Размещено на http://allbest.ru

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский институт бизнеса и информационных технологий»

Реферат

Зачетная (экзаменационная) работа

Тема: Применение формулы Байеса в профессии и в экономике

Дисциплина: Высшая математика

Выполнил(а):

Маткаримова Фотима Нуриддиновна

направление: Менеджмент

Омск 2021

Содержание

Введение

1. Формула Байеса

2. В медицине

3. Генетика. Использование в генетическом прогнозировании и тестировании

3.1 Использование родословной для расчета вероятностей

3.2 Генетическое тестирование проводится параллельно с выявлением других факторов риска

4. Использование формулы Байеса в экономической сфере

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В теории вероятностей и статистике теорема Байеса (альтернативно закон Байеса или Правило Байеса) описывает вероятность события, основываясь на предварительном знании условий, которые могут быть связаны с этим событием.[1] например, если известно, что риск развития проблем со здоровьем увеличивается с возрастом, теорема Байеса позволяет более точно оценить риск для индивида известного возраста, чем просто предположить, что индивид типичен для популяции в целом.

Одним из многих применений теоремы Байеса является Байесовский вывод, особый подход к статистическому выводу. При применении вероятности, включенные в теорему Байеса, могут иметь различные вероятностные интерпретации. С Байесовской вероятностной интерпретацией теорема выражает, как степень убеждения, выраженная как вероятность, должна рационально измениться, чтобы учесть доступность соответствующих доказательств. Байесовский вывод является фундаментальным для Байесовской статистики.

Актуальность данной работы заключается в том, что сегодня время роста технологического оснащения каждой сферы жизни человека. Поэтому, применение мощных математических приемов, таких как формула Байеса, позволяет добиваться большей эффективности в различных сферах.

Цель данной работы является анализ применения формулы Байеса в различных профессиональных сферах. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Описать формулу Байеса;

2. Охарактеризовать применение формулы Байеса в нескольких научных сферах;

3. Описать использование в экономике.

1. Формула Байеса

Формула Байеса (теорема Байеса) -- одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие. [1] Другими словами, по формуле Байеса можно более точно пересчитать вероятность, взяв в расчёт как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений. Формула Байеса может быть выведена из основных аксиом теории вероятностей, в частности из условной вероятности. Особенность теоремы Байеса заключается в том, что для её практического применения требуется большое количество расчётов, вычислений, поэтому байесовские оценки стали активно использовать только после революции в компьютерных и сетевых технологиях.

При возникновении теоремы Байеса вероятности, используемые в теореме, подвергались целому ряду вероятностных интерпретаций. В одной из таких интерпретаций говорилось, что вывод формулы напрямую связан с применением особого подхода к статистическому анализу. Если использовать байесовскую интерпретацию вероятности, то теорема показывает, как личный уровень доверия может кардинально измениться вследствие количества наступивших событий. В этом заключаются выводы Байеса, которые стали основополагающими для байесовской статистики. Однако теорема используется не только в байесовском анализе, но и активно применяется для большого ряда других расчётов.

Психологические эксперименты показали, что люди часто неверно оценивают реальную (математически верную) вероятность события, основываясь на некоем полученном опыте (апостериорная вероятность), поскольку игнорируют саму вероятность предположения (априорная вероятность). Поэтому правильный результат по формуле Байеса может сильно отличаться от интуитивно ожидаемого.

Теорема Байеса названа в честь её автора Томаса Байеса (1702--1761) -- английского математика и священника, который первым предложил использование теоремы для корректировки убеждений, основываясь на обновлённых данных. [2] Его работа «An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances» впервые опубликована в 1763 году, через 2 года после смерти автора. [3] До того, как посмертная работа Байеса была принята и прочитана в Королевском обществе, она была значительно отредактирована и обновлена Ричардом Прайсом. Однако эти идеи не предавались публичной огласке до тех пор, пока не были вновь открыты и развиты Лапласом, впервые опубликовавшим современную формулировку теоремы в своей книге 1812 года «Аналитическая теория вероятностей».

Сэр Гарольд Джеффрис писал, что теорема Байеса «для теории вероятности, то же, что теорема Пифагора для геометрии».

2. В медицине

Теорема Байеса: принцип вероятности, изложенный английским математиком Томасом Байесом (1702-1761). Теорема Байеса важна для принятия медицинских решений и некоторых биомедицинских наук.

