Быстрый счет без калькулятора

Размещено на http://www.allbest.ru/

ГАПОУ «Мензелиский педагогический колледж им. Мусы Джалиля»

Практическая работа на тему:

«Быстрый счет без калькулятора»

Выполнила: студентка группы 1Б

Галиуллина З.Ш.

Проверила: преподаватель

по математике

Московская Н.И.

г. Мензелинск 2020 г.



Оглавление

Введение

Глава 1. История возникновения счета

1.1 Как люди научились считать

1.2 Счётные устройства

1.3 Люди - счетчики

Глава 2. Старинные способы умножения

2.1 Русский крестьянский способ умножения

2.2 Итальянский способ умножения Аль-Хорезми («метод решётки»)

2.3 Индийский способ умножения (метод Ферроля)

2.4 Японский способ умножения (с помощью линий)

2.5 Умножение на пальцах

Глава 3. Секреты быстрого счёта

3.1 Умножение двузначных и трёхзначных чисел на 11

3.2 Возведение в квадрат двузначных и трёхзначных чисел, оканчивающихся цифрой 5

3.3 Умножение двузначного числа на 101

3.4 Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10

3.5 Умножение двузначных чисел, оканчивающихся на «1»

3.6 Умножение чисел от 10 до 20

3.7 Умножение на 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

3.8 Особый способ умножения многозначных чисел. Этому способу не учат в школе

Глава 4. Практическая часть

4.1 Анкетирование учащихся 3-4, 6- 9 классов

4.2 Обучение учащихся 3 и 4 классов быстрому счёту

4.3 Проведение мастер-класс для учащихся 6-9 классов

4.4 Исследовательская работа по проведению контрольных измерений

4.5 Мониторинг результатов контрольных измерений в 6-9 классах

Заключение

Список используемой литературы

Приложения



Введение

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе. Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений? Оказалось, что можно умножать не только так, как предлагают нам в учебниках математики, но и по-другому. Захотелось узнать эти и другие способы вычислений, а также сравнить их с сегодняшними. Используя Интернет-ресурсы и дополнительную литературу, я узнала много необычных способов умножений.

Я выбрала проект на тему «Быстрый счёт без калькулятора» потому, что именно сейчас мне необходимо усовершенствовать навыки устного счёта, так как приближается основной государственный экзамен, где у меня точно не будет возможности воспользоваться калькулятором. Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием.

Актуальность этой темы заключается в следующем: быстрый счет помогает людям в повседневной жизни, а нам студентам на «хорошо» и «отлично» заниматься по математике.

Цель проекта: найти и освоить нестандартные приёмы счёта, позволяющие выполнить действия с числами быстро и безошибочно.

Задачи:

1. Используя дополнительную литературу и Интернет-ресурсы, изучить методы и приемы быстрого счета.

2. Рассмотреть несколько старинных методов, которые можно использовать и в наши дни.

3. Обучить учащихся быстрому счёту.

4. Провести мастер-класс по данной теме, проанализировать и сравнить результативность счета до и после ознакомления с некоторыми приемами быстрого счёта.

5. Составить буклет «Приемы быстрого счета» в помощь студенту.

Гипотеза: Существуют ли специальные способы выполнения действий, которые позволяют свести вычисления к устным, рассчитанные на ум «обычного» человека и не требующие уникальных способностей.

Основополагающий вопрос: как за короткое время научиться быстро, считать, если ты обыкновенный школьник, а не вундеркинд?



Глава 1. История возникновения счета

1.1 Как люди научились считать

Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Для счёта люди использовали пальцы рук и ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах 20. Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счета.

По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Древние торговцы для удобства счета начали накладывать зерна и ракушки на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.

1.2 Счётные устройства

За абаками были созданы арифмометры. Арифмометры- это настольная механическая вычислительная машина для выполнения четырёх математических действий. Русский арифмометр был сконструирован инженером Одиером в 1874 году. Долгое время популярным счётным устройством была логарифмическая линейка, изобретённая лондонским профессором Гунтером в 1625 году. Служила она до 20 века и была вытеснена микрокалькуляторами. Первую программно-управляемую вычислительную машину создал английский учёный Ч. Беббидж в 18 веке. Первую электронно-вычислительную машину «ЭНИАК» разработали в США в 1945 году. Первая отечественная ЭВМ была разработана в 1947 году под руководством академика С.А. Лебедева. Современный помощник вычислений - микрокалькулятор - прибор, позволяющий производить сложные вычисления за короткий промежуток времени. Но, несмотря уже на имеющиеся удобства, процесс развития вычислительной техники продолжается.

1.3 Люди - счетчики

Как ранее, так и сейчас существовали и существуют люди, обладающие феноменальными способностями к счету. Расскажу о некоторых из них. Даниэл Мак Картнижил в 19 веке в США, который с рождения был слепым. Он не только моментально умножал и складывал громадные числа, он также обладал идеальной памятью, и мог рассказать о любом дне своей жизни, начиная с 9 лет. За десять минут он смог возвести число 89 в шестую степень. За три минуты он мог найти кубический корень с точностью до миллионных. Виллем Клейн жил в 20 веке в Нидерландах. Он занесен в книгу рекордов Гиннеса как человек, который смог извлечь корень 73 степени из пятисотзначного числа. У него ушло на это две минуты и 43 секунды.

Альберто Кото Гарсия жил в Испании -самый известный и титулованный арифметик-счетчик. Его мозг способен выполнять до 5-6 операций за секунду. Например, индийская женщина Шакунтала Дэви без особых проблем, буквально за несколько секунд извлекала квадратные и кубические корни из многозначных чисел. Одним из самых её удивительных достижений - перемножение двух 13-значных чисел за 28 секунд.

