О N-мерных связных фигурах через призму топологии. Нахождение формулы количества ребер через количество точек
Рассмотрение многомерных фигур, от одномерного отрезка до шестимерного хексеракта. Анализ топологических характеристик многомерных фигур и закономерностей. Формула нахождения количества ребер фигуры, ее сравнение с теоремой Эйлера для многогранников.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.08.2021 |
| Размер файла | 860,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
О N-мерных связных фигурах через призму топологии. Нахождение формулы количества ребер через количество точек
Картеева Инна Александровна
студентка кафедры математики и информатики. Институт культуры, социальных коммуникаций и
информационных технологий, Байкальский государственный университет
г. Иркутск, Россия
Аннотация
В данной статье поэтапно рассматриваются многомерные фигуры: от одномерного отрезка до шестимерного хексеракта. Во время этого рассмотрения анализируются их топологические характеристики и находятся закономерности. Благодаря этому анализу и рассмотрению выводится формула нахождения количества ребер фигуры, топологически эквивалентной гиперкубу, через количество её точек, а также происходит сравнение полученной формулы с теоремой Эйлера для многогранников.
Ключевые слова: пространство, мерность, точка, ребро, грань, фигура.
ON N-DIMENSIONAL CONNECTED FIGURES THROUGH THE PRISM OF TOPOLOGY. FINDING A FORMULA THE NUMBER OF EDGES THROUGH A NUMBER OF POINTS.
Karteeva Inna Alexandrovna
Student.Department of mathematics and Informatics. Institute of culture, social communications and information technology.
Baikal State University Irkutsk, Russia.
Abstract. In this article, multidimensional figures are considered in stages: from a one-dimensional segment to a six-dimensional hexeract. During this consideration their topological characteristics are analyzed and regularities are found. Thanks to this analysis and consideration, the formula for finding the number of edges of a figure topologically equivalent to a hypercube is derived through the number of its points, and the obtained formula is compared with Euler's theorem for polyhedra.
Keywords: space, dimension, point, edge, face, shape.
Введение
Вначале была мысль - мысль о связи между количеством точек и ребер фигуры. Актуальность данного вопроса подкрепляется отсутствием подобных исследований либо абсолютно, либо в открытом доступе.
Одномерные и двумерные фигуры
Для того чтобы нам начать разбираться в данной теме, взглянем на одномерную фигуру (отрезок или же линия, проведенная от одной точке к другой (1, с. 18)), представленную на рисунке 1:
Как мы можем заметить, данная фигура состоит из 2 точек и 1 ребра (2, с. 54). Таким образом, количество ребер равно 0,5*i, где i- это количество точек. Следом, за отрезком, представим пространство с двумерными фигурами: квадратом, треугольником, двумя точками, связанными двумя ребрами (подобно теории графов, ибо изначально данная работа должна была изучать n-мерные фигуры как топологически верные графы (2, с. 196)) и точкой, связанной самой с собой петлей (3, с. 198) (прим. рисунок 1).
Соответственно, мы можем изучить количество точек и ребер, связывающих их, у данных фигур. Таким образом, у квадрата - 4 точки-вершины и 4 ребра, у треугольника 3 вершины - 4 ребра, у фигуры, полученной из 2 точек - 2 ребра, из 1 вершины - 1 ребро соответственно. Как мы можем наблюдать, в двумерном пространстве количество ребер равно i.
Трехмерные и четырехмерные фигуры
Теперь мы можем пойти дальше и разобрать некоторые трехмерные фигуры, шагнув на размерность выше. Рассмотрим же стандартный куб, тетраэдр (1, с. 565) и треугольную призму (рис. 2):
Стоит так же заметить, что куб получен связыванием двух квадратов, треугольная призма - связыванием двух треугольников, а тетраэдр сам по себе составлен из равносторонних треугольников.
Но, возвращаясь к теме, что же мы наблюдаем? 8 точек у куба и 12 ребер. У тетраэдера - 4 точки и 6 ребер. У треугольной призмы - 6 точек и 9 ребер. Разумеется, можно вычислить и зависимость усложнения фигур от пространства к пространству, но это не является нашей задачей. Поэтому, смотрим на соотношение количества точек и ребер: количество ребер равно 1,5*i. 5*i, 1 * i, 1,5*i - начинает быть видна четкая арифметическая зависимость. Но нам стоит перейти к многомерному пространству и многомерным фигурам (4, с.375), чтобы убедиться в этом ещё больше. Итак, берем тессеракт (1, с.566), симплекс (1, с.565) и четырехмерную треугольную призму (рисунок 2).
