Об одном методе конструирования алгебраических кривых
В статье рассмотрены вопросы конструирования алгебраических кривых как составляющих обводов, удовлетворяющих определенным техническим характеристикам. Автором предложен метод конструирования универсальных циркульных кривых с помощью круговой инверсии.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 04.10.2021 |
| Размер файла | 141,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Об одном методе конструирования алгебраических кривых
Шуранова Е.Н.
ТОГУ, Хабаровск, Россия
Абстракт
Рассмотрены вопросы конструирования алгебраических кривых как составляющих обводов, удовлетворяющих определенным техническим характеристикам. Предложен метод конструирования универсальных циркульных кривых с помощью круговой инверсии, которая является наиболее простым способом кремоновых преобразований. Установлена взаимосвязь между особыми точками прообраза и образа, полученного преобразованием, что весьма важно для обеспечения плавности обвода. Показано влияние расположения прообраза относительно аппарата преобразования на вид кривой образа. Дан анализ формирования порядка образа в квадратичных преобразованиях в зависимости от расположения прообраза относительно аппарата преобразования.
Ключевые слова: уникурсальные циркулярные кривые, кремоновы преобразования, кривая образ, кривая прообраз.
Shuranova E.N.
PNU, Khabarovsk, Russia
ONE METHOD OF CONSTRUCTING ALGEBRAIC CURVES
The article examines the problems of constructing algebraic curves as constituent contours satisfying certain technical characteristics. The author proposes a method for constructing universal circular curves by means of circular inversion, which is the simplest method of Cremona transformations.
The relationship between the special points of the pre-image and the image obtained by the transformation is established, which is very important for ensuring smoothness of the contour. The influence of the location of the pre-image relatively to the apparatus of transformation on the shape of the image curve is shown in the article. The article contains an analysis of the formation of the order of the image in quadratic transformations, depending on the location of the pre-image relatively to apparatus of transformation.
Keywords: unicursal circular curves, Cremona transformations, curve "image", curve "pre-image".
Во многих областях техники возникает необходимость конструирования обводов, удовлетворяющих определенным требованиям. На основе анализа литературы [1] можно отметить, что с точки зрения технических характеристик при конструировании обвода наиболее рационально использовать уникурсальные циркулярные кривые.
Наиболее удобным способом получения таких кривых является способ кремоновых преобразований, простейшим из которых является преобразования Гирста. циркульный кривая инверсия
Аппарат преобразования Гирста задается инвариантной коникой d2 и центром преобразования Fi = F'i. На прямой I, инцидентной центру преобразования, устанавливается инволюция, для которой двойными точками Ki и К 2 являются точки пересечения прямой Ј с коникой d2. Точке А ставится в соответствие точка А' пересечения прямой Ј с полярной точки А относительно d2.
Случаю, в котором центр преобразования совпадает с центром инвариантной окружности d2, соответствует круговая инверсия (рис.1), свойства которой хорошо изучены. В этом случае две F-точки совпадают с циклическими точками плоскости, то есть с точками пересечения окружности с несобственной прямой плоскости.
Так как образ проходит через F - точки преобразования, то в круговой инверсии мы всегда будем получать уникурсальные циркулярные кривые. Вид кривой - образа определяется видом прообраза и его расположением относительно аппарата преобразования.
Рис. 1 Аппарат преобразования Гирста (Инверсия)
Например, при расположении полюса инверсии:
1. В центре эллипса, в вершине и вне его получим овал Кассини, гиперциссоиду, овал Декарта (рис. 2);
2. В вершине, в фокусе и на директрисе параболы - циссоиду Диоклеса, кардиоиду и крыловидный профиль (рис. 3);
3. В центре, в вершине, фокусе гиперболы - лемнискату Бернулли, строфоиду, улитку Паскаля (рис. 4).
Отметим, что в общем случае особым точкам прообраза соответствуют особые точки образа, полученного преобразованием. В квадратичном преобразовании кривой порядка n соответствует кривая порядка 2 п. Но если прообраз проходит через F - точку преобразования m раз, то образ распадается на собственно образ порядка 2 п - m и p - прямую преобразования, взятую m раз и соответствующую F - точке преобразования. S точкам пересечения прообраза с p - прямой соответствует на образе S - кратная точка, совпадающая с F - точкой, соответствующей p - прямой.
Следовательно, если кривая второго порядка касается p - прямой либо пересекает ее в двух мнимых или действительных точках, то кривые - образы кривых второго порядка в преобразовании, будут соответственно иметь в F - точках точку острия, узловую или изолированную точку (рис. 2, 3, 4).
Подробное рассмотрение способа конструирования кривых с помощью кремоновых преобразований позволяет сделать вывод, что данный аппарат удобен с точки зрения управления формой получаемых профилей.
