четвертой степени
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


ВВЕДЕНИЕ

Уравнения. Можно утверждать наверняка, что не найдется ни одного человека, который бы не был знаком с ними. Дети сызмала начинают решать «задачи с иксом». Дальше - больше. Правда, для многих знакомство с уравнениями и заканчивается школьными делами. Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения.

Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, т.е., решали бы уравнение в радикалах. Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи - в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашел! Только в XVI веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше - найти формулы для n = 3 и 4. История их открытий и даже авторство найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесь выяснять сложные отношения между Ферро, Кардано, Тартальей и Феррари, а изложим лучше математическую суть дела.

Цель работы - исследовать различные методы решения уравнений второй, третьей и четвертой степени.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:

-анализ научной литературы;

-анализ школьных учебников;

-подбор примеров для решения;

-решение уравнений различными методами.

Работа состоит из двух глав. В первой рассматриваются различные виды уравнений второй, третьей и четвертой степени. Вторая глава посвящена решению уравнений различными способами.

Объект исследования: уравнения второй, третьей и четвертой степени.

Предмет исследования: способы решения уравнений второй, третьей и четвертой степени.

Методы исследования:

теоретические: изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов;

анализ полученной информации;

сравнение способов решения уравнений

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Решение уравнений высших степеней -- история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней. Только в 11 веке таджикский поэт и ученый Омар Хайям впервые решил уравнение третей степени. Установить, существует ли формула для нахождения корней любого уравнения, пытались многие. В конце 18 века французский ученый Луи Лагранж пытался доказать невозможность алгоритма общих уравнений, а вначале 19 века француз Галуа развил идею Лагранжа.

С тех пор математика пошла другим путем. Ученые стали искать другие методы решения уравнений высших степеней.

Уравнения разных степеней

Ровесник Леонардо да Винчи, профессор Сципион дель Ферро из Болоньи (ум.1526) посвятил всю жизнь решению различных алгебраических уравнений. Затруднения, связанные с неудобными обозначениями неизвестных величин, были огромны.

Как мы показали выше, важнейшие достижения математиков средневековой Европы относились к области алгебры, к усовершенствованию ее аппарата и символики. Региомонтан обогатил понятие числа, введя радикалы и операции над ними. Это позволяло ставить проблему решения возможно более широкого класса уравнений в радикалах. И в этой именно области были достигнуты первые успехи - решены в радикалах уравнения 3-й и 4-й степени.

Ход событий, связанных с этим открытием, освещается в литературе разноречиво. В основном он таков. Профессор университета в Болонье Сципион дель Ферро вывел формулу для нахождения положительного корня конкретных уравнений вида

алгебраический уравнение степень корень

х³ + рх = q (p›0, q ›0).

Он держал ее в тайне, приберегая как оружие против своих противников в научных диспутах, но перед смертью сообщил эту тайну своему родственнику и преемнику по должности Аннибалу делла Наве и ученику своему - Фиоре.

В начале 1535 года должен был состояться научный поединок между Фиоре с Николо Тарталья (1500-1557). Последний был талантливым ученым, выходцем из бедной семьи, зарабатывавшим себе на жизнь преподаванием математики и механики в городах Северной Италии. Узнав, что Фиоре владеет формулой Ферро и готовит своему противнику задачи на решение кубических уравнений, Тарталья сумел заново открыть эту формулу.

На диспуте Фиоре предложил Тарталье несколько вопросов, требующих умения решать уравнения третьей степени. Но Тарталья уже нашел раньше сам решение таких уравнений и, мало того, не только одного того частного случая, который был решен Ферро, но и двух других частных случаев. Тарталья принял вызов и сам предложил Фиоре свои задачи. Результатом состязания было полное поражение последнего. Тарталья решил предложенные ему задачи в продолжение двух часов, между тем как Фиоре не мог решить ни одной задачи, предложенной ему (с обеих сторон было 30 задач).

