Теория случайных процессов
Взаимная корреляционная функция. Характеристика нормированной взаимной корреляционной функции. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Понятие и сущность эргодичного процесса. Корреляционная функция стационарного случайного процесса.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.05.2021 |
| Размер файла | 922,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский
Томский политехнический Университет»
Инженерная школа ядерных технологий
Направление «Прикладная математика и информатика»
ОТЧЕТ
По индивидуальному заданию 1
по дисциплине:
Теория случайных процессов
Томск - 2021
1. Найти математическое ожидание mX(t), корреляционную функцию КX(t1,t2), дисперсию DX (t) случайного процесса Х(t). U, V некоррелированные случайные величины.
Х(t) = t2U + Vcostsint. UN(3; 2), VE(0.5).
Решение:
Математическое ожидание (неслучайная функция, значение которой в каждый момент равно математическому ожиданию в сечении):
M [U] = 3,
M [V] = 1/0.5 = 2
Математическое ожидание всего случайного процесса:
mX(t) = =
Корреляционная функция КX(t1,t2) - математическое ожидание произведения сечения процесса в моменты времени t1,t2 . Корреляционная функция описывает динамику изменения процесса во времени.
D [U] = 2,
D [V] = = 4
Так как неслучайная функция на функцию автокорреляции не влияет:
Дисперсия процесса:
2. Найти корреляционную функцию КZ (t1, t2) и дисперсию DZ (t), если X(t), Y(t) - некоррелированные случайные процессы и даны корреляционные функции КX (t1,t2), КY (t1,t2).
Z(t) = X(t)sintY(t)(t2+1)+et, Kx(t1,t2) =1/(1+|t2-t1|), Ky (t1,t2) =t1t2+1.
Решение:
Корреляционная функция:
Дисперсия:
3.Z(t) = t2 + g(t)X(t) h(t)Y(t), где g(t), h(t) - неслучайные функции, X(t), Y(t) - центрированные случайные процессы с корреляционными функциями KX = KX (t1,t2), KY =KY (t1,t2) и взаимной корреляционной функцией KXY = KXY (t1,t2). Найти математическое ожидание mZ(t), корреляционную функцию KZ(t1,t2), дисперсию DZ(t), нормированную корреляционную функцию сZ(t1,t2) случайного процесса Z(t).
g(t)=t2, h(t)=et, KX =exp(-t1-t2), KY =16exp(-t1-t2), KXY =4exp(-t1-t2).
Решение:
Математическое ожидание:
X(t), Y(t) - центрированные следовательно,
.
Корреляционная функция:
Для коррелированных случайных величин
Подставляя значения функций, получаем:
Дисперсия:
Нормированная корреляционная функция:
4. Найти математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию KY (t1,t2), дисперсию DY (t), нормированную корреляционную функцию сY(t1,t2) случайного процесса Y(t) = X(t), не дифференцируя X(t). Найти взаимную корреляционную функцию KXY(t1,t2) и нормированную взаимную корреляционную функцию сXY(t1,t2). U-случайная величина.
Х(t) = t 2- U е3t, UN(2;0.7).
Решение:
Математическое ожидание:
6
Корреляционная функция:
Дисперсия:
Нормированная корреляционная функция:
Взаимная корреляционная функция:
Нормированная взаимная корреляционная функция:
5.X(t) = f(t) + g(t)U + h(t)V, где f(t), g(t), h(t)-неслучайные функции; U, V - некоррелированные случайные величины. Найти математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию KY(t1,t2), дисперсию DY (t) случайного процесса Y(t) = t X(t) - 2X?(t), не дифференцируя X(t).
f(t) = e2t, g(t) = t2, h(t) = cos4t, U N(2,9), V E(0.2).
Решение:
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины V:
Математическое ожидание:
Корреляционная функция:
Дисперсия:
6.X(t) = f(t)U, f(t) неслучайная функция; U - случайная величина, Найти математическое ожидание mZ(t), корреляционную функцию КZ(t1,t2), дисперсию DZ (t), взаимные корреляционные функции KZX (t1,t2), KXZ (t1,t2), не интегрируя X(t).
f(t) = cos6t, UE(0.2).