Жили подобные люди-счетчики и в России. Владимир Степанович Зубрицкий- юный гений, который с 7 лет выступал в цирке с номером «Живая счетная машина», он производил сложные арифметические вычисления в уме. Владимир был сыном цирковых артистов. Игорь Алексеевич Шелушков - советский человек-счётчик. Он запоминал числа на вращающихся досках и извлекал из них корни. В Институте кибернетики в Киеве, было устроено состязание Игоря Алексеевича с ЭВМ третьего поколения. Он извлек корень из огромного числа быстрее, а именно за 18 сек, чем быстродействующий компьютер за 10 минут, ему было тогда 22 года.

Такие люди всегда очень интересовали психологов, врачей и математиков, которые старались выяснить, в чем секрет их способностей. Мне стало интересно, неужели нельзя обычному человеку обучиться быстро считать в уме? Как этого достигнуть? Для этого я изучила старинные способы быстрого счета:



Глава 2. Старинные способы умножения

2.1 Русский крестьянский способ умножения

В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространён способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского. Вот пример: Нам нужно 47 умножить на 35. Вот как бы решили этот пример 3-4 века назад наши предки: -запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту; левое число будем делить на 2, правое умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем); деление заканчивается, когда слева появится единица; вычёркиваем слева те строчки, в которых стоят слева чётные числа; далее оставшиеся справа числа складывает - это результат: 35+70+140+280+1120и получаем в ответе 1645. Этот способ громоздкий, но он имеет право на существование.

2.2 Итальянский способ умножения Аль-Хорезми («метод решётки»)

В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрёл большую известность. Способ решётки ни в чём не уступает умножению столбиком. К тому же этот способ позволяет быстрее получить результат. Освоив его, вы сможете убедиться в этом сами. Например, умножим 621*357. Для этого: 1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.3. Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали. В результате получаем 22 169.

2.3 Индийский способ умножения (метод Ферроля)

Этим способом пользовались жители Индии в 6 веке. Для получения единиц перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля позволяет легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20. Например: 12х14=168 1 шаг 2х4=8, пишем 8 в разряд единиц; 2 шаг 1х4+2х1=6, пишем 6 в разряд десятков;3 шаг1х1=1, пишем 1 в разряд сотен. Я познакомилась с этим способом на очень простом примере без перехода через разряд. Мои исследования показали, что им можно пользоваться и при умножении многозначных чисел.

2.4 Японский способ умножения (с помощью линий)

Таблица умножения для нас -- то, без чего не обойтись никак, краеугольный камень в изучении математики. А вот в Японии малыши 1 класса поначалу обходятся при расчетах без нее, лихо перемножая двух- и даже трехзначные числа. В этом им помогает метод линий, Допустим, нам надо умножить 12*13=156. Начертим следующий рисунок: этот рисунок состоит из 7 линий, числа изображаются в виде прямых линий, десятки и единицы отделяются промежутками и располагаются параллельно друг другу на плоскости. Каждый из множителей располагается под углом 45 градусов. Количество пересечения линий, образующих десятки при умножении двузначных чисел, будет первой цифрой в произведении. Точки пересечения десятков и единиц -- вторая цифра результата, количество точек, образовавшихся при пересечении всех единиц - третья цифра.

2.5 Умножение на пальцах

Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например, 9 x 4 - загните четвёртый палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца - это десятки (в случае 9 x 4- это 3, затем посчитайте после загнутого пальца - это единицы (в нашем случае - 6). Ответ - 36.



Глава 3. Секреты быстрого счёта

3.1 Умножение двузначных и трёхзначных чисел на 11

При умножении двузначного числа на 11, нужно между цифрой единиц и цифрой десятков вписать сумму этих цифр, причем, если сумма цифр больше 10, то единицу нужно прибавить к старшему разряду (первой цифре). Например: 45*11= 4(4+5)5=495 «Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.Такой способ подходит не только для умножения двузначных чисел, но и трёхзначных чисел: 234*11= 2(2+3)(3+4)4= 2574

3.2 Возведение в квадрат двузначных и трёхзначных чисел, оканчивающихся цифрой 5

Если вам нужно возвести в квадрат двузначное или трёхзначное число, заканчивающееся на 5, то вы можете сделать это очень просто в уме. нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25. Например: 65І=65*65= 4225

3.3 Умножение двузначного числа на 101

Для того, чтобы число умножить на 101, нужно приписать данное число к самому себе. Например: 59*101=5959

3.4 Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10

Например: 42 • 48=2016. 1шаг 4 • (4+1) =20, пишем 20; 2шаг перемножаем единицы 2*8=16, пишем 16.

3.5 Умножение двузначных чисел, оканчивающихся на «1»

Например: 51*31=1581

1шаг 5*3*100=1500; 2 шаг (5+3)*10=80; 3 шаг 1*1=1; 4 шаг всё сложить 1500+80+1=1581

3.6 Умножение чисел от 10 до 20

Например, 16•18=(16+8) • 10+6 • 8=288 1шаг: к первому числу добавляют единицы от второго, и умножаем на 10; 2шаг: единицы перемножают; 3шаг: складывают результат шага 1 с результатом шага 2.

3.7 Умножение на 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

Чтобы умножить двузначное число на 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 нужно этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11, выполнить умножение на однозначное число, а потом на 11.Например, 15*33=15*3*11=45*11=495

3.8 Особый способ умножения многозначных чисел. Этому способу не учат в школе

999 973*999 990=999963000270

Получится в ответе число, состоящее из 12 цифр.

