Размещено на http://allbest.ru

Министерство по развитию информационных технологий и коммуникаций республики Узбекистан

Ташкентский университет информационных технологий имени МУХАММАДА АЛЬ-ХОРЕЗМИ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

на тему:

«Приближение функций по формулам Ньютона и построение кривых»

Выполнил: Шоев С.С.,студент 1 курса

факультета Информационных безопасностей

Ташкент-2020



1. Дифференциальное исчисление и его приложения

Дифференциальное исчисление - раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Основным понятием дифференциального исчисления является понятие производной, которое определяет скорость изменения неравномерно меняющихся величин.

1.1 Производная и дифференциал

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Из этого следует, что в этой точке бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функции f. ??????????? ??????? y=f(x) ?? ????????? ? ?????????? ???????? ?????? ????????? ?????????? ??????? f =f(x+x) - f(x). ? ?????????? ????????? x , ??? ?????????? x ? 0:



Отношение f /x, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла , который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат. Пусть x стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет приближаться к касательной к графику функции, при этом её угол наклона будет стремиться к углу наклона касательной к кривой в точке x. Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Физический смысл производной: производная есть скорость изменения функции в точке х. Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием. Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x₀, но не иметь в этой точке производной. Так функция y = x не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

1.2 Таблица производных основных элементарных функций

1. (xⁿ)'=nx^n-12. (a^x)'=a^xlna3. (e^x)'=e^x

4. (log_ax)'=5. (lnx)'=6. (sinx)'=cosx

7. (cosx)'=-sinx8. (tgx)'= 9.(ctgx)'=-

10. (arcsinx)'=11. (arccosx)'=-

12. (arctgx)'=13. (arcctgx)'=- 14. (х) '=1



1.3 Свойства операции дифференцирования

1. (с)'=0, c-const

2. (f(x)+g(x)-r(x))'=f '(x)+g '(x)-r '(x)

3. (f(x)g(x))'=f '(x)g(x)+g '(x)f(x),

4. (cf(x))'=c(f '(x))

5. .

Пример. Найти производную функции y=x³.

Воспользуемся первой формулой в таблице, где n=3, и получим

y=3x^3-1=3x².

Пример. Найти производную функции y= y=

Для того чтобы воспользоваться формулой преобразуем функцию к табличному виду:

.

Тогда ; ;

Пример. Найти производную функции y=sinx+e^x.

Применим правила дифференцирования к сумме двух табличных функций:

у =(sinx)+(e^x)=cosx+e^x.

Пример. y=5^x-x⁵

y=5^xlnx-5x⁴

Пример. Найти производную функции y=lnxtgx.

По правилу дифференцирования произведения функции получим:

у =( lnx)tgx+ lnx(tgx)=

Пример. Найти производную функции y=.

1.4 Теорема о производной сложной функции

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F (x) = f (z) g (x). Приведем примеры вычисления производной сложной функции.

Пример. Найти производную функции y=(3x⁵+2)⁶.

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Обозначим 3x⁵+2=t, тогда у=t⁶. Получаем

у =(t⁶)_t(3x⁵+2)_x=6t⁵(35x⁴+0)=6(3x⁵+2)⁵15x⁴=90x⁴(3x⁵+2)⁵

Пример. Найти производную функции y=sin⁵x.Рассуждая аналогично предыдущему примеру, обозначим sinx=t. Тогда получим степенную функцию y=t⁴. Берем производную сначала от степени функции, затем от основной функции:

у =5t⁴(sinx)= 5t⁴cosx=5sin⁴xcosx

В дальнейшем для упрощения решения примеров, особые обозначения промежуточных результатов будем опускать.



Пример. Найти производную функции y=cosx⁴

у =-sinx⁴4x³=-4x³ sinx⁴.

Пример. Найти производную функции y=arcsin.

Нужно обратить внимание на то, что в производной функции y=arcsinx в качестве аргумента используется . Поэтому производная имеет выше указанный вид. Типичной ошибкой студентов является следующий вид решения:

Пример. Найти производную функции y=ln³tg(e^-x).

