Обратная матрица – применение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Украины

Сумской государственный университет

кафедра экономической кибернетики

Реферат

Обратная матрица - применение

Каща Мария Алексеевна - преподаватель

Баймуратов Элдаржан - студент

Введение

Обрамтная мамтрица -- такая матрица A?1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

1. Свойства обратной матрицы

· , где  обозначает определитель.

·  для любых двух обратимых матриц A и B.

·  где * T обозначает транспонированную матрицу.

·  для любого коэффициента  .

· Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b -- ненулевой вектор) где x -- искомый вектор, и если A - 1 существует, то x = A ? 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

2. Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

2.1 Точные (прямые) методы

матрица прямоугольный начальный

2.1.1 Метод Гаусса--Жордана

Метод Гаусса

Запишем расширенную матрицу:

Проведем линейные преобразования. Умножим первую строку последовательно на 2 и 6 и вычесть соответственно из второй и четвертой строки.

Поделим вторую строку на 3 и умножим ее последовательно на 1, 6, -7 и вычтем соответственно из первой, третьей и четвертой строки.

Разделим третью строку на -10. Умножим получившуюся третью строку последовательно на -5.333, 2.333, 33.333 и вычтем соответственно из первой, второй и четвертой строки.

Разделим четвертую строку на -0,333. Умножим получившуюся четвертую строку последовательно на 0.933, -0.033, 0.3 и вычтем соответственно из первой, второй и третьей строки.

Окончательно матрица будет иметь вид:

Вычисление определителя методом Гаусса

Умножим последовательно первую строку на 2 и 6 и вычтем последовательно из второй и четвертой строки, получим.

Отбросим первый столбец и первую строку, получим.

Поделим первую строку на 3, получим.

Умножим первую строку на 6 и -7 и вычтем последовательно из второй и третьей строки, получим.

Отбросим первый столбец и первую строку, и умножим первую строку на -3,333 и вычтем из второй. Получим

Получив нули под главной диагональю, посчитаем определитель

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса--Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A?1.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Лi (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

.

.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Л, то есть будет искомой. Сложность алгоритма -- O(n3).

2.1.2 С помощью союзной матрицы

C * T -- транспонированная союзная матрица;

Полученная матрица A?1 и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(nІ)·Odet.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

2.1.3 Использование LU/LUP-разложения

Матричное уравнение AX = In для обратной матрицы X можно рассматривать как совокупность n систем вида Ax = b. Обозначим i-ый столбец матрицы X через Xi; тогда AXi = ei,  ,поскольку i-м столбцом матрицы In является единичный вектор ei. другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(nі)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(nІ), так что и эта часть работы требует времени O(nі)[1].

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение PA = LU. Пусть PA = B, B ? 1 = D. Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U ? 1L ? 1. Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида UD = L ? 1 и DL = U ? 1. Первое из этих равенств представляет собой систему из nІ линейных уравнений для  из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из nІ линейных уравнений для  из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из nІ равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все nІ элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)?1 = A?1P?1 = B?1 = D. получаем равенство A ? 1 = DP.

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма -- O(nі).

2.2 Итерационные методы

2.2.1 Методы Шульца

2.2.2 Оценка погрешности

2.2.3 Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения  в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору , обеспечивающие выполнение условия  (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы  (а именно, если A -- симметричная положительно определённая матрица и , то можно взять , где ; если же A -- произвольная невырожденная матрица и , то полагают , где также ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что , положить ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что  будет малой (возможно, даже окажется ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

3. Примеры

3.1 Матрица 2х2

Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что .

4. Понятие определителя

Определение 1. Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем.

Рассмотрим матрицу первого порядка .

Определение 2. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента .

Обозначается определитель одним из символов .

Определение 3. Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное .

Обозначается определитель одним из символов.

Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.

Поскольку одна из форм обозначения определителя и обозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то так же, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.

После того как рассмотрены определители 1-го и 2-го порядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этим введем понятие минора.

Определение 4. Минором любого элемента квадратной матрицы порядка называется определитель порядка , соответствующий той матрице, которая получается из первоначальной матрицы в результате вычеркивания -ой строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Обычно минор элемента обозначается .

Определение 5. Определителем порядка , соответствующим матрице порядка , называется число, равное.

Обозначается определитель одним из символов.