999 973*999 990 = (1 000 000-27)*(1 000 000-10)

1. 999 973-10=999 963 или 999 990-27=999 963 запишем это число в первые шесть клеток.

2. 27*10=270 запишем их справа налево, недостающие цифры записать тремя нулями.



Глава 4. Практическая часть

4.1 Анкетирование учащихся 3-4, 6- 9 классов

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, я провела анкетирование в 3-4 и 6- 9 классах нашей школы. Задавала ребятам простые вопросы. Нужно ли уметь считать современному человеку? При изучении, каких школьных предметов требуется правильный счет? Знают ли они приемы быстрого счета? Хотели бы узнать другие способы быстрого счёта? В опросе приняли участие 21 человек.

Проанализировав результаты, я построила 4 круговых диаграммы и сделала вывод, что большинство учеников считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики, физики, химии, а также при сдаче государственного экзамена в 9 классе. Приемы быстрого счета знают несколько учеников и почти все хотели бы научиться быстро, считать. Результаты анкетирования отражены в диаграммах. (Приложение №1).

4.2 Обучение учащихся 3 и 4 классов быстрому счёту

Для учащихся 3 и 4 класса я провела обучение в форме игры, используя красочную презентацию, я научила их двум старинным способам счёта: умножению на 9 с помощью пальцев рук и способу Аль-Хорезми, а также умножению двузначных чисел на 11,101,9,5, 25 и 8. Учащиеся начальных классов очень внимательно слушали объяснения, а затем на контрольных примерах успешно выполняли задания устно.



4.3 Проведение мастер-класс для учащихся 6-9 классов

Провела мастер- класс для учащихся 6-9 классов, обучила их пяти старинным способам вычислений и открыла им секреты быстрого счета. Учащиеся 6-9 классов освоили все старинные способы быстрого счета, особенно им понравился метод линий и метод решетки. А также обучила их секретам быстрого счёта, используя специальные правила.

4.4 Исследовательская работа по проведению контрольных измерений

Изучив методы быстрого счета, я отобрала для учащихся 6-9 классов самые распространенные и общедоступные задания. По согласованию с учителем математики, составила контрольные срезы, состоящие из 12 заданий, опираясь на данные методы. (Приложение 2).

Контрольные измерения в 6-9 классах я проводила в количестве 5 дней и подсчитала средний балл, выполненных заданий, а также время их выполнения. Главное условие - все вычисления ребята должны проводить в уме, используя любой приём вычисления. После проведения первого контрольного среза, мы разобрали допущенные ошибки, и я им показала еще несколько приемов быстрого счёта. Последующие четыре контрольных среза были проведены в последующие дни. При проведении их, я учитывала правильность решения и время выполнения. Все результаты сведены в таблицу, которую вы видите на слайде (Приложение №3, Приложение №4).

4.5 Мониторинг результатов контрольных измерений в 6-9 классах

Обработка результатов показала. На первом этапе письменно решено без ошибок- 68 % время- 10 минут. После изучения способов облегченных вычислений, во втором контрольном замере: решено - 73% время- 8 мин. После непродолжительной тренировки, в третьем контрольном замере: решено полностью устно- 88%, время-6мин, В четвёртом замере выполнено заданий - 90%, время 4,5 минуты, а в последнем замере выполнено заданий- 98 %, время 3 минуты. От замера к замеру количество допущенных ошибок уменьшилось, а правильно решенных заданий увеличилось. На примере учащихся 6-9 классов нашей школы, наглядно прослеживается динамика развития вычислительных навыков приемов устного счета. Я очень довольна тем, что вся работа, проделанная мною по отработке приёмов быстрого счёта, пригодится и мне и им в дальнейшей учёбе (Приложение №5).



Заключение

Счет является простым и легким делом только тогда, когда владеешь особыми приемами и навыками. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить “хитрых” приемов. Таким образом, я убедилась, что моя гипотеза о том, что знание и использование приемов быстрого счета позволит свести вычисления к устным, рассчитанные на ум «обычного» человека и не требующие уникальных способностей подтвердилась.

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попыталась показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись. В заключение подчеркну, что ученики 3,4,6-9 классов, принявшие участие в моём исследовании изменили своё отношение к быстрому счёту. Они поняли, что устный счёт улучшает их вычислительные навыки, развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться. Вот так простые устные упражнения на каждом уроке математики могут развить каждого из нас. Нужно только стараться и усердно работать!



Список используемой литературы

1. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.

2. Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение», 1982г

3. Энциклопедия для детей. “T.23”. Универсальный энциклопедический словарь \ ред. коллегия: М. Аксёнова, Е.Журавлёва, Д.Люри и др. - М.: Мир энциклопедий Аванта +, Астрель, 2008. - 688 с.

4. Ожегов С. И. Словарь русского языка :ок. 57000 слов/ Под ред. чл. - корр. АНСИР Н.Ю. Шведовой. - 20 - е изд.- М. : Просвещение, 2000. - 1012 с.

5. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом «Фёдоров», 1999г.

6. Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер», Минск, Попурри, 2009г.



Приложения

Приложение 1

Памятка устного счёта

Сложение

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

76+8=76+10-2=84;

85+9=85+10-1=94.

Сложение в уме двузначных чисел

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

24+48=24+50-2=72;

28+31=28+30+1=59.

Сложение трехзначных чисел

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

438+325= 400+300+30+20+8+5=763;

537+196=500+100+30+90+7+6=733.

Вычитание

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

76-9=76-10+1=67;

545-82=545-100+18=463.

Вычитание числа меньше 100 , из числа больше 100

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме. 142-63=79

63 на 37 меньше 100. 142 на 42 больше 100. Прибавим 37 к 42 и получим ответ: 79.