Получаем: у тессеракта: 16 точек, 32 ребра, у симплекса: 5 точек, 10 ребер, у четырехмерной треугольной призмы: 12 точек, 24 ребра. Итак, количество ребер равно 2i.
На этом этапе стоит приостановить практическую часть изучения вопроса и перейти к теории. Что мы имеем? 0,5*iв 1-мерном пространстве, 1*iв 2-мерном пространстве, 1,5*iв 3-мерном пространстве и 2*iв 4-мерном пространстве. Давайте попробуем рискнуть и предположить, что в 5-мерном пространстве данная формула будет выглядеть как 2,5* i?
Многомерные фигуры
Возьмем пентеракт (рисунок 3):
Рис. 2. Пентеракт и Хексеракт
32 точки, 80 ребер. Проверяем: 2,5*32=80. Условие выполняется. Давайте предположим, что в 6-мерном пространстве получим 3*i. Обратимся для этого к Хексеракту (рисунок 3). 64 точки, 192 ребра. 3*64=192.
Выводы
Получается, зависимость выяснена и остается только оформить её в виде лаконичной формулы. многомерная фигура эйлер хексеракт
Для этого берем за n- мерность пространства, за i- количество точек, а
за R- количество ребер нашей связной фигуры и получаем:
Такова формула количества ребер через количество точек многомерных фигур, топологически эквивалентных гиперкубу.
Стоит упомянуть так же теорему Эйлера для многогранников, топологически эквивалентных сфере, устанавливающую связь между числом вершин, ребер и граней (5, с.7):
Вершины -- Ребра + Грани = 2
Пусть на основании этой формулы и можно вычислить количество ребер посредством знания количества вершин и граней, однако, только для многогранников, имеющих топологию сферы.
Более того, данная формула несправедлива для четырехмерного пространства и, соответственно, для пространств больших мерностей. Именно благодаря этому, выведенная мной формула может быть полезна в более глубоком понимании природы и сущности многогранников.
Список использованной литературы
1. Гарольд Скотт Макдональд Кокстер. Введение в Геометрию. - М.: Изд- во «Наука», 1966 г., 648 стр.
2. Белых Т. И. Математика в экономике. : учеб.пособие / Т. И. Белых, А. В. Бурдуковская ; БГУ. - Иркутск : Изд-во БГУ, 2018. - 108 с. Ч. 9 : Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии.
3. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях: Учебное пособие. - М.: Логос, 2000. - 240 с.
4. Прохоров Ю. В. Большой энциклопедический словарь по математике. - М.: Науч. издат., 1998., 847 стр.
5. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Перевод с английского И.Н. Веселовского Автор: ИмреЛакатос (Аврум Липшиц) Издательство: М.: Наука Год: 1967, с. 152.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Фигуры вращения правильных многогранников, использование их теории. Виды поверхностей в фигурах вращения. Теорема о пересечении гиперболической и цилиндрической поверхностей вращения. Классификация задач на вращение многогранников и вычисление объемов.
реферат [1,1 M], добавлен 25.09.2009Цепочка теорем, которая охватывает весь курс геометрии. Средняя линия фигур как отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Свойства средних линий. Построение различных планиметрических и стереометрических фигур, рациональное решение задач.
научная работа [2,0 M], добавлен 29.01.2010Общие сведения о фигурах, вычерчиваемых одним росчерком. Теория графов Эйлера, задача о мостах. Правила построения фигуры без отрыва карандаша от бумаги. Задача об эйлеровом пути, применение графов в жизни, быту, различных отраслях науки и техники.
реферат [3,6 M], добавлен 16.12.2011Основные сведения о тетраэдре - поверхности, составленной из четырех треугольников. Количество его граней, ребер, вершин. Свойства тетраэдра, формулы нахождения объема, радиуса, высоты. Тетраэдры в живой природе, технике. Теорема Менелая для тетраэдра.