1.5 Дифференциал функции

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке х этого отрезка определяется равенством. Отношение при х0 стремится к определенному числу f (x) и, следовательно отличается от производной f (x) на величину бесконечно малую, где 0 при х0 (стр 107 Пискунов). Умножая члены последнего равенства на х, получим:

y=f (x)x+x.(4.3)



Так как в общем случае f (x)0, то при постоянном х и переменном х0 произведение f (x)x есть величина бесконечно малая одного порядка малости с x, второе слагаемое есть величина высшего порядка малости относительно x.

Таким образом, произведение f (x)x является главной частью приращения (4.3), линейной относительно x. Это означает, что если приращение аргумента x уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз. Дифференциалом функции y=f(x) называется главная часть приращения (4.3), линейная относительно x. Обозначается

dy= f (x)dx.(4.4)

Отсюда следует, что

,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

1.6 Свойства дифференциала

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C - постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x),

4. d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x).

5. , если g(x) 0

Пусть y = f(x) _ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) -сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F(t)dt = f (x)x (t)dt. Однако по определению дифференциала x (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство x = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.

1.7 Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a,b]. Значения производной f (x) зависят от х, т.е. производная f (x) тоже представляет собой некоторую функция от х. Дифференцируя эту функцию, мы получаем производную от производной. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной.

y =(f (x))=f (x).(4.5)

Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна v=f (t), а ускорение равно a= f (t). Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f(x). Если определена n-я производная f ⁽ⁿ⁾(x) и существует её производная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x):



f ^{(n + 1)}(x) = (f⁽ⁿ⁾(x)).(4.6)

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков. Дифференциал функции y=f(x) выражается в виде dy= f (x)dx. Тогда, если он является некоторой функцией от х, то справедливо следущее:

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:

d²y= f (x)dx².(4.7)

Дифференциал от дифференциала n-го порядка называется дифференциалом (n+1)-го порядка.

Пример. Найти дифференциал функции y=cosx.

Найдем f (x)=-sinx. Тогда по формуле (4.4): dy=-sinxdx.

Пример. Найти дифференциал второго порядка функции y=ln⁴x².

Найдем вторую производную от функции:

f (x)= f (x)= , тогда

d²y= dx².

Пример. Найти дифференциал функции y=x^tgx.

Найдем f (x). Для этого прологарифмируем обе части равенства:

lny=lnx^tgx по свойству логарифма получаем lny=tgxlnx. Продифференцируем обе части:

;



Тогда dy=dx

Дифференциальное исчисление находит многочисленные применения во многих отраслях естествознания и техники. Напомним, что до применения дифференциального исчисления для исследования функции нужно провести общее исследование функции. Поэтому нужно помнить общую схему исследования функции и используемые понятия, известные из основ математического анализа.



2. Интерполяционные формулы Ньютона

2.1 Интерполяция и аппроксимация

Пусть есть таблица из N точек и значений функции в этих точках.

Интерполяция - приближение функции кривой, проходящей через все N точек. Основной недостаток интерполяционных алгоритмов в том, что при изменении значения функции в одной точке необходимо полностью пересчитать интерполяционные формулы.

Аппроксимация - приближение кривой, не обязательно проходящей через все точки. Основные методы аппроксимации обладают (и это очень ценно) свойством 'local control': изменение значения функции в одной точке влечет за собой перевычисление лишь 1-3 формул (это гораздо лучше, чем N формул, особенно в реальных приложениях компьютерной графики).

Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x) некоторой функцией (x) так, чтобы отклонение функции (x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция (х) при этом называется аппроксимирующей. Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции. Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:

1. Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f(x) является специальной функцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).

2. Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, т.е. f(x) задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x) (например, для вычисления значений f(x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x) и т. п.).



Интерполяционные формулы -- в математике формулы, дающие приближённое выражение функции y=f(x) при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени n , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами. Области применения интерполяции -- открытие и уточнение законов природы, прогнозирование, планирование и обработка данных эксперимента, моделирование, управление различными объектами и т. п. Широта использования, практическая направленность и значимость -- вот основные черты интерполяции. Для решения ее задач недостаточно знать математические методы и алгоритмы, уметь программировать, уметь работать на персональном компьютере, знать функции и команды интерполяции универсальных программных средств символьной математики. Необходимо еще знать компьютерные технологии интерполяции. Без этих знаний, решая задачу интерполяции, можно получить не математическую модель изучаемого явления, а всего лишь математическое выражение, не имеющее никакого смысла. Теория интерполяции совместно с теорией подобия и размерностей является научной основой моделирования, которое весьма полезно, а во многих случаях просто необходимо. Необходимость моделирования определяется следующими моментами:

* исследуемый объект слишком большой (корабль) или слишком мал (атом);

* объект удален от исследователя (галактика);

* объект недосягаем во времени (был в прошлом или будет в будущем);

* объект опасен для исследователя (агрессивная среда);

*эксперимент слишком дорогой.