Умножение и деление числа на 4.

Чтобы умножить число на 4, нужно его дважды умножить на 2.

Например:

32·4=(32·2)·2=64·2=128;

512·4=(512·2)·2=1024·2=2048.

Чтобы разделить число на 4, нужно его дважды разделить на 2.

Например:

828:4=(828:2):2=414:2=207.

Умножение и деление числа на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10 и разделить на 2.

Например:

426·5=(426·10):2=4260:2=2130.

Чтобы разделить число на 5, нужно умножить 2 и разделить на 10, т.е. отделить запятой последнюю цифру.

Например:

342:5=(342·2):10=684:10=68,4.

Умножение числа на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например: 120·1,5=120+60=180;

250·1,5=250+125=375.

Умножение числа на 9.

Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать 0 и отнять исходное число.

Например: 65·9=650-65=585

Умножение на 25 числа, делящегося на 4.

Чтобы умножить на 25 число, делящееся на 4, нужно его разделить на 4 и получившееся число умножить на 100.

Например: 168·25=(168:4)·100=42·100=4200.

Содержание:

Введение____________________________________________ 3

Основная часть:

Теоретическая часть___________________________________ 4

Практическая часть____________________________________ 5

Заключение__________________________________________ 12

Список источников информации_________________________ 13

I. Введение.

Актуальность.

Зачем нужен устный счет, если на дворе 21 век, и всевозможные гаджеты способны едва ли не молниеносно производить любые арифметические операции? Можно даже не тыкать в смартфон пальцем, а дать голосовую команду - и немедленно получить правильный ответ. Сейчас это успешно проделывают даже школьники младших классов, которым лень самостоятельно делить, умножать, складывать и вычитать. Но у этой медали есть и обратная сторона: ученые предупреждают, что если мозг не тренировать, не нагружать работой и облегчать ему задачи, он начинает лениться, его мыслительные способности снижаются. Точно так же без физических тренировок слабеют и наши мышцы.

О пользе математики говорил еще Михаил Васильевич Ломоносов, называющий ее прекраснейшей из наук: «Математику уже за то любить надо, что она ум в порядок приводит».

Устный счет развивает внимание, память, быстроту реакции. Недаром появляются все новые и новые методики быстрого устного счета, предназначенные и для детей, и для взрослых.

Гипотеза: Предположим, что существуют специальные способы счета, которые позволяют свести расчеты к устным с быстрым нахождением результата.

Цель:

Найти и освоить методы быстрого счета

Методы исследования - анализ научной литературы, анализ и обработка данных

Практическая значимость: Познакомить сверстников с приемами быстрого счета, которые могут помочь им в улучшении показателей по математике.

II. Основная часть.

Теоретическая часть.

Уметь считать правильно и быстро - замечательная способность человеческого ума. Но далеко не все умеют ею пользоваться. Вместе с тем, счет в уме дает огромные преимущества. Это уверенность во многих житейских ситуациях, не только связанных непосредственно с вычислениями, что само по себе очень полезно, но и психологическая уверенность.

Быстрый счет часто означает не интеллектуальную способность мозга, а умение применять на практике методики счета в уме, разработанные и описанные учеными -- математиками. Для их освоения вовсе необязательно иметь выдающиеся математические способности, достаточно изучить эти методики по их книгам и активно применить в жизни.

Яков Перельман (1882-1942) был выдающейся личностью. Наше поколение благодарно ему за то, что именно Перельман стал родоначальником жанра научно -- занимательной литературы. Перельман написал более ста книг, которые и сегодня любимы взрослыми и детьми. Эти книги содержат по-настоящему ценные знания в разных областях, они способствуют развитию творческого подхода к точным наукам и раскрывают прекрасный мир математики, физики, астрономии. Это великолепные книги «Занимательная астрономия», «Занимательная алгебра», «Занимательная геометрия», «Занимательная физика» и другие. Книга Я. Перельмана «Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета» содержит полезные и эффективные способы быстрого счета в уме. Они рассчитаны на способности обычного человека. Но если вы успешно освоите эти методы, вряд ли вас будут продолжать считать обычным человеком.

Хотите с удивительной скоростью не только складывать и умножать числа, но и извлекать корни и возводить в квадрат? Тогда вам нужно освоить систему замечательного цюрихского профессора, уроженца Одессы Якова Трахтенберга (1888-1953). Система Я. Трахтенберга направлена на тренировку скорости вычислений. Если вы сможете уделить системе значительное количество времени для выполнения упражнений, то скорость счета возрастет во много раз! Это удивительный метод, в корне отличающийся от стандартного изучения устного счета в школе.

Методика счета в уме Якова Трахтенберга описана в книге Энн Катлер и Рудольфа Мак-Шейна «Система быстрого счета по Трахтенбергу».

Профессор ботаники МГУ Сергей Александрович Рачинский (1833-1902) предпочел должность сельского учителя в Смоленской губернии. За время своей педагогической деятельности, Рачинский накопил огромный опыт, нашедший отражение в труде «1001 задача для умственных вычислений». Это задачник по математическим вычислениям, впервые увидевший свет в Санкт- Петербурге в 1891 году. Прочитать о жизни С. А. Рачинского, о его системе счета подробнее можно в книге «Сельский учитель С.А. Рачинский и его задачи для умственных вычислений» И.И. Баврина.

Практическая часть.

СЛОЖЕНИЕ

Рассмотрим простейшие способы быстрого счета при сложении.

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д.

Например:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

СЛОЖЕНИЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы.

Например:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

Общие приёмы устного счёта могут быть применимы к любым числам. Они основываются на свойствах десятичного числа и применении законов и свойств арифметических действий.