Решение:
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины U:
Математическое ожидание X(t):
Корреляционная функция X(t):
Математическое ожидание Z(t):
Корреляционная функция Z(t):
Дисперсия:
Взаимная корреляционная функция:
7.X(t) случайный процесс, Найти корреляционную функцию КY(t1,t2), дисперсию DY (t), нормированную корреляционную функцию сY(t1,t2) случайного процесса Y(t)= X(t) + Z(t), не интегрируя X(t). U - случайная величина.
x(t) = U ch3t, UP(2).
Решение:
Корреляционная функция Y(t):
Дисперсия:
Нормированная корреляционная функция:
8. Доказать, что случайный процесс X(t) стационарен в широком смысле. Проверить свойство эргодичности для математического ожидания, корреляционной функции. Найти дисперсию случайного процесса. U, V некоррелированные случайные величины.
Х(t) = (U2) cos3t- Vsin3t, UR(0;4), V.
Решение:
Стационарный в широком смысле процесс имеет постоянные во времени математическое ожидание и дисперсию:
, .
Следовательно Х(t) - стационарный в широком смысле.
Эргодичный процесс - такой процесс, в котором усреднением по одной реализации можно вычислить его параметры. Для математического ожидания:
Относительно математического ожидания процесс эргодичен.
9.kX(ф) корреляционная функция стационарного случайного процесса X(t). Найти корреляционную функцию, дисперсию производной X?(t), взаимную корреляционную функцию kXX(ф).
kX(ф) = 5 (1 sin3ф2)exp(2ф2).
Решение:
Корреляционная функция:
Дисперсия: корреляционная функция эргодичный величина
Взаимная корреляционная функция:
10.. Найти корреляционную функцию, дисперсию случайного процесса Z(t), взаимную корреляционную функцию kXZ(t1,t2). В задачах, в которых корреляционная функция kX(ф) содержит , рассмотреть только случай .
kX(ф) = 8 cos4ф .
Решение:
Обозначим
Корреляционная функция:
Дисперсия:
Взаимная корреляционная функция:
11.kX(ф) корреляционная функция стационарного случайного процесса X(t). Найти его спектральную плотность.
kX(ф) = (cosф+sin|ф|) exp(|ф|).
Решение:
Спектральная плотность - частотное представление случайного процесса. Спектральная плотность рассчитывается при помощи преобразования Фурье. Интеграл находим по таблице.
12.SX(щ) спектральная плотность стационарного случайного процесса X(t). Найти его корреляционную функцию.
SX (щ)=
Корреляционная функция высчитывается из спектральной плотности по формуле:
Так как при равен 0, интервал интегрирования 0-3.
для 0. Для 0 :
13. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, подается стационарный случайный процесс X(t) с математическим ожиданием mX и спектральной плотностью SX(щ). Найти математическое ожидание и дисперсию случайного процесса Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.
y+5 y+6 y =3x, mX= 10, SX (щ)=
Решение:
Математическое ожидание:
По свойству стационарной линейной динамической системы:
где , - коэффициенты передаточной функции системы.
Дисперсия:
По свойству стационарной линейной динамической системы:
где - передаточная функция системы, - спектральная плотность процесса .
где B и А части дифференциального уравнения, описывающие поведение системы. B - члены относящиеся к процессу , A - к выходному процессу Y.
АЧХ системы:
Разложение АЧХ системы на простые слагаемые:
Решаем числитель относительно a и b:
14. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, подается стационарный случайный процесс X(t) с корреляционной функцией kX(ф). Найти спектральную плотность SY (щ) случайного процесса Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.
y+6 y+ 5y = x+ 7x+ 10x, kX(ф)= 18/(9+ф2)2.
Решение:
По свойству спектральной плотности:
15. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, подается стационарный случайный процесс X(t) со спектральной плотностью SX(щ). Найти корреляционную функцию kY(ф) случайного процесса Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.
y+12 y+ 36y = x, SX (щ) = 10(sin8щ)/ (рщ).