2.2 Интерполяционные формулы Ньютона при равноотстоящих узлах

Интерполяционные формулы Ньютона -- формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования. Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что , То есть , то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.

Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона). Интерполяционная формула Ньютона при равноотстоящих узлах имеет вид:

y_n (x)=c₀+ c₁ (x-x₀)+ c₂ (x-x₀)(x-x₁)+ ...

...+ c_n (x-x₀)(x-x₁)(x-x₂) ... (x-x_n-1). (2.1)

Здесь:

x_i - узлы интерполяции с постоянным шагом (где i=0,1,2, ...., (n-1)),

т.е. x₁=x₀+h, x₂=x₁+h, ..., x_n-1 =_xn-2+h;

c_i - коэффициенты интерполяционной формулы (где i=0,1,2, ..., n)

Из формулы (2.1) видно, что функция у(х), как и в случае формулы Лагранжа, является многочленом степени n, но записанной в иной форме.

Определим коэффициенты в формуле (2.1).

При x = x₀ y(x₀) = c_0. Тогда c₀ = y_0.

При x = x₁ y(x₁) = y₁ = c₀ + c₁(x₁ - x₀) или c_{1 = .}

При x = x₂ y_n(x₂) = y₂ = c₀(x₂ - x₀)+ c₂(x₂ - x₀)(x₂ - x₁).

Подставляя вместо и их значения, получим:



y₂ = y₀ +

Найдем с₂: c₂ =

Вычислительные процедуры очевидны. Продолжая их, получим следующую общую формулу для коэффициентов многочлена (2.1):

, k=1,2, ..., n (2.2)

Подставляя найденные выражения коэффициентов в (2.1), получим:

(2.3)

Заметим, что в этой формуле конечные разности находятся в верхней косой строке таблицы конечных разностей. Формулу (2.3) можно записать в более простом виде. Обозначим = t. Тогда

Подставляя полученные выражения в (2.3), получим:



(2.4)

Формула (2.4) может быть записана в следующем символическом виде:

(2.5)

Интерполяционная формула (2.4) дает хорошие результаты при t < 1, т. е. при значениях х в начале таблицы для функции у(х). Эта формула часто называется интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования вперед. Формула Ньютона (2.4) существенно отличается от формулы Лагранжа. В формуле Лагранжа каждый член является многочленом степени n, т. е. все члены формулы Лагранжа равноценны. В формулу же Ньютона входят алгебраические члены повышающихся степеней. Кроме того, коэффициентами являются конечные разности, деленные на факториалы п.

Это позволяет (особенно при малых t) ограничиться числом членов, что может существенно упростить вычисления. Погрешности формулы (2.4) возрастают при интерполировании в конце таблицы. Для интерполирования в конце таблицы Ньютоном была предложена следующая формула:

(2.6)

По аналогии с предыдущими доказательствами, получим следующие значения коэффициентов :



Подставляя значения коэффициентов в формулу (2.6), получим:

(2.7)

Обозначая = t и подставляя в (2.7), получим:

(2.8)

Эта формула называется второй интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад. Она дает хорошие результаты при интерполировании в конце таблицы. При этом следует иметь в виду, что шаг h имеет отрицательное значение х_к-1 - х_к = -h (где к = 1,2, ..., n), а конечные разности находятся в нижней косой строке таблицы разностей. Формулы Ньютона могут давать значительные погрешности при интерполировании в середине таблицы.

Пример. Пусть функция у(х) представлена в виде табл. 1.4.2. Необходимо найти интерполяционный полином по формуле Ньютона для интерполирования вперед.

