Координатно-симметрические преобразования

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТОГУ

КООРДИНАТНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Юрасов A.B.

г. Хабаровск

Аннотация

геометрия проекция трехкратный начертательный

рассмотрены новые свойства трехкартинных отображений одномерных объектов в ортогональных проекциях. Совмещение трех проекционных полей приводит к появлению новых свойств получаемых изображений. В работе представлены результаты исследований. Выявлены качественные и количественные характеристики. Для построения трех проекций прямой достаточно иметь три проекции двух координатно-симметричных точек. Рассмотрен аппарат преобразований. Приведены примеры практического применения в задачах начертательной геометрии.

Ключевые слова: проецирование, координатная симметрия, точка, прямая, проекция, биссекторная плоскость, вектор, преобразование, свойство.

Annotation

Yurasov А. V. PNU, Khabarovsk, Russia

COORDINATE-SYMMETRIC TRANSFORMATION

the article identifies eleven special points' positions in a three- painting display of general provision straight line, with fixed position of coordinate axis. Three of them - point of zero latitude, depth and height - are the line traces on the plane of projection. Six points are equidistant from the three pairs of projection planes. Two points have specific coordinate symmetry. These points are characterized with the two pairs of coordinate's symmetry.

The plane of projection is determined up using the translation in the drawings; qualitative characteristic arrangement of objects is presented with pieces of projection lines, which are also extreme points of coordinate-symmetric points' projections. Segments [A2A1] and [B2B3] - are vector quantities. Equality modules vectors and their Omni directional coordinates symmetry condition. Vectors A₂i4₁and B₂B₃ uniquely define a straight line in a three-painting image.

Straight drawing pattern formation leads to a specific property - straightness location of coordinate-symmetric points Ai, Вз and K2 opposite projections (K - the point which is corresponding to its equidistance from the horizontal plane and profile projections planes).

Unit conversion orthogonal projections was designed on the basis of established properties. The possibility of forming a straight three-painting display using three projections of two points a (Ai, A2, K2) and a (B2, Вз, K2) is found.

Established properties are invariants of the orthogonal projection and of the interest to the practical problems of descriptive geometry.

Keywords: projecting, coordinate symmetry, point, line, projection, bisector plane, vector, conversion, property.

Основная часть

Целью настоящего исследования является углубление знаний о свойствах трехкартинных ортогональных отображений одномерных прообразов и изучение возможности применения полученных сведений в практических задачах начертательной геометрии.

На трехкартинном отображении прямой общего положения, с фиксированным положением осей координат, можно идентифицировать одиннадцать характерных точек [1]. Из них три точки нулевой широты, глубины, высоты - это «следы» прямой на плоскостях проекций Пі, Ш, Пз. Шесть точек равноудалены от трех пар плоскостей проекций. Две точки обладают специфической координатной симметрией.

На рисунке 1 представлен упрощенный (без указания проекций следов) фактологический чертеж некоторой прямой «а», соответствующий правой системе расположения плоскостей про- еций.

Три проекции прямой, попарно пересекаясь, задают четыре характерные точки С, D, А, В.

Точку К, равноудаленную от Пі и Пз определяет биссекторная плоскость \|/¹⁸, проходящая через ось OY: ап\д¹⁸=К.

Пересечению горизонтальной и фронтальной проекций прямой на чертеже (ama2={Ci=C2}) соответствует в пространстве единственная точка этой прямой (С) равноудаленная от Пі и Пг.

Пересечению фронтальной и профильной проекций (a2na3={D2=D3}) соответствует единственная точка (D) равноудаленная от Ш и Пз.

Точка пересечения горизонтальной и профильной проекций представляет собой совпадающие проекции (аіпаз={Аз=Ві}) двух нетождественных точек этой прямой в пространстве.

Точки А и В обладают специфической координатной симметрией. Специфичность заключается в том, что симметричны не сами точки, а только две пары их координат. Например, для прямой на рисунке 1 числовые значения координат х, у, z составляют А(-98,12, -41); В(-12, 41, 6).

В пространственной модели чертежа горизонтальные проекции Хв и Ya симметричны относительно биссекторной плоскости V|/²⁵, проходящей через ось OZ и 2, 3, 5, 8 октанты пространства. Профильные проекции Yb и Za симметричны относительно биссекторной плоскости \|/²⁴, проходящей через ось ОХ и 2, 4, 5, 8 октанты.

При значениях координат неравных нулю:

Для всех прямых, для которых существует пересечение горизонтальной и профильной проекций, справедливым будет и отношение алгебраических сумм координат точек:

Установленное свойство можно использовать для задания прямой на безосном комплексном чертеже. Аппарат и последовательность построений представлены на рисунках 3, 4, 5.

Рис. 3 Последовательность построения трех проекций прямой заданного направления

Положение Вз определяется положением проекций Ai и Вг. В соответствии с условием задачи (нисходящая прямая) размещаем проекцию Вг под точкой {Аз=Ві}. С учетом направлений векторов (|j4₂^i | ⁼ | --S₃S₂1) и равенства их модулей фиксируем Вз слева от проекции Вг (Рис. Зд; Зе).

Задача имеет множество решений. Однако определенное ограничение существует. Прямые, проходящие через точку А, находятся внутри двухполостного трехгранного угла, где А - вершина, а грани - плоскости уровня.

