Формирование пространственного мышления обучающихся 10-11 классов в процессе решения стереометрических задач ЕГЭ

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЕГЭ

Бондарь Александр Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и методики обучения математике, Уральский государственный педагогический университет

Мамалыга Раиса Федоровна,

кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики и методики обучения математике, Уральский государственный педагогический университет

Аннотация

В статье проанализированы причины невысоких результатов, показанных выпускниками школ при решении стереометрических задач на профильном едином государственном экзамене по математике. Одной из основных причин неудач авторы считают низкий уровень пространственного мышления обучаемых. В подтверждение этого мнения проведено тестирование уровня пространственного мышления выпускников школ 2018 г. Дальнейший сравнительный анализ полученных данных с результатами исследования, выполненного в 2005 г. одним из авторов, продемонстрировал ухудшение значений всех его показателей.

В статье рассмотрены основные факторы, влияющие на формирование пространственного мышления обучаемых при изучении школьного курса геометрии на примере раздела Перпендикулярность прямых и плоскостей. Обзор школьных учебников геометрии показал, что несоблюдение принципа варьирования существенных признаков создает предпосылки к тому, что ключевые понятия перпендикуляра, проекции, угла между прямой и плоскостью не будут сформированы в достаточной степени. А проведенный эксперимент со студентами первого курса направления подготовки «Педагогическое образование: профиль Математика и информатика» подтвердил это положение. Для решения выявленных проблем авторами предложена серия задач ЕГЭ и предваряющие ее упражнения по формированию ключевых понятий стереометрии: проекция прямой на плоскость, перпендикулярность прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью. В работе на примере применения программы динамического моделирования Geogebra показано, как можно продемонстрировать геометрический образ рассматриваемых понятий при различных положениях плоскости изображения. При решении предложенной серии задач используется геометрический подход, при этом выделяются аспекты формирования пространственного мышления в той его части, которая связана с оперированием трехмерными образами: изменением его положения и структуры.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: пространственное мышление; стереометрия; ЕГЭ; единый государственный экзамен; проверка знаний; подготовка к экзаменам; контроль знаний; экзаменационные задачи; стереометрические задачи; решение задач; информационные технологии.

Актуальность проблемы

Рост объема информации, радикальное изменение характера ее передачи и восприятия, ограниченность временного ресурса процесса обучения не могут не влиять на требования к качеству любого уровня образования. Поиск новых приемов, форм и более эффективных средств обучения, современных методов оценивания знаний неразрывно связан с компьютеризацией всех элементов и этапов учебного процесса. Так, например, авторами в статьях [2; 3] рассмотрено применение ИКТ в проектной деятельности при изучении стереометрии. В данной статье проведено дальнейшее исследование возможностей применения ИКТ для развития пространственного мышления обучаемых.

«Наибольшие перспективы открываются в использовании информационных технологий при обучении геометрии для целей имитационного моделирования, которое создает условия для развития мышления» [15, с. 550], в частности, пространственного.

Исследования, проведенные И. Я. Кап-луновичем и И. С. Якиманской в 80-90 годах, показали, что в мыслительной деятельности обучающегося при создании динамического образа происходят более сложные процессы, чем при создании статического образа. Обсуждая вопросы формирования этого психического процесса, они отмечают, что школьное образование в должной мере с этой задачей не справляется [7; 8; 13]. Нижеприведенные результаты (таблица 1) выполнения контрольно-измерительных материалов по стереометрии за 2016 и 2017 гг. [11] косвенным образом показывают, что на данный момент этот вопрос остается по- прежнему актуальным.

Таблица 1. Анализ результатов выполнения отдельных заданий по геометрии

С целью выявления уровня пространственного мышления у выпускников школ 2018 г., поступивших в вузы Екатеринбурга на специальности математика, геофизика, филология, было организовано тестирование. Мы воспользовались тестом пространственного мышления (авторы -- И. С. Якиманская, В. Г. Зархин, Н. Х. Кадаяс) [15]. Средний балл подсчитывался по каждой группе испытуемых. Максимальный показатель составлял 30 баллов. На рисунке 1 представлены итоги сравнительного анализа результатов исследования, выполненного одним из авторов в 2005 г. (см. диссертация [9]), с результатами тестирования выпускников 2018 г.