Теорема Байеса используется в клинической эпидемиологии для определения вероятности конкретного заболевания в группе людей с определенной характеристикой на основе общей скорости этого заболевания и вероятности этой конкретной характеристики у здоровых и больных людей, соответственно. Обычное применение теоремы Байеса - это принятие клинических решений, где она используется для оценки вероятности конкретного диагноза с учетом появления определенных признаков, симптомов или результатов тестов. Например, точность кардио-стресс-теста с физической нагрузкой в ??прогнозировании значительной ишемической болезни сердца (ИБС) частично зависит от «предтестовой вероятности» ИБС: «априорной вероятности» в теореме Байеса.

С технической точки зрения, в теореме Байеса влияние новых данных на достоинства конкурирующих научных гипотез сравнивается путем вычисления для каждой гипотезы произведения предшествующей правдоподобности и вероятности текущих данных с учетом этой конкретной гипотезы и их масштабирования так, чтобы их всего единица. [4] В теореме Байеса: Предшествующее правдоподобие называется «априорной вероятностью».

- Вероятность текущих данных с учетом этой конкретной гипотезы называется «условной вероятностью».

- Измененные значения называются «апостериорными вероятностями».

3. Генетика. Использование в генетическом прогнозировании и тестировании

В генетике теорема Байеса может быть использована для вычисления вероятности наличия у индивида определенного генотипа. Многие люди стремятся приблизить свои шансы быть затронутыми генетическим заболеванием или их вероятность быть носителем рецессивного гена, представляющего интерес. Байесовский анализ может быть сделан на основе семейного анамнеза или генетического тестирования, чтобы предсказать, будет ли человек развивать болезнь или передать ее своим детям. Генетическое тестирование и прогнозирование-это обычная практика среди пар, которые планируют иметь детей, но обеспокоены тем, что они оба могут быть носителями заболевания, особенно в сообществах с низкой генетической дисперсией.

Первый шаг в байесовском анализе генетики состоит в том, чтобы предложить взаимоисключающие гипотезы: для конкретного аллеля, индивид либо является, либо не является носителем. [5] Затем вычисляются четыре вероятности: априорная вероятность (вероятность каждой гипотезы с учетом такой информации, как семейная история или предсказания, основанные на Менделевском наследовании), условная вероятность (определенного исхода), совместная вероятность (произведение первых двух) и Апостериорная вероятность (взвешенное произведение, вычисленное путем деления совместной вероятности для каждой гипотезы на сумму обеих совместных вероятностей).

Этот тип анализа может быть сделан на основе исключительно семейной истории заболевания или совместно с генетическим тестированием.

3.1 Использование родословной для расчета вероятностей

Таблица 1. Байесовский анализ риска заболевания

Пример таблицы байесовского анализа риска заболевания для женщины, основанный на знании того, что болезнь присутствует у ее братьев и сестер, но не у ее родителей или кого-либо из ее четырех детей (см. табл. 1). Основываясь исключительно на статусе братьев, сестер и родителей субъекта, она с одинаковой вероятностью будет носителем, а не носителем (эта вероятность обозначена Априорной гипотезой). Однако вероятность того, что все четыре сына субъекта не пострадают, составляет 1/16 (Ѕ · Ѕ · Ѕ · Ѕ), если она является носителем, примерно 1, если она не является носителем (это условная вероятность). Совместная вероятность согласовывает эти два прогноза, умножая их вместе. Последняя строка (апостериорная вероятность) вычисляется путем деления совместной вероятности для каждой гипотезы на сумму обеих совместных вероятностей.

3.2 Генетическое тестирование проводится параллельно с выявлением других факторов риска

Байесовский анализ может быть выполнен с использованием фенотипической информации, связанной с генетическим заболеванием, и в сочетании с генетическим тестированием этот анализ становится намного сложнее. Кистозный фиброз, например, можно выявить у плода с помощью ультразвука, ищущего эхогенный кишечник, то есть тот, который на сканировании выглядит ярче, чем обычно2. Это не надежный тест, так как эхогенный кишечник может быть у совершенно здорового плода. В этом случае очень важно генетическое тестирование родителей, когда фенотипический аспект может иметь чрезмерное влияние на расчет вероятности. В случае плода с эхогенным кишечником, у матери, которая прошла тестирование и известно, что она является носителем МВ, апостериорная вероятность того, что плод действительно болен, очень высока (0,64). Однако, как только отец дал отрицательный результат на МВ, апостериорная вероятность значительно снижается (до 0,16).

Расчет факторов риска - мощный инструмент в генетическом консультировании и репродуктивном планировании, но его нельзя рассматривать как единственный важный фактор, который следует учитывать. Как указано выше, неполное тестирование может дать ложно высокую вероятность статуса носителя, а тестирование может быть недоступным с финансовой точки зрения или невозможным, когда родитель отсутствует.