При сложении двух и более чисел часто используется такой прием, включающий три этапа:

1) Разложение каждого слагаемого на разряды - единицы, десятки, сотни, тысячи, сотни тысяч и т.д.

2) Использование сочетательного и переместительного свойств.

3) Выполнить сложение каждой из получившихся групп.

Пример:

Требуется сложить 28, 47, 32 и 13.

пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды - десятки и единицы.

28=20+8 32=30+2

47=40+7 13=10+3

воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами:

20+30+8+2+40+10+7+3 - (переместительный закон)

(20+30)+(8+2)+(40+10)+(7+3) - (сочетательный закон)

выполняем сложение каждой группы

50+10+50+10

50+50+10+10 (переместительный закон)

100+10+10=120 выполняем сложение

ВЫЧИТАНИЕ

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ

Умножение многозначных чисел на 9

1. Число десятков увеличим на 1 и вычтем из множимого

2. К результату приписываем дополнение цифры единиц множимого до 10

Умножение на 99

1. Из числа вычитаем число его сотен, увеличенное на 1

2. Находим дополнение числа, образованного двумя последними цифрами до 100

3. Приписываем дополнение к предшествующему результату

Пример:

27 · 99 = 2673 (сотен - 0) 134 · 99 = 13266

27 - 1 = 26 134 - 2 = 132 (сотня - 1 + 1)

100 - 27 = 73

Умножение на 999 любого числа

1. Из умножаемого вычитаем число тысяч, увеличенное на 1

2. Находим дополнение до 1000

23 · 999 = 22977 ( тысяч - 0 + 1 = 1)

23 - 1 = 22

1000 - 23 = 977

124 · 999 = 123876 ( тысяч - 0 + 1 = 1)

124 - 1 = 123

1000 - 124 = 876

1324 · 999 = 1322676 (тысяча - 1 + 1 = 2)

1324 - 2 = 1322

1000 - 324 = 676

Умножение на 11, 22, 33, …99

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр:

72 Ч11= 7 (7+2) 2 = 792;

35 Ч11 = 3 (3+5) 5 = 385.

Чтобы умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения:

94 Ч11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034;

59Ч11 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33. …99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа (от 1 до 9) на 11, т.е.

44= 4 Ч 11; 55 = 5Ч11 и т. д.

Затем произведение первых чисел умножить на 11.

48 Ч 22 =48 Ч 2 Ч (22 : 2) = 96 Ч 11 =1056;

24 Ч 22 = 24 Ч 2 Ч 11 = 48 Ч 11 = 528;

23 Ч33 = 23 Ч 3Ч 11 = 69 Ч 11 = 759;

18 Ч 44 = 18 Ч 4 Ч 11 = 72 Ч 11 = 792;

16 Ч 55 = 16 Ч 5 Ч 11 = 80 Ч 11 = 880;

16 Ч 66 = 16 Ч 6 Ч 11 = 96 Ч 11 = 1056;

14 Ч 77 = 14 Ч 7 Ч 11 = 98 Ч 11 = 1078;

12 Ч 88 = 12 Ч 8 Ч 11 = 96 Ч 11 = 1056;

8 Ч 99 = 8 Ч 9 Ч 11 = 72 Ч 11 = 792.

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого.

Умножение на число, оканчивающееся на 5

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой - уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

44 Ч 5 = (44 : 2) Ч 5 Ч 2 = 22 Ч 10 = 220;

28 Ч 15 = (28 : 2) Ч 15 Ч 2 = 14 Ч 30 = 420;

32 Ч 25 = (32 : 2) Ч 25 Ч 2 = 16 Ч 50 = 800;

26 Ч 35 = (26 : 2) Ч 35 Ч 2 = 13 Ч 70 = 910;

36 Ч 45 = (36 : 2) Ч 45 Ч 2 = 18 Ч 90 = 1625;

34 Ч 55 = (34 : 2) Ч 55 Ч 2 = 17 Ч 110 = 1870;

18 Ч 65 = (18 : 2) Ч 65 Ч 2 = 9 Ч 130 = 1170;

12 Ч 75 = (12 : 2) Ч 75 Ч 2 = 6 Ч 150 = 900;

14 Ч 85 = (14 : 2) Ч 85 Ч 2 = 7 Ч 170 = 1190;

12 Ч 95 = (12 : 2) Ч 95 Ч 2 = 6 Ч 190 = 1140.

Умножение и деление на 4, 8, 16…

Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают.

Пример:

213 · 4 = (213 · 2) · 2 = 426 · 2 = 852

Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2.

Пример:

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

Чтобы умножить число на 8 его трижды удваивают.

Чтобы умножить число на 16 его четырежды удваивают и т.д.

При делении числа на 8 необходимо его трижды поделить на 2.

При делении числа на 16 необходимо его четыре раза поделить на 2.

Умножение и деление на 25, 50, 75, 125, 250, 500

Для того, чтобы устно научиться умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.

На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4.

Например:

124 делится на 4, так как 24 делится на 4;

1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;

1800 делится на 4, так как 00 делится на 4

Правило. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

Примеры:

484 Ч 25 = (484 : 4) Ч 25 Ч 4 = 121 Ч 100 = 12100

124 Ч 25 = 124 : 4 Ч 100 = 3100

Правило. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

Примеры:

12100 : 25 = 12100 : 100 Ч 4 = 484

31100 : 25 = 31100 :100 Ч 4 = 1244

Правило. Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

Примеры:

32 Ч 75 = (32 :4) Ч 75 Ч 4 = 8 Ч 300 = 2400

48 Ч 75 = 48 : 4 Ч 300 = 3600

Правило. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.