Решение:
По свойству корреляционной функции:
Обозначения и сокращения
UN(m;) случайная величина U распределена по нормальному закону с математическим ожиданием m и дисперсией .
UR(a; b) случайная величина U распределена равномерно на отрезке [a; b], .
UE(л) случайная величина U распределена по экспоненциальному закону с параметром л,.
UВ(n, p) случайная величина U распределена по биномиальному закону с параметрами n, p,.
UР(л) случайная величина U распределена по закону Пуассона с параметром л,.
центрированная случайная величина или центрированный случайный процесс.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Числовые характеристики случайной функции: математическое ожидание, дисперсия, квадрат разности, корреляционная функция. Расчет среднего выборочного и несмещенной выборочной дисперсии, проверка гипотезы о нормальном распределении по критерию согласия.
контрольная работа [666,1 K], добавлен 02.06.2010Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.
лекция [285,3 K], добавлен 17.12.2010События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярные случайные величины. Математическое ожидание случайной величины. Неравенство Чебышева. Моменты, кумулянты и характеристическая функция.
реферат [244,6 K], добавлен 03.12.2007Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса. Спектральная плотность случайного процесса. Сглаживание значений на концах случайного временного ряда. График оценки спектральной плотности для окна Рисса, при центрированном случайном процессе.
курсовая работа [382,3 K], добавлен 17.09.2009Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.
контрольная работа [86,4 K], добавлен 26.02.2012Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины.
контрольная работа [87,2 K], добавлен 29.01.2014Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
контрольная работа [36,5 K], добавлен 14.11.2010Функция распределения непрерывной случайной величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей системы. Ковариация. Коэффициент корреляции.
лабораторная работа [52,3 K], добавлен 19.08.2002Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [165,5 K], добавлен 03.01.2012Случайный процесс в теории вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия. Многомерные законы распределения. Вероятностные характеристики "входной" и "выходной" функций. Сечение случайной функции. Совокупность случайных величин, зависящих от параметра.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 23.12.2012Математическое ожидание дискретной случайной величины, его свойства и определение. Дисперсия и формула для ее вычисления. Среднее квадратическое отклонение. Ковариация и коэффициент корреляции. Коррелированные и некоррелированные случайные величины.
курсовая работа [133,7 K], добавлен 05.06.2011Понятие непрерывной случайной величины, её значения на числовых промежутках. Определение закона распределения, его функции. Плотность распределения числовых характеристик вероятности. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.
лекция [575,9 K], добавлен 17.08.2015Математическое ожидание случайной величины как ее характеристическая функция, определение ее свойств и признаков, расчет производных. Теоремы Хелли, особенности и направления их практического применения, условия и возможности расчета заданных функций.
курсовая работа [856,7 K], добавлен 30.01.2014Теория вероятностей и закономерности массовых случайных явлений. Неравенство и теорема Чебышева. Числовые характеристики случайной величины. Плотность распределения и преобразование Фурье. Характеристическая функция гауссовской случайной величины.
реферат [56,1 K], добавлен 24.01.2011Фактор как одна из случайных величин, зависимость между которыми анализируется. Дисперсия как характеристика общей изменчивости значений У. Математическое ожидание как центр группирования значений У при Х=а. Нахождение коэффициента детерминации.
презентация [115,4 K], добавлен 01.11.2013Функция распределения вероятностей двух случайных величин. Функция и плотность распределения вероятностей случайного вектора. Многомерное нормальное распределение. Коэффициент корреляции. Распределение вероятностей функции одной случайной величины.
реферат [241,8 K], добавлен 03.12.2007Определение числовых характеристик производной случайной функции. Расчет корреляционной функции и дисперсии спектральной плотности. Группировка заданной выборки, построение выборочной функции распределения и гистограммы, доверительного интервала.
контрольная работа [681,0 K], добавлен 02.06.2010Среднее арифметическое (математическое ожидание). Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Третий центральный момент и коэффициент асимметрии. Законы распределения. Построение гистограммы. Критерий Пирсона. Доверительный интервал.
курсовая работа [327,1 K], добавлен 29.03.2013
