КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН

Зміст

Завдання на курсову роботу

Реферат

Вступ

1. НЕСКІНЧЕННІ ДОБУТКИ ТАЇХ ВЛАСТИВОСТІ

1.1 Поняття нескінченного добутку

1.2 Властивості нескінченних добутків

2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Висновок

Використані джерела

Реферат

Курсова робота «Тема згідно з наказом»: 16 с., ____джерел.

Перелік ключових слів :ВЛАСТИВОСТІ НЕСКІНЧЕННИХ ДОБУТКІВ, ЗБІЖНІСТЬ, НЕСКІНЧЕННИЙ ДОБУТОК, ЧИСЛОВИЙ РЯД

Об'єкт дослідження: числові ряди.

Предмет дослідження: нескінченні твори.

Мета роботи: вивчення теми «Нескінченні добутки» з точки зору новітніх вітчизняних і зарубіжних досліджень з подібною проблематикою, дослідження їх властивостей.

Методи дослідження: аналіз літератури, синтез, узагальнення, рішення задач по темі.

Текст реферату

Вступ

Представлена робота присвячена темі «Нескінченні добутки».

Проблема даного дослідження носить актуальний характер в сучасних умовах. Про це свідчить часте вивчення порушених питань.

Тема «Нескінченні добутки» вивчається на стику відразу декількох взаємопов'язаних дисциплін. Для сучасного стану науки характерний перехід до глобального розгляду проблем тематики «Нескінченні добутки». Питанням дослідження присвячено безліч робіт. В основному матеріал, викладений у навчальній літературі, носить загальний характер, а в численних монографіях з даної тематики розглянуті більш вузькі питання, проблеми «Нескінченних добутків». Однак, потрібно облік сучасних умов при дослідженні проблематики означеної теми. Висока значимість і недостатня практична розробленість проблеми визначають безсумнівну новизну даного дослідження. Подальше увагу до питання про проблему «Нескінченні добутки» необхідно в цілях більш глибокого і обґрунтованого рішення актуальних проблем тематики даного дослідження.

Актуальність даної роботи обумовлена, з одного боку, великим інтересом до теми «Нескінченні добутки» в сучасній науці, з іншого боку, її недостатньою розробленістю. Розгляд питань пов'язаних з даною тематикою носить, як і теоретичну, так і практичну значимість. Результати можуть бути використані для розробки методики аналізу «Нескінченних добутків». Теоретичне значення вивчення даної проблеми полягає в тому, що обрана для розгляду проблематика

1. НЕСКІНЧЕННІ ДОБУТКИ ТАЇХ ВЛАСТИВОСТІ

1.1 Поняття нескінченного добутку

До поняття числового ряду близьке поняття нескінченного числового добутку. Нехай дана нескінченна числова послідовність Записано формально виразом вигляду:

(1)

прийнято називати нескінченним добутком. Окремі елементи х? прийнято називати членами даного нескінченного добутку. Добуток перших n членів даного нескінченного добутку прийнято називати n-м частковим добутком і позначати символом

Нескінченний добуток (1) називають збіжним, якщо послідовність часткових добутків має кінцеву межу , відмінний від нуля. У разі збіжності нескінченного добутку (1) вказана границя називають значенням цього нескінченного добутку і пишуть:

Відзначимо, що остання рівність має сенс лише для збіжного нескінченного добутку. Зрозуміло, що розгляд нескінченних добутків по суті являє собою нову форму вивчення числових послідовностей, бо кожному даному нескінченному добутку однозначно відповідає послідовність його часткових добутків і кожної числової послідовності все елементи якої відмінні від нуля, однозначно відповідає нескінченний добуток, для якого ця послідовність є послідовністю часткових добутків (досить покласти члени нескінченного добутку рівним = /-1 при і )

Теорема 1 Необхідною умовою збіжності нескінченного добутку (1) є прагнення до одиниці його k-го члена при

Доведенння. Нехай нескінченний добуток (1) збігається і має значення P, відмінне від нуля. Тоді . Оскільки

= /-1то існує і дорівнює одинці.

Помітимо, що на збіжність нескінченного добутку не впливає видалення будь якого кінцевого числа члену цього добутку (якщо серед цих членів немає рівних нулю). Оскільки нескінченний добуток, у якого хоча б один член дорівнює нулю згідно прийнятому вище рішенню вважається розбіжним, то ми надалі взагалі виключаємо з розгляду нескінченні добутки, у яких хоча б один член дорівнює нулю.

Приклад.

(2)

(x - будь яке фіксоване число).

Доведемо, що нескінченний добуток (2) при будь якому збігається і має значення . Підрахуємо n-ий частковий добуток

(3)

Домножаючи обидві частини (3) на sin послідовно використовуємо формулу для синуса подвійного кута , отримаємо

З останньої формули маємо

Оскільки вираз в фігурних дужках прагне до одиниці при ( згідно першої помітної межі), то існує і дорівнює . Тим самим доведено, що нескінченний добуток (2) збігається і має значення при будь якому x?рn

(4)

Доведемо, що нескінченний добуток (4) збіжний і має значення 1/3. Підрахуємо частковий добуток :

Таким чином існує і дорівнює 1/3.

1.2 Властивості нескінченних добутків

Відзначимо найпростіші властивості нескінченних добутків.

1. Якщо нескінченний добуток збігається, то і все його залишкові добутки збігається.

Якщо будь-який залишковий добуток збігається, то і сам нескінченний добуток збігається.

2. Якщо нескінченний добуток збігається, то послідовність його залишкових добутків.

маємо межу одиницю:

Доведення: Якщо

То

Так як

то

3.(необхідна умова збіжності нескінченного добутку). Якщо нескінченний добуток збігається, то послідовність його співмножників прагне до одиниці:

Доведення: Насправді, , n = 2, 3, …, тому

Відзначимо, що виконання умови (2.4), тобто прагнення послідовності співмножників нескінченного добутку до одиниці, недостатньо для його збіжності.

2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Приклад 1. Обчислити значення нескінченного добутка

Розв'язання. Як відомо,

, .

Враховуючи те, що, запишемо n-й частковий добуток у вигляді

Обчислимо границю цієї послідовності

Відповідь:

Приклад 2. Дослідити на збіжність нескінченний добуток

Розв'язання. Обчислимо визначений інтеграл

Оскільки послідовність монотонно зростає , то послідовність є нескінченно малою та такою, що не міняє знака. Таким чином, наш нескінченний добуток збігається тоді і тільки тоді, коли збігається ряд

Це числовий ряд з додатними членами. Порівняємо його з числовим збіжним рядом . Для цього обчислимо границю

.

Оскільки , то

Таким чином, за теоремою порівняння ряд

збігається, а отже збігається і наш добуток.

Зауваження. Збіжність ряду можна довести безпосередньо, знайшовши суму ряду.

Відповідь : збігається.

Висновок

У цій роботі було проведено дослідження одного з типів числових рядів - нескінченних добутків. В ході роботи було виконано аналіз літератури по даній темі, на підставі якого були виділені основні поняття і властивості нескінченних добутків і рядів, розглянуті розкладання різних функцій в нескінченні добутки, вирішені різні завдання по даній темі.

Розглянуто такі поняття, як збіжність нескінченного добутку.

У підсумку, можна помітити, що розгляд питань пов'язаних з даною тематикою носить як теоретичну, так і практичну значимість.