Несобственные интегралы от периодических функций
Изучение интегральных вычислений в курсе математического анализа. Определение риманового числа. Понятие непрерывной периодической функции. Анализ признаков сходимости ряда. Доказательство теорем о несобственном интеграле непрерывной периодической функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.10.2021 |
| Размер файла | 111,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Костромской государственный университет» (КГУ)
Институт физико-математических и естественных наук
Кафедра высшей математики
Направление подготовки
44.03.01 Педагогическое образование - Математика
КУРСОВАЯ РАБОТА
Несобственные интегралы от периодических функций
Дисциплина: Математический анализ
Выполнил студент: Кузнецова Валерия Сергеевна
Проверил: доцент кафедры высшей математики,
кандидат физико-математических наук, доцент
Ширяев Кирилл Евгеньевич
Кострома
2021
Оглавление
Введение
1. Несобственный интеграл
1.1 Определение несобственного интеграла
1.2 Определение сходимости интеграла
2. Непрерывная периодическая функция
3. Несобственный интеграл от непрерывной периодической функции
Заключение
Список использованных источников
Введение
Определенный интеграл: Определение 1. Функция f называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [a, b], если существует такое число А, что для любой последовательности разбиений отрезка [a, b]
у которой и для любого выбора точек
существует предел последовательности интегральных сумм и он равен А:
где .
При выполнении этих условий число А называется (римановым) определенным интегралом функции f на отрезке [a, b] и обозначается .
1. Несобственный интеграл
1.1 Определение несобственного интеграла
Пусть f(x) R [a; t], t<0,
,
если данный предел существует и является конечным, то f(x) интегрируема в несобственном смысле.
1.2 Определение сходимости интеграла
Определение 2. Пусть существует и некоторая F(t) = , и F(t) определена на [a, b), тогда сходится тогда и только тогда, когда существует .
математический сходимость интеграл несобственный
2. Непрерывная периодическая функция
2.1 Определение периодической функции
Существует Т0 > 0 - наименьший период, то есть это минимальный из всех таких Т, для которых справедливо
f(x) = f(x + T0)
2.2 Интегральный признак сходимости ряда
Теорема 1. Несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда сходится, где f(x) - периодическая функция, Т - период f(x).
3. Несобственный интеграл от непрерывной периодической функции
Теорема 1. Если f(x) - периодическая функция, то из этого следует, что , тоже является периодической функцией.
Доказательство: Если f(x + T0) = f(x) для любого x области определения функции, то (по определению) |f(x + T0)| = |f(x)| для любого x области определения функции. Теорема доказана.
Теорема 2. Если интеграл сходится, то из этого следует, что f(x) тождественно равен 0.
Доказательство: Нам дано, что сходится, следовательно, по интегральному признаку сходимости ряда, тоже сходится. Так как функция |f(x)| принадлежит множеству действительных чисел, то можно утверждать, что определенный интеграл является конечным числом. Пусть определенный интеграл равен б , где б - некоторое число, то есть = б, тогда ряд =
рис. 1
Получаем, что , где S - это конечное число, при , следовательно, nб не может стремиться к S, значит, условие будет выполняться тогда и только тогда, когда б равно 0.
Мы подошли к тому, что = 0, следовательно, функция f(x) тождественно равна 0. Теорема доказана.
Теорема 3. Если несобственный интеграл не равен бесконечности, то из этого следует, что данный интеграл не существует.
Доказательство: Зададимся вопросом: Что значит существование интеграла? Это значит, что если интеграл существует, то существует и предел интеграла от 0 до t при , то есть
а это значит, что предел тоже равен конечному числу.
Пусть любое tn = nT, тогда:
=
В силу периодичности функции это будет равно пределу суммы:
=
Также в силу периодичности, интеграл по периоду от каждой функции будет одинаковым, следовательно, мы получаем, что равен:
Так как нам дан определенный интеграл (интеграл Римана), то этот интеграл равен конечному числу:
При получаем:
=
Таким образом, мы пришли к тому, что если несобственный интеграл существует, то он равен плюс бесконечности, следовательно, если по условию интеграл не равен плюс бесконечности, то он и не существует:
не существует.
Теорема доказана.
Заключение
В рамках данного исследования мы рассмотрели основные определения, связанные с несобственным интегралом, так же были разобраны определения периодической функции и сходимости интеграла, рассмотрен интегральный признак сходимости ряда. А ещё, при помощи доказательства трёх теорем, мы познакомились с таким понятием, как несобственный интеграл от непрерывной периодической функции. В работе были использованы следующие методы исследования:
1. Анализ литературы по теме;
2. Синтез полученных знаний;
3. Обобщение полученных знаний.