Приведенное выражение представляет собой правило вычисления определителя -го порядка по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки, которые являются определителями порядка . Для это правило дает:

В приведенном правиле вычисления определителя фигурирует лишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель, используя элементы других строк?

Теорема 1. Каков бы ни был номер строки (), для определителя -го порядка справедлива формула, называемая разложением этого определителя по -ой строке.

Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равна сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Докажем сначала эту теорему для . В этом случае может быть равно только 2, так как входит в основное определение величины определителя. Итак:

Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано в определении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.

Для произвольного данная теорема доказывается методом математической индукции.

Итак, показано, что определитель может быть разложен по любой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовав произвольный столбец.

Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца (), для определителя -го порядка справедлива формула, называемая разложением этого определителя по -му столбцу.

Определение 1. Транспонированием определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования.

Определитель, полученный в результате транспонирования, называется транспонированным по отношению к исходному и обозначается .

Свойство 1. При транспонировании величина определителя сохраняется, то есть .

Доказательство этого свойства вытекает из того, что разложение определителя по первой строке тождественно совпадает с разложением по первому столбцу. Данное свойство указывает на равноправность строк и столбцов, поэтому все дальнейшие свойства можно рассматривать лишь для строк.

2. Антисимметрия при перестановке двух строк.

Свойство При перестановке местами двух строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

Докажем для определителя второго порядка. Действительно,;

Для определителя -го порядка докажем это свойство по индукции. Пусть свойство справедливо для определителя -го порядка. Разложим определитель -го порядка по любой строке, отличной от переставленных. Тогда переставленные строки входят во все миноры, на которые умножаются элементы , но эти миноры являются определителями -го порядка и меняют свой знак при перестановке строк. Следовательно, и определитель -го порядка также меняет свой знак.

6. Линейное свойство определителя

Определение Некоторая строка () является линейной комбинацией строк () и () с коэффициентами и , если .

Пользуясь этим определением, перейдем к самому свойству.

Свойство 3. Если в определителе -го порядка некоторая строка () является линейной комбинацией двух строк () и () с коэффициентами и , то , где - определитель, у которого -ая строка равна (), а все остальные - те же, что и у , а - определитель, у которого -ая строка равна (), а все остальные - те же, что и у .

Для доказательства разложим каждый из определителей по -ой строке. Очевидно, что у всех разложений миноры соответствующих элементов будут одинаковы. Вычислим :

Итак, свойство доказано. Очевидно, оно справедливо и для столбцов.

Приведенные три свойства называются основными. Остальные являются их следствиями.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки или столбца определителя на число равносильно умножению определителя на число .

Для доказательства положим в свойстве 3 , тогда получим . Значит, общий множитель всех элементов некоторого ряда можно выносить за определитель.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки или столбца определителя равны 0, то и сам определитель равен 0.

Для доказательства разложим определитель по нулевому ряду.

Свойство 6. Определитель с двумя равными строками или столбцами равен 0.

Действительно, переставив местами равные строки или столбцы, получим тот же определитель, но по свойству 2 его знак изменится на противоположный. Итак, с одной стороны , а с другой . Следовательно, .

Свойство 7. Если соответствующие элементы двух строк или столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, согласно свойству 4 общий множитель можно выносить за определитель, и мы получим определитель с двумя равными строками, который по свойству 6 равен нулю.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки или столбца определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

Доказательство. Рассмотрим определитель . Прибавим к элементам второй строки элементы первой с коэффициентом :

Тогда, по свойству 3 получим:

После перечисления всех свойств определителей введем еще одно определение.

Определение 3. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя -го порядка называется число, равное , которое обозначается .

Значит, алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можно вычислить с помощью формул:

Пользуясь свойствами, любой определитель можно вычислить не на основании основного правила, а предварительно упростив его (приводя, например, к треугольному виду).

Литература

матрица прямоугольный начальный

1.Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, -- М.: Вильямс, 2006 (стр. 700)

2.Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Мир, 1969

3.Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. - М.: Мир, 1999.

4.Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, -- М.: Вильямс, 2006 (стр. 700)

5.Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.

6.Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Том 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е издание. Издательство: ДРОФА, 2006. - 284с.

7.Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 частях. Часть 1. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Минск: Высшая школа, 2007.

8.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.

9.Шипачев В.С. Высшая математика изд.7 Изд-во: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 2005. - 479с.

Размещено на Allbest.ru