Примеры:

2400 : 75 = 2400 : 300 Ч 4 = 32

3600 : 75 = 3600 : 300 Ч 4 = 48

Правило. Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.

Примеры:

432Ч 50 = 432 :2 Ч 50 Ч 2 = 216 Ч 100 = 21600

848 Ч 50 = 848 : 2 Ч 100 = 42400

Правило. Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.

Примеры:

21600 : 50 = 21600 : 100 Ч 2 = 432

42400 : 50 = 42400 : 100 Ч 2 = 848

Правило. Чтобы число умножить на 500, надо это число разделить на 2 и умножить на 1000.

Примеры:

428 Ч 500 = (428 :2) Ч 500 Ч 2 = 214 Ч 1000 = 214000

2436 Ч 500 = 2436 : 2 Ч 1000 = 1218000

Правило. Чтобы число разделить на 500, надо это число разделить на 1000 и умножить на 2.

Примеры:

214000 : 500 = 214000 : 1000 Ч 2 = 428

1218000 : 500 = 1218000 : 1000 Ч 2 = 2436

Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10

Пример:

24 Ч 26 = (24 - 4) Ч (26 + 4) + 4 Ч 6 = 20 Ч 30 + 24 = 624.

Числа 24 и 26 округляем до десятков, чтобы получить число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц.

18 Ч 12 = 2 Ч 1 сот. + 8 Ч 2 = 200 + 16 = 216;

16 Ч 14 = 2 Ч 1 Ч 100 + 6 Ч 4 = 200 + 24 = 224;

23 Ч 27 = 2 Ч 3 Ч 100 + 3 Ч 7 = 621;

34 Ч 36 = 3 Ч 4 сот. + 4 Ч 6 = 1224;

71 Ч 79 = 7 Ч 8 сот. + 1 Ч 9 = 5609;

82 Ч 88 = 8 Ч 9 сот. + 2 Ч 8 = 7216.

Можно решать устно и более сложные примеры:

108 Ч 102 = 10 Ч 11 сот. + 8 Ч 2 = 11016;

204 Ч 206 = 20 Ч 21 сот. +4 Ч 6 = 42024;

Правило. При умножении двузначных чисел. у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, надо перемножить цифры десятков. и прибавить цифру единиц, получим число сотен и к числу сотен прибавим произведение единиц.

Примеры:

72 Ч 32 = (7 Ч 3 + 2)сот. + 2 Ч 2 = 2304;

64 Ч 44 = (6 Ч 4 + 4) Ч 100 + 4 Ч 4 = 2816;

53 Ч 53 = (5 Ч 5 +3) Ч 100 + 3 Ч 3 = 2809;

18 Ч 98 = (1 Ч 9 + 8) Ч 100 + 8 Ч 8 = 1764

Прием округления

Очень эффективный и часто употребляемый приём устного счёта. Этот приём можно использовать во всех четырёх арифметических действиях.

Прием заключается в следующем:

1) К одному из слагаемых (уменьшаемому, вычитаемому, множителю, делимому, делителю) добавляем столько единиц, сколько не хватает до нужного нам «круглого» числа.

2) Затем из результата вычитаем столько же единиц, сколько прибавляли.

Примеры:

1) 399+473=400+473=873-1=872 (399 округляем до 400, т.е. прибавляем 1, а затем из результата вычитаем 1)

399+473=(399+1)+(473-1)=400+472=872

2) 56-38=(56+4-38) - 4=(60-38) - 4=22-4=18 (если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность необходимо увеличить на соответствующее количество единиц)

3) 72-15=((72-2) - 15)+2=(70-15)+2=57 (если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшается на соответствующее количество единиц. Следовательно, это количество необходимо прибавить)

4) 752-298=(752 - (298+2))+2=(752-300)+2=452+2=454 (если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшаются на соответствующее количество единиц. Чтобы этого не произошло к полученному результату необходимо прибавить вычтенное число.)

93-22=(93 - (22-2)) - 2=(93-20) - 2=73-2=71

приписать это же число.

Заключение

Приемы устных рациональных вычислений, способствуют повышению общего уровня математического развития; развивают у учеников навык быстро выделять из известных им законов, формул, теорем те, которые следует применить для решения предложенных задач, расчетов и вычислений; содействуют развитию памяти, развивают способность зрительного восприятия математических фактов, совершенствуют пространственное воображение.

Помимо этого, рациональный счет играет немаловажную роль в повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития личностных качеств ребенка.

Список источников информации

Википедия wikipedia.ru

Катлер Э., Мак-Шейн Р. Система быстрого счета по Трахтенбергу. Москва: Просвещение, 1967.

Яков Перельман. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. -Дом занимательной науки, 1941.

Кудинова И.К. Отработка вычислительных навыков обучающихся на уроках математики с помощью приемов «быстрого» счета. Учебно-методический материал.

1.Введение

В настоящее время, время ОГЭ и ЕГЭ актуальна проблема быстро, правильно, без калькулятора вычислить. Это необходимо не только на уроках математики, но и физики, химии, и т.д. Да и в жизни: в магазинах - различные скидки, в банках - процентные ставки, зарплаты и пенсии повышаются на некоторое количество процентов,…Хоть и считается, что математика наводит ужас на значительную часть населения, но деньги считать умеют все.

Гипотеза:

Возможно, есть такие приемы быстрого счета без калькулятора, которые позволяют легко вычислять, да еще бы устно, и чтоб они легко запоминались.

Цель:

Изучить и научиться применять некоторые способы быстрого счета, для применения которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.