Вскоре Тарталья смог решать уравнения вида

х ³ = рх + q (p›0, q ›0).

Наконец он сообщил, что уравнения вида

х ³ + q = px

сводятся к предыдущему виду, но не дал способа сведения. Тарталья долго не публиковал своего результата. Причин этому было две: во-первых, та же причина, которая останавливала и Ферро. Во-вторых, невозможность справиться с неприводимым случаем. Последний состоит в том, что есть уравнения

х ³ = рх +

q которые имеют действительный положительный корень. Однако формула Тартальи не давала решения в том случае, когда надо было извлекать корень из отрицательных чисел, так как не было возможности правильно трактовать мнимые числа, получающиеся при этом. Неприводимый случай появлялся у Тартальи и в уравнениях вида

х ³ + q = px.

Однако его труд не пропал даром. С 1539 года кубическими уравнениями начинает заниматься Кардано (1501-1576). Услышав об открытии Тартальи, он приложил много усилий, чтобы выманить тайну у осторожного и недоверчивого ученого для публикации в своей книге «Великое искусство, или о правилах алгебры». Только когда Кардано поклялся над Евангелием и дал честное слово дворянина, что не откроет способа Тартальи для решения уравнений и даже запишет его в виде непонятной анаграммы, Тарталья согласился раскрыть свою тайну. Он показал правила решений кубических уравнений, изложив их в стихах, причем довольно туманно.

Однако Кардано не только понял эти правила, но и нашел доказательства для них. Невзирая на данное им обещание, он опубликовал способ Тартальи, и способ этот известен до сих пор под именем «правила Кардана». А книга появилась в 1545 году.

Вскоре было открыто и решение уравнений 4-й степени. Итальянский математик Д. Колла предложил задачу, для решения которой известных до той поры правил были недостаточно, а требовалось умение решать биквадратные уравнения. Большинство математиков считало эту задачу неразрешимою. Но Кардано предложил ее своему ученику Луиджи Феррари, который решил задачу, и даже нашел способ решать уравнения 4-й степени вообще, сводя их к уравнениям 3-й степени.

Столь быстрые и поразительные успехи в нахождении формулы решения уравнений 3-й и 4-й степени поставили перед математиками проблему отыскания решений уравнений любых степеней. Огромное число попыток, усилия виднейших ученых не приносили успеха. В поисках протекло около 300 лет. Только в XIX веке Абель (1802-1829) доказал, что уравнения степени п›4, вообще говоря, в радикалах не решаются.

На пути создания общей теории алгебраических уравнений и способов их решения стояли еще два препятствия: сложность, неудобство получаемых формул и неразъясненность неприводимого случая. Первое составляло чисто практическое неудобство. Его Кардано устраняет, предлагая находить корни уравнений приближенно с помощью правила двух ложных положений, по существу применяемого и в наши дни в виде простой, или линейной, интерполяции. Второе препятствие имеет более глубокие корни, а попытки его преодоления привели к весьма важным следствиям.

Плодотворная и смелая попытка справиться с неприводимым случаем принадлежит итальянскому математику и инженеру Р. Бомбелли из Болоньи. В сочинении «Алгебра» (1572) он ввел формально правила действий над мнимыми и комплексными числами.



ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ, ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

1.1 Алгебраические уравнения второй степени

Основная теорема, доказанная в § 23 А. Г. Куроша, всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный, устанавливает для любого многочлена n-й степени с числовыми коэффициентами существование n комплексных корней. Ее доказательства (как приведенное l3h1ше, так и любые другие из ныне известных) не дают, однако, никаких методов для практического разыскания этих корней, являясь чистыми «доказательствами существования». Поиски таких методов начались, естественно, с попыток вывода формул, аналогичных формуле для решения квадратного уравнения, известной читателю для случая действительных коэффициентов из школьного курса алгебры. Мы покажем сейчас, что эта формула остается справедливой и для квадратных уравнений с комплексными коэффициентами и что аналогичные формулы, хотя и много более громоздкие, могут быть выведены для уравнений третьей и четвертой степени.