презентация [4,2 M], добавлен 20.04.2014Понятие и свойства многогранников. Геометрическое моделирование как неотъемлемая часть современного математического образования. Применение изображений пространственных фигур в преподавании геометрии, роль наглядных средств при изучении многогранников.
дипломная работа [4,7 M], добавлен 28.10.2012Применение первой и второй интерполяционной формул Ньютона. Нахождение значений функции в точках, не являющимися табличными. Bспользование формулы Ньютона для не равностоящих точек. Нахождение значения функции с помощью интерполяционной схемы Эйткена.
лабораторная работа [481,0 K], добавлен 14.10.2013Понятие, свойства, признаки и типы параллелепипеда как геометрической фигуры. Формулы расчета площади поверхности и объема параллелепипеда и куба. Определение высоты, общей длины ребер, суммы площадей наибольшей и наименьшей граней параллелепипеда.
презентация [1,2 M], добавлен 06.12.2011Особенности использования метода секущих плоскостей для создания проекции и разветки пересечения поверхностей фигур. Порядок построения изометрии взаимного пересечения поверхностей фигур. Характеристика процесса создания фигуры с вырезом, опоры и стойки.
реферат [21,3 K], добавлен 27.07.2010Нахождение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона, проходящих через четыре точки заданной функции, сравнение их степенных представлений. Решение нелинейного дифференциального уравнения методом Эйлера. Решение систем алгебраических уравнений.
задача [226,9 K], добавлен 21.06.2009Основные виды симметрии (центральная и осевая). Прямая в качестве оси симметрии фигуры. Примеры фигур, обладающих осевой симметрией. Симметричность относительно точки. Точка как центр симметрии фигуры. Примеры фигур, обладающих центральной симметрией.
презентация [2,7 M], добавлен 30.10.2014Доказательство тождества с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Определение вида логической формулы с помощью таблицы истинности. Рисунок графа G (V, E) с множеством вершин V. Поиск матриц смежности и инцидентности. Определение множества вершин и ребер графа.
контрольная работа [463,0 K], добавлен 17.05.2015Основные понятия и свойства эйлеровых и гамильтоновых цепей и циклов в теории графов. Изучение алгоритма Дейкстры и Флойда для нахождения кратчайших путей в графе. Оценки для числа ребер с компонентами связанности. Головоломка "Кенигзберзьких мостов".
курсовая работа [2,4 M], добавлен 08.10.2014Геометрическая фигура, образованная тремя фигурами, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Основные формулы площади треугольника. Решение задач на нахождение площади треугольника через две его стороны и высоту, проведенную к основанию.
презентация [240,0 K], добавлен 21.04.2015Решения задач дискретной математики: диаграммы Эйлера-Венна; высказывание в виде формулы логики высказываний и формулы логики предикатов; СДНФ и СКНФ булевой функции. При помощи алгоритма Вонга и метода резолюции выяснить является ли клауза теоремой.
контрольная работа [133,5 K], добавлен 08.06.2010Определение цилиндра (кругового прямого и наклонного), прямого и усечённого конуса, шара и сферы. Основные формулы по расчету геометрических размеров фигур вращения: радиуса, площади боковой и полной поверхности. Объем шара по Архимеду. Уравнение сферы.
презентация [3,4 M], добавлен 18.04.2013Выпуклые многогранники, теорема Эйлера. Свойства выпуклых многогранников. Определение правильного многогранника. Понятие полуправильных многогранников. Свойства ромбокубооктаэдра, кубооктаэдра, тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, додекаэдра и куба.
методичка [638,2 K], добавлен 30.04.2012Оптимальные фигуры многоугольников на плоскости. Соотношение размеров соседних фигур на плоскости на примере соприкасающихся окружностей. Реализация шестигранных ячеек в природе. Характеристика таких категорий: целое и части, дискретное и непрерывное.
статья [290,7 K], добавлен 28.03.2012Понятие тетраэдра (поверхность, состоящая из четырех треугольников), рассмотрение его основных элементов (основание, боковые грани). Повторение сведений из планиметрии. Решение задачи на нахождение ребер основания тетраэдра и площади боковых граней.
презентация [902,4 K], добавлен 20.02.2011Представление булевой функции в виде дизъюнктивной нормальной формы. Выражение всех логических операции в формуле через конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Сокращение количества слагаемых, входящих в формулу и количества переменных, входящих в слагаемое.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 06.05.2013Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011