Рис. 2 Преобразование образа - эллипса в инверсии
Рис. 3 Преобразование образа - параболы в инверсии
У У yt
Рис. 4 Преобразование образа - гиперболы в инверсии
Заключение
Рассмотрены методы конструирования алгебраических кривых с использованием преобразований Гирста и как частный случай этих преобразований круговая инверсия. Сконструированные в результате этих преобразований уникурсальные циркульные кривые обладают определенными техническими характеристиками, которые связаны с геометрическими свойствами кривых такими как минимизация длины обвода, плавность графиков первой и второй производной, оптимальный график изменения кривизны обвода. Выявлена зависимость порядка конструируемых кривых, характер и количество особых точек кривых образа от расположения полюса инверсии относительно кривых прообразов, в качестве которых использованы кривые второго порядка.
Библиографические ссылки на источники
1. Савелов, А.А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения.
Справочное руководство. - М, 1960,- 296с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Преподавательская работа швейцарского математика Габриэля Крамера, введение в анализ алгебраических кривых. Система произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей Крамера. Классификация и порядок математических и алгебраических кривых.
реферат [47,6 K], добавлен 17.05.2011Сведения о плоских кривых. Замечательные кривые третьего порядка. Классификация Ньютона кривых третьего порядка. Циссоида и ее свойства. Преобразования плоскости, переводящие кривые второго порядка в кривые третьего порядка. Преобразования Маклорена.
дипломная работа [960,1 K], добавлен 22.04.2011Система кривых Пирсона. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.
дипломная работа [230,5 K], добавлен 13.03.2003Понятие и классификация кривых Безье, их разновидности и методика, основные этапы построения. Порядок и условия применения данных кривых в компьютерной графике. Преобразование квадратичных кривых в кубические. Финитные функции. В-сплайны Шёнберга.
реферат [456,6 K], добавлен 14.01.2011Доказательство теоремы единственности для кривых второго порядка. Преимущества и недостатки разных способов доказательства теоремы единственности. Пучок кривых второго порядка. Методы решения теоремы единственности для поверхностей второго порядка.
курсовая работа [302,7 K], добавлен 22.01.2011Алгоритм конструирования: выделение опорных утверждений, решение задачи, выбор утверждений для перефразировки и их изменение, перефразировка, решение полученной задачи. Обобщение. Конструкция. Частный случай. Перефразировка. Варьирование условий.
реферат [18,7 K], добавлен 14.10.2002Понятие и свойства плоских кривых, история их исследований, способы их образования, разновидности и свойства нормали. Методы построения некоторых видов кривых, называемых "Декартов лист", лемнискаты Бернулли, улитки Паскаля, строфоиды, циссоиды Диокла.
курсовая работа [3,1 M], добавлен 29.03.2011Понятие и свойства плоских кривых, история их исследований. Способы образования и разновидности плоских кривых. Кривые, изучаемые в школьном курсе математики. Разработка плана факультативных занятий по математике по теме "Кривые" в профильной школе.
дипломная работа [906,7 K], добавлен 24.02.2010Линия - общая часть двух смежных областей поверхности. Характеристика спиралей – плоских кривых линий. Кардиоида как плоская линия, описываемая фиксированной точкой окружности. Описание циклоида и астроида. Синусоидальная спираль как семейство кривых.
контрольная работа [268,4 K], добавлен 17.11.2010Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Представление о взаимном расположении поверхностей в пространстве. Линейчатые и нелинейчатые поверхности вращения. Пересечение кривых поверхностей. Общие сведения о поверхностях. Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою.
реферат [5,4 M], добавлен 10.01.2009Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013Изучение явлений, происходящих в линейных цепях при периодических несинусоидальных напряжениях и токах. Разложение периодических несинусоидальных кривых в тригонометрический ряд Фурье. Основы разложения кривых, обладающих симметрией, и виды симметрии.
презентация [290,3 K], добавлен 06.06.2014Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019Характеристика видов математических уравнений - алгебраических и трансцендентных, их сравнение и отличительные особенности. Возможности метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений, применение в стандартных и нестандартных ситуациях.
контрольная работа [246,3 K], добавлен 21.09.2010Понятие и способы образования плоских и кривых линий. Примеры пересечения алгебраической кривой линии. Поверхность в геометрии. Аргументы вектор-функции. Уравнения семейства линий. Способ построения касательной и нормали в произвольной точке лемнискаты.
контрольная работа [329,5 K], добавлен 19.12.2014Представления фазовых кривых систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи критического направления. Построение примеров, удовлетворяющих методу Фроммера. Нахождение характеристических чисел 1 и 2 рода дифференциального уравнения в C++.
дипломная работа [595,0 K], добавлен 11.02.2012Использование кривых второго порядка в компьютерных системах. Кривые второго порядка в 3d grapher. Жезл, гиперболическая спираль. Спираль Архимеда, логарифмическая спираль. Улитка Паскаля, четырех и трехлепестковая роза. Эпициклоида и гипоциклоида.
реферат [221,1 K], добавлен 26.12.2014Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.
курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009Изучение способов решения нелинейных уравнений: метод деления отрезка пополам, комбинированный метод хорд и касательных. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений. Особенности математической обработки результатов опыта, полином Лагранжа.
курсовая работа [181,1 K], добавлен 13.04.2010