Пусть дано квадратное уравнение:

х²+px+q=0

с любыми комплексными коэффициентами; старший коэффициент без ограничения общности можно считать равным единице. Это уравнение можно переписать в виде:

) ² )=0

Как мы знаем, из комплексного числа можно извлечь квадратный корень, не выходя за пределы системы комплексных чисел. Два значения этого корня, отличающихся друг от друга лишь знаком, мы запишем в виде +

Поэтому

,

т. е. корни заданного уравнения можно находить по обычной формуле

х=-.

Пример: Решить уравнение

х² - 3х+(3-i) = 0

применяя выведенную формулу, получаем:

х = =

При помощи методов § 19 мы находим:

а поэтому =2+i, .

1.2 Алгебраические уравнения третьей степени

В отличие от случая квадратных уравнений, до сих пор у нас не было метода для решения кубичных уравнений даже в случае действительных коэффициентов.

Сейчас мы выведем для кубичных уравнений формулу, аналогичную формуле для квадратных уравнений, причем сразу допустим, что коэффициенты являются любыми комплексными числами.

Пусть дано кубичное уравнение

+ + bу +с=о (1)

с любыми комплексными коэффициентами. Заменяя в уравнении (1) неизвестное у новым неизвестным х, связанным с равенством

y= x- (2)

мы получим уравнение относительно неизвестного х, не содержащее, как легко проверить, квадрата этого неизвестного, т. е. уравнение вида

(3)

Если будут найдены корни уравнения (3), то, ввиду (2), мы получим и корни заданного уравнения (1). Нам остается, следовательно, научиться решать «неполное» кубичное уравнение (3) с любыми комплексными коэффициентами.

Уравнение (3) обладает по основной теореме тремя комплексными корнями. Пусть будет любой из этих корней. Введем вспомогательное неизвестное и и рассмотрим многочлен

f(u)=-

Его коэффициенты-комплексные числа, И поэтому он обладает двумя комплексными корнями б и в, причем, по формулам Вьета,

б + в=, (4) бв=- (5)



Подставляя в (3) выражение (4) корня , мы получим:

+Р +q= о

или

б³ + в³+ (3 бв + р) (б + в) +q= 0.

Однако из (5) следует

3 бв + р = 0, и поэтому мы получаем:

б³ + в³=-q (6) ,

C другой стороны, из (5) вытекает

б³в³= - (7)

Равенства (6) и (7) показывают, что числа б³ и в³ служат корнями квадратного уравнения

z²+ qz - = 0 (8)

с комплексными коэффициентами.

Решая уравнение (8), мы получим:



z=- откуда

б = , в = (9)

Мы приходим к следующей формуле Кардана, выражающей корни уравнения (3) через его коэффициенты при помощи квадратных и кубичных радикалов:

= = + в = . (10)

Так как кубичный радикал имеет в поле комплексных чисел три значения, то формулы (9) дают три значения или и три для в. Нельзя, однако, применяя формулу Кардано, комбинировать любое значение радикала с любым значением радикала в: для данного значения следует брать лишь то из трех значений в, которое удовлетворяет условию (5).

Пусть б₁ будет любое из трех значений радикала . Тогда два других можно получить, умножением б₁ на кубичные корни е и е² из единицы:

₂₌₁ е, ₃₌₁ е²

Обозначим через в₁ то из трех значений радикала в, которое соответствует значению радикала ₂ на основании (5), т. е.

₁ в₁=- .



Два других значения будут

₂ = ₁ е, ₃ = ₁ е²,

Так как, ввиду е³=1

б ₂₃= б ₁ е?₁ е²= б ₁ е₁ е³= б ₁₁₌- .

то значению б ₂ радикала б соответствует значение ₃ радикала ; аналогично значению б ₃ соответствует значение ₁.