В таблице 2 дана краткая характеристика теста.

Нами проведен дальнейший анализ выполненных работ с заданиями на:

а) определение размеров фигуры и формы объекта;

б) установление типов оперирования образами.

Для этого вычислялся средний показатель по субтесту. Максимальный суммарный балл по субтесту равняется шести. На рисунке 2 представлены результаты теста студентов (150 человек) 1 курса 2005 и 2018 годов обучения. Из рисунка 1 видно, что за указанный промежуток времени у всех участников исследования произошло снижение средних показателей, то же происходит и по всем субтестам (рис. 2).

Рис. 1. Средние показатели выполнения студентами заданий ТПМ

Таблица 2. Структура теста пространственного мышления

Рис. 2. Средние показатели по субтестам

Вопрос изучения уровней пространственного мышления и способов его развития является актуальными и за рубежом. Так, в работе [16] отмечается, что одной из самых важных когнитивных способностей в STEM (science, technology, engineering, andmathematics) образовании является пространственное мышление, однако понимание того, как студенты используют эту способность на практике, в настоящее время, не достаточно изучено. В обзоре [17] рассмотрены подходы к моделированию связи между пространственным и математическим мышлением в процессе их развития; намечены виды исследований, которые могут помочь понять механизмы связи пространственного и математического мышления.

Методический анализ

Федеральный государственный образовательный стандарт общего образования одной из основных целей изучения школьного курса геометрии ставит формирование пространственного мышления [12]. По мнению авторов, изучение таких ключевых понятий стереометрии, как перпендикулярность, проекция, угол между прямой и плоскостью, не может не сказаться на его формировании. Однако анализ школьных программ по геометрии показывает, что на их изучение отводится не более трех часов. При этом в учебниках по геометрии [4; 5] теоретический материал по указанным темам сопровождается однотипными иллюстрациями, в частности, построение проекции диагонали многогранника практически всегда выполняется на его нижнее основание. Обзор учебников [4; 5] показал, что из приведенных 18 проекций только одна была представлена на боковой грани. Всего в трех задачах (№ 225, 232, 306) из учебника [4] предлагается отметить проекцию прямой на боковую грань. Это является предпосылками к тому, что ключевые понятия перпендикуляра, проекции, угла между прямой и плоскостью не будут сформированы, поскольку не соблюдается принцип варьирования существенных признаков [9]. Проведенный эксперимент со студентами первого курса направления подготовки «Педагогическое образование: профиль Математика и информатика» (27 человек) показал, что только восемь человек применили ортогональное проектирование на боковую грань. И этот выбор объясняется тем, что они не могут:

а) правильно выбрать плоскость изображения (направление ортогонального проектирования);

б) реализовать алгоритм проектирования при «нестандартном» расположении плоскости изображения;

в) логически обосновать правильность изображения проекции.

Однако использование программ динамического моделирования (например Geogebra, Maple, Mathematica, Mathcad) на этих же уроках без особых временных затрат позволяет продемонстрировать геометрический образ рассматриваемых понятий при различных положениях плоскости изображения. Например, при решении задачи «Найти углы, которые образует диагональ прямоугольного параллелепипеда со всеми боковыми гранями, если известны все три его измерения». Учитель демонстрирует проекцию диагонали AC1 на основание ABCD (стандартное изображение, см. рис. 3а), показывает, что параллелепипед A'B'C'D'A'iB'iC'iD'i (рис. зб) получен при повороте параллелепипеда ABCDAiBiCiDi вокруг оси OO1 на угол в 90° по часовой стрелке. При этом он акцентирует внимание на том, что этапы построения проекции на боковую грань не отличаются от этапов построения «стандартной проекции» на основание.