Задачи:

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Освоить несколько быстрых и удобных способов.

3. Познакомить с приемами быстрого счета одноклассников.

4. Учиться собирать информацию, выделять главное, делать выводы.

Объект исследования:

Приемы быстрого счета.

Предмет исследования:

Возможность найти приемы легко запоминающиеся и легко применяющиеся.

Методы:

Поиск, сбор и изучение материала, эксперимент, описание, анализ, сравнение, обобщение и формулировка выводов.

Актуальность:

Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий.

Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако, владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе.

Поэтому данная тема актуальна и практически значима.

II. Основная часть

2.1. Немного истории…

На уроках математики приходится, много делать устных вычислений. Немногие умеют считать быстро и правильно. Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач.

А ведь приёмы быстрого устного счёта известны давно. Великолепные способности к устному счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано.

Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт» была написана в 1895 г., то есть 120 лет назад.( Приложение 1.)

Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. Учитель - Сергей Александрович Рачинский, известный русский педагог, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского университета. В 1868 г. С. А. Рачинский решает «уйти в народ». Он держит экзамен на звание учителя начальных классов. На свои средства открывает школу для крестьянских детей в селе Татево Смоленской губернии и становится в ней учителем. Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы. Не случайно, художник изобразил С. А. Рачинского вместе с его учениками именно на уроке устного решения задач. Эта картина - гимн учителю и ученику!

2. Что помогает легко вычислять?

Умножение числа на 0, на 1, на 10, 100,1000 …

Свойства:

· Переместительное: a+b = b+a

· Сочетательное: a+b+c = a+c+b

· Распределительное: a(b+c)=ab+ac

· Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, то есть (a+b)-(a-b)=2b

· Пример: (3+2)-(3-2)=2•2=4

· Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное большее число, то есть (a+b)+(a-b)=2a

· Пример: (3+2)+(3-2)=3 • 2=6

· Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

· Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

· Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами.

· При делении на 5, на 50, на 25 можно воспользоваться следующими выражениями:

· a:5=a • 2:10 a:50=a • 2:100

· a:25=a • 4:100

· Для того чтобы возвести в квадрат число оканчивающееся на 5, надо найти значение выражения:

· 100•количество десятков числа • (количество десятков+1)+25.

2.

2. Умножение, деление, возведение в степень чисел

Умножение чисел от 10 до 20.

Можно очень просто умножать такие числа. К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1. 16•18=(16+8) • 10+6 • 8=288, или пример 2. 17 • 17=(17+7) • 10+7 • 7=289.

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Пример: 72 • 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения. Пример: 94 • 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4* 11; 55 = 5 * 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример: 24 • 22 = 24 • 2 • 11 = 48 • 11 = 528 или 23 • 33 = 23 • 3 • 11= 69 • 11 = 759

Большинство людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее.

Умножение на 5: возьмем любое число, разделим на 2 ( другими словами, поделим пополам). Если в результате получится целое число, припишем 0 в конце. Если нет, не обращаем внимание на запятую и в конце добавляем 5.

Это работает всегда: 2682*5 = (2682 / 2) ; 2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)

13410. Другой пример: 5887*5=(5887 / 2) ; 5887 / 2 = 2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5) 29435.

Деление на 5: на самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно,-- просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5Шаг1: 195*2 = 390 Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39. 2978 / 5 шаг1: 2978*2 = 5956; шаг2: 595,6

Умножение на 25.Чтобы умножить какое-нибудь число, нужно данное число разделить 4. Ответ - полные сотни, остаток - неполные (1, 2, 3 или 25, 50, 75). Пример. 135 * 25=(135:4=100:4+35:4)=33 сотни, остаток 3 (или неполная сотня - 75)=3375.

Умножение на 5, на 50, на 25, на 125. При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:

a • 5=a • 10:2 a • 50=a • 100:2

a • 25=a • 100:4 а • 125=а • 1000:8

Пример1. 17 • 5=17 • 10:2=170:2=85

Пример 2. 43 • 50=43 • 100:2=4300:2=2150

Пример 3. 27 • 25=27 • 100:4=2700:4=675

Пример 4. 96 • 125=96:8 • 1000=12 • 1000=12000

Чтобы разделить число на 5, 50,500, … нужно разделить его на 10,100, 1000,…и умножить на 2.

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число.

Пример: 28*9= 280-28=252

Возведение в квадрат чисел , оканчивающихся цифрой 5

Для того чтобы возвести в квадрат число оканчивающееся на 5, надо найти значение выражения:

1

00•количество десятков числа • (количество десятков+1)+25.

Пример: =100 • 18 • (18+1)+25=34225.

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

85 * 85 = 7225

Шаг 1 -- Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу: 8 *(8 + 1) = 72 Шаг 2 -- Дописываем к получившемуся результату 25: 7225

45 * 45 = 2025 Шаг 1 -- 4 * (4 + 1) = 20 Шаг 2 -- 2025

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило.

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

Примеры:

44 • 5 = (44 : 2) • 5 • 2 = 22 • 10 = 220;

28 • 15 = (28 : 2) • 15 • 2 = 14 • 30 = 420;

32 • 25 = (32 : 2) • 25 • 2 = 16 • 50 = 800

При делении на 5, на 50, на 25 можно воспользоваться следующими выражениями:

a:5=a • 2:10 a:50=a • 2:100

a:25=a • 4:100

Примеры:

35:5=35 • 2:10=70:10=7

3750:50=3750 • 2:100=7500:100=75

6400:25=6400 • 4:100=25600:100=256

Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами.

Древние греки и индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком»

Пример: 24 • 32 = 768

Последовательно производим следующие действия:

1. 4 • 2 = 8 - это последняя цифра результата.