1.3 Алгебраические уравнения четвертой степени

Решение уравнения четвертой степени

y⁴+ay³+by² +cy+d=0 (11)

с произвольными комплексными коэффициентами сводится к решению некоторого вспомогательного кубичного уравнения. Достигается это следующим методом, принадлежащим Феррари.

Предварительно уравнение (11) подстановкой

y=x-

приводится к виду:

x⁴+ рх² + qx + r = 0. (12)



Затем левая часть этого уравнения следующим образом тождественно преобразуется при помощи вспомогательного параметра б:

x⁴+ рх² + qx + r = (x²+ + б)² +qx + r- ² - pб или

(x²+ + б)² - [ ² - qx + (б² + pa - r + ) ]=0 (13)

Подберем теперь так, чтобы многочлен, стоящий в квадратных скобках, стал полным квадратом. Для этого он должен иметь один двукратный корень, т. е. должно иметь место равенство

q²- 4 •2 ( ²+ pa - r + )=0. (14)

Равенство (14) является кубичным уравнением относительно неизвестного с комплексными коэффициентами. Это уравнение имеет, как мы знаем, три комплексных корня. Пусть о будет один из них; он выражается ввиду формулы Кардано при помощи радикалов через коэффициенты уравнения (14), т. е. через коэффициенты уравнения (12).

При этом выборе значения для многочлен, стоящий в квадратных скобках в (13), имеет двукратный корень , и поэтому урав-нение (13) принимает вид:

(x²+)² - ² = 0 (15)

т. е. оно распадается на два квадратных уравнения



x² -, (16)

x² - (17)

Так как от уравнения (12) к уравнениям (17) мы пришли при помощи тождественных преобразований, то корни уравнений (17) будут служить корнями и для уравнения (12). Легко видеть вместе с тем, что корни уравнения (12) выражаются через коэффициенты при помощи радикалов. Мы не будем выписывать соответствующих формул ввиду их громоздкости и практической бесполезности, не станем также исследовать отдельно случай, когда уравнение (12) имеет действительные коэффициенты.



ГЛАВА 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ, ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

2.1 Решение уравнений второй степени

Алгебраическое уравнение второй степени записывается в общем виде так:

ах² + bx + c =0 (a?0),

обычно называется квадратным уравнением.

Коэффициенты уравнения называют:

- первым или старшим коэффициентом;

- вторым или средним коэффициентом;

- свободным членом (или третьим коэффициентом).

Так как число корней алгебраического уравнения в комплексной области равно степени уравнения, то следует ожидать, что квадратное уравнение будет иметь два корня. Поскольку мнимые корни всегда появляются парами (комплексно сопряженные корни), то имеется три возможности:

1) уравнение имеет два действительных (различных) корня;

2) уравнение имеет кратный (двойной) действительный корень;

3) уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней. Эти предварительные заключения подтвердятся в процессе отыскания корней уравнения.

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на и получим равносильное уравнение вида:

x² + px + q = 0



Уравнение со старшим коэффициентом, равным единице, называют приведенным квадратным уравнением.

Для того чтобы решить его, прибавим к обеим его частям число, чтобы члены образовали точный квадрат двучлена и получим равносильное уравнение:

(x + )³ + q =

откуда:

(x + )² - ( - q) = 0.

Имеется существенное различие между случаями, когда число входящее в левую часть равенства, положительно, равно нулю или отрицательно, то можно написать:

².

Будем и в этом, принципиально отличном, случае писать мнимое число. Теперь во всех случаях имеем:

(x + )² - (² = 0.



Разложим левую часть равенства с помощью формулы для разности квадратов:

(x + )² - ) (x+ + ) = 0,

Откуда,

x + - = 0

либо

x + + = 0.

Равенства и дают нам значения двух корней уравнения, а следовательно, и приведенного квадратного уравнения:

x₁ = - +

x_{2 = -} - .