Необходимой стадией решения является проверка выполненных построений. Определив Dieai; Die\|/i²⁵; Сзєаз; Сз є уз²⁴ строим обобщенный след биссек- торных плоскостей 1|/123. Соответствие расположения трех проекций любой точки прямой относительно vj/i23={v|/i²⁵=\j/2¹⁸^vj/3²⁴} является подтверждением правильности решения задачи (Рис. Зж).

Пример 2. Построить три проекции прямой а, если заданы при проекции двух координатно-симметричных точек а (Аі, Аг, Вз).

Взаимное расположение проекции Ai и Аг не соответствует положению точки в первом октанте пространства (Рис. 4а). Учитывая схему определения направлений векторов (Рис. 2) и соотношения (3), (4) проекция Вг должна быть левее Вз. Отмечаем её с учетом равенства модулей |-- А_хА_г | = |В₂В₃| (Рис. 46).

Рис. 4 Формирование трехкартинного отображения прямой по трем заданным проекциям двух точек

Направления проецирования из Eh и А2 определяют точку пересечения горизонтальной и профильной проекции прямой {Аз=Ві}. Проекции аі, аг, аз простроены (Рис. 4в, г).

Проведенное исследование позволило выявить специфическое свойство ортогонального проецирования: прямолинейность расположения разноименных проекций координатно-симметричных точек Аі, Вз и фронтальной проекции точки К2 (Рис. 1).

Проекция Кг может располагаться как внутри отрезка [А1В3] так и вне его.

В пространственной модели чертежа проекции Аі, К2, Вз задают некоторую плоскость общего положения и не лежат на одной прямой.

При образовании плоской модели чертежа, совмещенные с Ш проекции Ai и Вз, задают прямолинейное направление е (Ai, Вз). Прямолинейность расположения проекций Ai, Вз, Кг естественным образом обеспечивается, так как е (Ai, Вз) всегда пересечет обобщенный след биссекторных плоскостей Х|Л23 в собственной или несобственной точке: е[АіВз]п \|/2¹⁸=Кг.

Рассмотрим применение указанного свойства.

Пример 3. Некоторая прямая задана тремя проекциями а (Вг, Вз, Кг), где В - одна из двух координатно-симметричных точек, К - соответствует равноудаленно- сти от Пі иПз (Рис. 5а).

Требуется на прямой, а найти точки, соответствующие равноудаленное™ их от плоскостей проекций П1-П2 и Пг-Пз.

Решение сводится к аіпаг=Сіг; агпаз=Вгз.

Рис. 6 Поэтапное определение точек прямой соответствующих равноудаленности их от плоскостей проекций

Проведем через Вз, К2 направление е¹²³ и проекцию аг (В2К2) (Рис. 56). Повернув Вз на 90°, через точку В₃ укажем направление г||аг. В пересечении е¹²³ и г получаем Аь Отрезок [А1А2] равен и перпендикулярен [В2В3], при этом соблюдается условие разнонаправленное™ векторов |-- А_ХА₂\ = |В₂#з| (Рис. 5в).

В пересечении линий проекционной связи из Аг и Вг находим точку пересечения горизонтальной и профильной проекции искомой прямой Аз=Ві (Рис. 6г). Построение аі, аг, аз фиксирует искомые точки С и D: aina2=Ci2; агпаз=П2з (Рис. 6д).

Выводы

1. Точка пересечения горизонтальной и профильной проекций прямой представляет собой совпадающие проекции {Аз=Ві} двух координатносимметричных точек А и В для которых справедливо отношение _{= где} [А2А1] - модуль алгебраической суммы координат Ya+Za; [В2В3] - модуль суммы координат Xb+Yb.

2. Две любые точки в пространстве, для которых на комплексном чертеже равны и взаимно перпендикулярны отрезки линий проекционной связи [A₂A.J = [В₂В₃], являются координатно-симметричными.

3. Два любые вектора, равные по модулю \А₂А_х | = \--В₃В₂ | или \--А_хА₂ | = |В₂В₃|, концы которых являются ортогональными проекциями двух точек, однозначно задают трехкартинное отображение пространственной прямой.

4. Пересечение вертикальной линии проекционной связи для А2 и горизонтальной для Вг определяет точку пересечения горизонтальной и профильной проекции прямой аіпаз={Аз=Ві}.

5. Если точка К равноудалена (или соответствует равноудаленности) от Пі и Пз, то три разноименные проекции Аі, К2, Вз располагаются прямолинейно.

6. Для однозначного трехкартинного отображения прямой на комплексном чертеже достаточно иметь три проекции двух точек a (Ai, А2, К2); а (Вг, Вз, К2).

7. Сформулированные выше выводы представляют собой инвариантные свойства ортогонального проецирования.

Список использованных источников и литературы

1. Гарнага А. Ф., Юрасов А. В. «Фактологические трехкартинные изображения одномерных объектов в ортогональных проекциях» - Новые идеи нового века -2013 материалы Тринадцатой Международной научной конференции = The new Ideas of New Century - 2013: The Thirteenth International Scientific Conference Proceedings: в 3 т./Тихоокеан. гос. у-т. - Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2013. -ті с. 378-383.

Размещено на Allbest.ru