4. Использование формулы Байеса в экономической сфере

Существуют несколько способов, с помощью которых компании будут учитывать предполагаемые вероятности при оценке возможностей, а не использовать номинальные числа. Например, процентные ставки имеют решающее значение для решения, сколько денег компания может инвестировать и / или занять. Небольшое изменение может кардинально изменить курс прибыли.

Таким образом, принятие решений на основе текущей процентной ставки считается наивным; в результате компании будут оценивать соответствующие вероятности и использовать теорему Байеса для расчета ожидаемой стоимости, которая, скорее всего, будет более устойчивой к изменениям рынка. Другой пример связан с тем, что компании принимают решение о предоставлении кредита. Историю заемщика можно использовать для оценки того, стоит ли ему предоставлять кредит. В частности, компании могут рассчитать условную вероятность того, что заемщик заслуживает доверия, на основе своей истории, используя теорему Байеса.

Эмпирическим финансовым исследованиям способствовал рост легкодоступных баз данных, и исследователи предоставили множество доказательств относительно рыночной эффективности, ценообразования и роли информации, полезной как для аналитиков, так и для инвесторов. [6] Вместе с этим, однако, увеличиваются размеры выборки, что во многих случаях приводит к статистической значимости там, где экономическая значимость незначительна или вообще отсутствует. Авторы демонстрируют эту проблему на примере дробления акций. Хотя доступны такие методы, как байесовский анализ, которые снижают эту систематическую ошибку большой выборки, большинство финансовых исследователей не применяют эти методы, а вместо этого используют выборки, приближенные к фактической совокупности в поисках значимости.

Байесовский анализ отличается от классической статистики концепцией обратной вероятности: авторы используют информацию о прошлых событиях для предсказания будущих событий. Различия между байесовской и классической статистикой делают байесовские методы особенно подходящими для финансовых приложений. Байесовские методы особенно подходят для приложений, в которых субъективность может привести исследователей к непреднамеренному искажению результатов или к оказанию влияния на их собственные предвзятые представления. Несмотря на возросший интерес к байесовским методам с середины 1990-х годов и свидетельства того, что исследования с использованием байесовского метода наиболее часто публикуются в ведущих научных журналах, использование байесовских методов в финансовых исследованиях в первые годы этого столетия сократилось.

Финансы могут быть даже более восприимчивым к субъективности, чем точные науки, из-за поведенческих и психологических аспектов финансовых решений. Кроме того, финансовые данные генерируются на рынке, а не в ходе экспериментов, поэтому исследователи не могут контролировать экспериментальную среду. Кроме того, многие финансовые параметры, такие как корреляция между доходностью акций, нестабильны и подвержены шокам в системе. Байесовская методология подходит для этого типа данных, потому что возможность обновить предыдущее мнение в ходе эмпирического исследования не только возможно, но и фундаментально. Использование байесовских методов делает процесс расследования динамичным. Несмотря на потенциальную ценность для финансирования исследований и применения, байесовские методы в финансовых исследованиях не получили широкого распространения. Игнорируют ли финансовые исследователи вопросы размера выборки? В основном да. В таблице 3 мы выделяем несколько применений байесовских методов для решения финансовых проблем.

Байесовские методы применялись к широкому кругу исследовательских проблем в экономической сфере

Также, была построена модель прогнозирования, ориентированная на прогнозирование основных макроэкономических переменных, а именно: темп роста ВВП, уровень безработицы и инфляцию потребительских цен. Для выбора набора лучших регрессоров используется байесовское усреднение классических оценщиков (BACE). Эти модели являются атеоретическими (т.е. они не отражают причинно-следственные связи, постулируемые макроэкономической теорией), а роль регрессоров играют индикаторы, основанные на исследованиях деловых и потребительских тенденций. Кроме того, показатели на основе опросов включены с запаздыванием, что позволяет прогнозировать интересующие переменные (ВВП, безработицу и инфляцию) на четыре предстоящих квартала без необходимости делать какие-либо дополнительные предположения относительно значений переменных-предикторов в прогнозируемом периоде. . Байесовское усреднение классических оценщиков - это метод, позволяющий получить полный и контролируемый обзор всех эконометрических моделей, которые могут быть получены из определенного набора регрессоров. Верификация процедуры осуществляется посредством вневыборочных прогнозов основных экономических переменных на кварталы 2011 года. Точность прогнозов предполагает, что по-прежнему существует потребность в поиске новых решений в области теоретического моделирования.

Заключение