Обычно эти две формулы объединяют в одну:

x_1,2 = - ± .



Если вернуться к исходному уравнению (будем его называть неприведенным квадратным уравнением), то в формуле придется заменить через и q после несложных преобразований получим формулу для корней неприведенного квадратного уравнения:

x1,2 = .

Пример 1. Решить квадратные уравнения:

Решение:

а) Применим формулу для приведенного квадратного уравнения:

x _{1, 2 = - = -} .

Корни действительные и различные:

б) Применим формулу используя,

x _{1, 2 = = .}

Корни:

в) Имеем по формуле:

x _{1, 2} = - 6 ± = -6 ± = -6 ± 3,

Откуда корни данного уравнения оказались иррациональными числами.

г) С помощью формулы найдем:

x _{1, 2} = =

Корни уравнения комплексно сопряженные:

д) По формуле имеем:

x _{1, 2} = 9 ± = 9 ± 0.

Уравнение имеет равные корни: (иначе говорят, что оно имеет корень кратности два). Это можно было бы заметить сразу, записав левую часть уравнения как полный квадрат:

Пример 2.

Решить следующие уравнения:

а) Решение:

а) По формуле имеем:

x_{1, 2} = -4a ± = - 4 ± = -4a ± 6a.

Отсюда,

x₁ = 2a, x₂ = -10a.

б) Пользуясь формулой, найдем:

x_{1,2 =} = = =

Таким образом,

x₁ = = = _,

x₂ = = = .

2.2 Примеры решения уравнений третьей степени

Посмотрим, что можно сказать о корнях неполного кубичного уравнения

x³+рх+q=0, (11 )

если его коэффициенты действительны. Оказывается, что в этом случае основную роль играет знак выражения , стоящего в формуле Кардано под знаком квадратного корня. Заметим, что знак этого выражения противоположен знаку выражения

D=-4p³-27q²=-108,



называемого дискриминантом уравнения (11), в дальнейших формулировках будет использоваться знак дискриминанта. 1) Пусть D < 0. В этом случае в формуле Кардано под знаком каждого из квадратных радикалов стоит положительное число, а поэтому под знаком каждого из кубичных радикалов оказываются действительные числа. Однако кубичный корень из действительного числа имеет одно действительное и два сопряженных комплексных значения. Пусть б ₁ будет действительное значение радикала б; тогда значение ₁ радикала , соответствующее б ₁ на основании формулы (5), также будет действительным ввиду действительности числа р. Таким образом, корень

х₁ = б ₁+1

уравнения (11) оказывается действительным. Два других корня мы найдем, заменяя В формулах (10) настоящего параграфа корни из единицы е = е ₁ и е 2= е ₂ их выражениями (7):

х₂= б ₁ е+₁ е³= б ₁(+=-+i

х₃= б ₁ е²+₁ е= б ₁(-+₁ (+=- - i

эти два корня оказываются ввиду действительности чисел б ₁ и ₁ сопряженными комплексными числами, причем коэффициент при мнимой части отличен от нуля, так как б ₁?₁ эти числа являются значениями различных кубичных радикалов.

Таким образом, если Dто уравнение (11) имеет один действительный и два сопряженных комплексных корня. 2) Пусть D = 0. в этом случае



б = , =.

Пусть б ₁ будет действительное значение радикала б; тогда ₁ также будет, ввиду (5), действительным числом, причем б ₁ = _1. Заменяя в формулах (10) ₁ через б ₁ и используя очевидное равенство е+ е²=-1.

Таким образом, если D = 0, то все корни уравнения (11) действительные, причем два из них равны между собой.

3) Пусть, наконец, D > 0. В этом случае в формуле Кардано под знаком квадратного корня стоит отрицательное действительное число, а поэтому под знаками кубичных радикалов стоят сопряженные комплексные числа. Таким образом, все значения радикалов б и будут теперь комплексными числами. Среди корней уравнения (11) должен, однако, содержаться хотя бы один действительный. Пусть это будет корень

Х₁= б₀ + ₀.