В нашем случае = 2, h = 1, табличные разности имеют значения: ? ⁼ 7, ?² = 6, ?^{3 =} 0.

Воспользуемся формулой (2.3):



Подставляя в эту формулу значения узлов интерполяции значение функции , табличные разности ?, ?², получим:

у(х) = 2 + 7(х - 1) + 3(х - 1)(х - 2)

После очевидных преобразований интерполяционный многочлен будет иметь вид: интерполяция дифференцирование интегрирование ньютон

y(x) = Зх² -- 2х + 1

К недостатку формулы Ньютона можно отнести то, что при вычислениях в таблице с постоянным шагом при увеличении количества узлов не всегда удается добиться повышения точности вычислений. Это обусловлено тем, что равноотстоящие узлы не являются лучшими с точки зрения уменьшения погрешности интерполирования. Если имеется возможности выбора узлов интерполирования, то их следует выбирать так, чтобы обеспечить минимум погрешности интерполяции.

2.3 Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона

В случае равноудалённых центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

,

где - обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.



2.4 Прямая интерполяционная формула Ньютона

Прямая (или первая) интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования вперёд:

,

где , а выражения вида -- конечные разности.

Очевидно, что для того, чтобы построить полином, необходимо сначала составить таблицу конечных разностей. Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения yy, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только справа от .

Эта формула удобна при интерполировании функций для значений x, близких к . При интерполировании функций для значений x, близких к , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта. Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

2.5 Обратная интерполяционная формула Ньютона

,

где



2.6 Интерполяционные формулы Ньютона при не равноотстоящих узлах

В случае, когда шаг h ? const (не равноотстоящие узлы), интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

(2.9)

Внешне формула похожа на формулы Ньютона для равноотстоящих узлов, когда h = const. Ее отличие состоит в способе вычисления табличных разностей (где к = 1, 2, ..., n). В формуле (2.9) являются разделенными разностями или разностными отношениями, представляющими собой отношения разности значений функции к разности значений соответствующих аргументов.

Разностные отношения имеют вид:

- разностные отношения первого порядка

- разностные отношения второго порядка

В общем виде разностные отношения определяются выражением:



(2.10)

Как и в случае равноотстоящих узлов, степень многочлена определяется по значениям разностных отношений. Если разностные отношения n-го порядка постоянны, то функция представляет собой многочлен n-ой степени. Указанное свойство разностных отношений позволяет в случае интерполяции многочленами существенно упростить вычисления. В качестве примера про интерполируем функцию у(х), заданную в виде табл. 1.3.1. В данном случае шаг таблицы переменный.

Определим разностные отношения.

- Разностные отношения первого порядка:

- Разностные отношения второго порядка:

Поскольку разностные отношения второго порядка одинаковы, то функция представляет собой многочлен второй степени. Подставляя в формулу (2.9.) данные таблицы и разностные отношения, получим:

у (х) = 2 + 7(х -- 1) + 3(х -- 1) (х -- 2) = Зх² -- 2х + 1



Заключение

Мы убедились, что в вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек.

В данной работе рассматривается интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке, определили понятие интерполяции. У нас возникла задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, поэтому в данной работе были приведены конкретные примеры по построению интерполяционного полинома Ньютона.

В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробно проиллюстрировано само понятие интерполяции, далее методы интерполирование. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например, полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.



Список литературы

1.Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. - М.: Высшая Школа, 1990

2.Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: Высшая Школа, 1990.- 207 с.

3.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1970 - 664 с.

4.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 PRO в математике, физике и Internet. - М.: “Нолидж”, 2000 - 512 с.: ил.

5.Кудрявцев Е.М. MathCAD 2000 Pro. - М.: ДМК Пресс, 2001 - 576 с.:

6.Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров. - М.: МИКАП, 1994 - 332 с.

7. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: справочное пособие по решению задач/ А.А. Гусак. - Изд-е 2-е, стереотип. - Мн.: «ТетраСистемс», 2001.

8. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер, 2008. - 464 с.: ил. - (Серия «Учебное пособие»).

9. Ларин А. А. Курс высшей математики (краткий конспект). В 4-х ч. Ч.2. - 2000 год. mailto: aalar@yandex.ru 10. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2003.

Размещено на Allbest.ru

...