Были решены следующие задачи курсовой работы:
1. Были изучены и систематизированы теоретические сведения по данной теме;
2. На основании изученной литературы были доказаны три теоремы о несобственном интеграле непрерывной периодической функции;
3. Рассмотрено понятие несобственного интеграла от непрерывной периодической функции в курсе математического анализа.
Таким образом, можно сделать вывод о значимости доказанных выше теорем. При решении математических задач будут полезны навыки применения данных теорем.
Список используемых источников
Книги с одним автором
1. Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Т. I М.: ВШ, 1981.- 535 с.
2. С. М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983. - 350с.
3. В. А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва 2012. - 407с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Несобственные интегралы первого рода. Понятие абсолютно и условно сходящегося интеграла. Несобственные интегралы второго рода. Определение непрерывности функции и равномерной сходимости. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
курсовая работа [240,1 K], добавлен 23.03.2011Несобственные интегралы первого, второго и третьего рода. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов. Несобственные интегралы, содержащие параметр. Гамма-функция и бета-функция Эйлера. Критерий Коши и эквивалентные условия сходимости.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 20.09.2013Рассмотрение примеров задач и теорем, доказываемых при помощи контрпримера. Применение терминов "производная" и "дифференцируемая функция". Построение немецким математиком Вейерштрассом первого примера непрерывной нигде не дифференцируемой функции.
курсовая работа [400,6 K], добавлен 07.10.2013Основные свойства непрерывной функции. Теоремы о корне, промежуточном значении и об ограниченности непрерывной функции, их доказательство. Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума. Графическое представление корней уравнения.
лекция [497,0 K], добавлен 13.02.2009Определение условий сходимости положительного ряда и описание свойств гармонических рядов Дирихле. Изучение теорем сравнения рядов и описание схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда. Вывод признаков сравнения Даламбера, Раабе и Бертрана.
курсовая работа [263,6 K], добавлен 14.06.2015Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Определение неопределенного интеграла, первообразной от непрерывной функции, дифференциала от неопределенного интеграла. Вывод формулы замены переменного в неопределенный интеграл и интегрирования по частям. Определение дробнорациональной функции.
шпаргалка [42,3 K], добавлен 21.08.2009Свойства и характеристика интегралов с бесконечными пределами, признаки их сходимости. Расчет несобственных интегралов с бесконечными пределами. Определение несобственного интеграла от разрывной функции с аналитической и геометрической точки зрения.
реферат [144,5 K], добавлен 23.08.2009Общий обзор свойств функций, осмысление каждого свойства. Исследование функции на монотонность, ее наибольшее и наименьшее значения. Тестовое задание "Выпуклость функции". Примеры непрерывной функции D(f)=[-4; 6] и прерывной функции D(f)=(1; 7).
презентация [360,5 K], добавлен 13.01.2015Определение числа гармоник разложения функций в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии. Построение амплитудного и фазового спектров функции, графика суммы ряда. Расчет среднеквадратичной ошибки между исходной функцией и частичной суммой Фурье.
контрольная работа [348,5 K], добавлен 13.12.2011Свойства множества Кантора. Исследование заданной функции на непрерывность. Выражение множества B (кладбище Серпинского) и D (гребёнка Кантора) через множество Кантора. Свойства и построение всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 24.06.2015Определение гипергеометрического ряда, свойства его функции и представление уравнения. Дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции и его интегралы. Представление различных функций через вырожденные гипергеометрические функции.
курсовая работа [470,9 K], добавлен 27.11.2010Построение графика непрерывной функции. Определение множителя Лагранжа. Критические точки - значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
контрольная работа [295,5 K], добавлен 24.03.2009Понятие и геометрический смысл определенного интеграла, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Объем тела вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
курс лекций [514,0 K], добавлен 31.05.2010Определение, доказательство свойств и построение графика функции распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Понятие о теореме Ляпунова. Плотность распределения "хи квадрат", Стьюдента, F Фишера—Снедекора.
курсовая работа [994,4 K], добавлен 02.10.2011Определение точки пересечения высот треугольника и координат вектора. Сущность базиса системы векторов и его доказательство. Определение производных функций, исследование ее и построение графика. Неопределенные интегралы и их проверка дифференцированием.
контрольная работа [168,7 K], добавлен 26.01.2010Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).
курсовая работа [2,2 M], добавлен 30.10.2015Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [165,5 K], добавлен 03.01.2012Понятие и особенности определения функциональных рядов. Специфика выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Способы нахождения его области и интервала сходимости. Логический ход математического доказательства теоремы Абеля.
презентация [86,5 K], добавлен 18.09.2013Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.
реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010