Так как, действительны и сумма чисел б₀ и ₀, и их произведение, равное - . то числа б₀ и ₀ сопряжены между собой как корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами. Но тогда сопряжены между собой и числа б₀ е и ₀ е, а также числа б₀ е² и ₀ е₁, откуда следует, что корни уравнения (11)

Х₂= б₀ е+₀ е², х₃= б₀ е²+₀ е

также будут действительными числами. Мы получили, что все три корня уравнения (11) действительны, причем легко показать, что среди них нет равных. В самом деле, в противном случае выбор корня х₁ можно было бы осуществить так, чтобы имело место равенство х₂=х₃, откуда



б₀ (е- е²)=₀(е- е²),

т. е. б₀ = ₀,что явно невозможно.

Таким образом, если D> О, то уравнение (11) имеет три различных действительных корня. Рассмотренный сейчас последний случай показывает, что практическое значение формулы Кардано весьма невелико. В самом деле, хотя при D> О все корни уравнения (11) с действительными коэффициентами являются действительными числами, однако разыскание их по формуле Кардано требует извлечения кубичных корней из комплексных чисел, что мы умеем делать лишь переходом к тригонометрической форме этих чисел. Поэтому запись корней с помощью радикалов теряет практическое значение. При помощи методов, выходящих за рамки нашей книги, можно было бы доказать, что в рассматриваемом случае корни уравнения (11) вообще никаким способом не могут быть выражены через коэффициенты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями. Этот случай решения уравнения (11) называется неприводимым (не смешивать с неприводимостью многочленов!).

Примеры. 1. Решить уравнение

У³ +3 у²-3у-14=0.

Подстановка у = х - 1 приводит это уравнение к виду

Х³-6х-9=0. (12)

Здесь р=-6, q=-9, поэтому

>0,

т. е. уравнение (12) имеет один действительный и два сопряженных комплексных корня. По (9)

б=,

Поэтому б₁=2, ₁=1 т. е. х₁=3. Два других корня найдем по формулам (10): х₂=- +i , x₃=- - i.

Отсюда следует, что корнями заданного уравнения служат числа

y₁=2, y₂=-+ i, y_3=-=-- i.

2. Решить уравнение

x³ -12x+16=0

Здесь р=-12, q= 16, поэтому

.

Отсюда следует: б= , т.е. б₁=-2. Поэтому

х₁=-4, х₂= х₃=2

3. Решить уравнение

x³ -19x+30=0

Здесь р=-19, q= 30, поэтому

Таким образом, если оставаться в области действительных чисел, формула Кардано к этому уравнению неприменима, хотя его корнями являются действительные числа 2, 3 и -5.

2.3 Примеры решения уравнений четвертой степени

Уравнением четвертой степени общего вида называется уравнение а₀х⁴+ а₁х³+ а₂х²+ а₃х=0 (а₀ 0).

Разделив обе части равенства на а₀ и обозначая для удобства

а= , получим

приведенное уравнение специального вида

х⁴+ 4х³+4 ах³+bx²+d=0

Нашей задачей является решение этого уравнения в вещественной области, то есть нахождение всех вещественных корней. На первых шагах мы преобразуем его к более удобному и простому виду.

Шаг 1. Приведение к «неполному виду»:

u⁴ +pu²+qu+r=0.

Сделаем заменуx=u-a:

(u-a)⁴+a(u-a)³+b(u-a)²+c(u-a)+d=0

После приведения подобных членов получим неполное уравнение

u⁴+pu²+qu+r=0, где

p=b-6a², q=8a³-2ab+c, r=-3a⁴+a²b-ac+d

Пример.

Уравнение x⁴+4x³-3x²-3x+1=0

после замены x=u-1 приводится к виду u⁴-9u²+11u-2=0.