2. 2 • 2 = 4; 4 • 3 = 12; 4 + 12 = 16.

6 - предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.

3. 2 • 3 = 6, 6 + 1 = 7 - это первая цифра в ответе.

Ответ: 768.

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10

Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй.

Пример. 204 • 206=42024

а) 20 • (20+1)=420, пишем 420

б) 6 • 4=24, пишем 24

Умножение на 4 .Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять множить на 2: 58Ч4 = (58Ч2) + (58Ч2) = (116) + (116) = 232.

Умножить 1 223 сразу на 4 в уме сможет не каждый. А теперь делаем 1223 Ч 2 = 2446 и далее 2446 Ч 2 = 4892. Так гораздо проще.

Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2.

Сложное умножение. Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них -- четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:

32Ч125 все равно, что:

16Ч250 все равно, что:

8Ч500 все равно, что:

4Ч1000 = 4000

Чтобы умножить число на 1,5 нужно к исходному числу прибавить его половину. Например,

34*1,5 = 34+17=51

125*1,5= 125+62,5=187,5

2. Сложение и вычитание чисел

Вычитание из 1000

Чтобы выполнить вычитание из 1000, можете пользоваться этим простым правилом: Отнимите от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от 10: 1000-648

Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3 Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5 Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2 Ответ: 352

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел:

если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц. Пример. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748

если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится. Пример. 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84

2.5. Интересные факты

Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки.



Картинка с очень крутым способом умножения

Умножение однозначного или двухзначного числа на 37

Запомни!

2 • 37 = 74 и 3 • 37 = 111

37 • 6 = 37 • 3 • 2 = 111 • 2 =222

37 • 8 = 37 • (6+2) = 222 + 74 = 296

37 • 18 = 37 • 3 • 6 = 111 • 6 = 666

37 • 3=111

37 • 6=222

37 • 9=333

37 • 12=444

37 • 15=555 и т.д

Легко запомнить!!!

7 • 11 • 13=1001

77 • 13=1001

77 • 26=2002

77 • 39=3003 и т.д

Интересные результаты:

1 х 1 = 1

11 х 11 = 121

111 х 111 = 12321

1111 х 1111 = 1234321

11111 х 11111 = 123454321

111111 х 111111 = 12345654321

1111111 х 1111111 = 1234567654321

11111111 х 11111111 = 123456787654321

111111111 х 111111111 = 12345678987654321

1 х 9 + 2 = 11

12 х 9 + 3 = 111

123 х 9 + 4 = 1111

1234 х 9 + 5 = 11111

12345 х 9 + 6 = 111111

123456 х 9 + 7 = 1111111

1234567 х 9 + 8 = 11111111

12345678 х 9 + 9 = 111111111

123456789 х 9 + 10 = 1111111111

9 х 9 + 7 = 88

98 х 9 + 6 = 888

987 х 9 + 5 = 8888

9876 х 9 + 4 = 88888

98765 х 9 + 3 = 888888

987654 х 9 + 2 = 8888888

9876543 х 9 + 1 = 88888888

98765432 х 9 + 0 = 888888888

1 х 8 + 1 = 9

12 х 8 + 2 = 98

123 х 8 + 3 = 987

1234 х 8 + 4 = 9876

12345 х 8 + 5 = 98765

123456 х 8 + 6 = 987654

1234567 х 8 + 7 = 9876543

12345678 х 8 + 8 = 98765432

123456789 х 8 + 9 = 987654321

Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент удвоится

Хотите быстро узнать время, которое потребуется, чтобы ваш денежный вклад с определённой процентной ставкой удвоился? Тут также не нужен калькулятор, достаточно знать «правило 72».

Делим число 72 на нашу процентную ставку, после чего получаем приблизительный срок, через который вклад удвоится.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 14 с небольшим лет, чтобы он удвоился.

Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент утроится

В данном случае процентная ставка по вкладу должна стать делителем числа 115.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 23 года, чтобы он утроился.

Быстрое вычисление почасовой ставки Представьте, что вы проходите собеседования с двумя работодателями, которые не называют оклад в привычном формате «рублей в месяц», а говорят о годовых окладах и почасовой оплате. Как быстро посчитать, где платят больше? Там, где годовой оклад составляет 360 000 рублей, или там, где платят 200 рублей в час? счет умножение контрольный измерение

Для расчёта оплаты одного часа работы при озвучивании годового оклада необходимо отбросить от названной суммы три последних знака, после чего разделить получившееся число на 2.

360 000 превращается в 360 ч 2 = 180 рублей в час. При прочих равных условиях получается, что второе предложение лучше.

II. Заключение

Моя гипотеза подтвердилась -существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень …Я думаю, что я нашел, далеко не все, способы быстрого счета. Все рассмотренные методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами.

Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Вычисления без калькулятора - тренировка памяти и математического мышления.

Вычислительная техника совершенствуется , и по сей день, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди. Я запомнил некоторые приемы устного счета, которые помогут мне в жизни, на различных уроках.

Своих одноклассников я познакомил со способами, которые нашел и которые уже применяю- им было интересно меня слушать, затем я решил провести эксперимент, как они их усвоили и провел небольшую самостоятельную работу (приложение 2). Результаты меня порадовали ( приложение 3). Эти методы действительно быстро запоминаются!

Мне было интересно работать над проектом. Пока я только изучал и анализировал уже известные способы быстрого счета. Еще я находил методы быстрых вычислений по темам которые еще не проходил на уроках в 7 классе, думаю, при изучении этих тем в старших классах, я обязательно с ними познакомлюсь и познакомлю своих одноклассников.

...