Частный случай. Если q=0, то уравнение является биквадратным и решается заменой u²=z.

В дальнейшем будем предполагать, что q?0.

Шаг 2. Разложение на квадратичные множители. Каждый многочлен четвертой степени можно представить в виде произведения двух квадратичных. Мы покажем это для нашего случая «де факто», а именно, покажем, что найдутся вещественные числа такие, что

U⁴+pu²+qu+r=(u²+su+)(u²-su+)

Шаг 3. Решение вспомогательного кубического уравнения. Обозначим s²=z . Последнее уравнение системы является кубическим относительноz. Назовем его вспомогательным кубическим уравнением:

z³+2pz²+(p²-4r)z-q²=0

Заметим, что это уравнение всегда имеет положительный корень, поскольку при z=0 левая часть отрицательна, а при достаточно большом z она положительна. Обозначим этот корень через z₀. Тогда s=, а коэффициенты инаходятся по формулам. Таким образом, разложение 6 получено.

Пример.

Решить уравнение

u⁴-2u²-5u-6=0.

Решение:

Здесь p=-2, q=-5, r=-6/

Вспомогательное кубическое уравнение имеет вид

z³-4z² +28z-25=0.

Оно имеет положительный корень z=1, следовательно,

s=1(1-2-)=2, =-3

Таким образом,

u⁴-2u²-5u-6=(u²+u=2)(u²-u-3)

и корнями уравнения являются два вещественных числа

u_1,2 =±

и два комплексных числа

u_3,4= ±.

Пример.

Решить уравнение

u⁴+u²-2u+6=0.

Решение:

Здесь p=1, q=-2,r=6. Вспомогательное кубическое уравнение имеет вид z³+2z²-23z-4=0. Оно имеет положительный корень z=4, следовательно,

s=2(4+1-)=3, =2

Таким образом,

u⁴+u²-2u+6=(u²+2u+3)(u²-2u+2).

Уравнение имеет четыре комплексных корня:

u_1,2=-1 u_3,4=1±i



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Занимаясь изучением темы, мы узнали много интересного об алгебраических уравнениях второй, третьей и четвертой степени, изучили их историю, рассмотрели методы решения.

Исследуя разные методы решения уравнений, мы узнали их признаки и особенности. Выполнили поставленные задачи. Во-первых, изучили исторические сведения об уравнениях второй, третьей и четвертой степени. Во-вторых, рассмотрели различные способы решения данных уравнений. В-третьих, научились решать алгебраические уравнения со второй, третьей и четвертой степенью. И, в-четвертых, составили алгоритмы решения данных уравнений.

И главное, мы выполнили цель работы -- подробно изучили алгебраические уравнения второй, третьей и четвертой степени и выявили наиболее интересные и практичные способы решения.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1) Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. -- М.:МЦНМО, 2014.

2) Еремин М.А. Уравнения высших степеней. -- Арзамас, 2003.

3) Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. -- М.: Наука, 1975.

4) Лоповок Л.М. 1000 проблемных задач по математике. -- М.:Просвещение, 2015.

5) Шафаревич И.Р. Популярные лекции по математике. О решении

уравнений высших степеней. Вып. 15. -- М.: Наука, 2016.

6. Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Элельман А.Г. Система тренировочных задач и упражнений по математике. - М.: Просвещение, 2011.

7. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. - М.: Просвещение, 2012.

8. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник пособие по методам решения задач по математике для средней школы. - М.: Наука. ГРФМЛ, 2014.

9. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзаменам. - М.: Рольф, 2017.

10. Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. - 4-е изд. -М.: Дрофа, 2012.

11. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2015.

12. Шахно К.У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности: Высшая школа, 2016.

13. Якушева Е.В., Попов А.В., Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начало анализа 9 и 11 выпускные классы: Учебное пособие.- М.: АСТ-Пресс, 2014.

Размещено на Allbest.ru

...