Педагогический институт

Факультет математики и естественнонаучного образования

Кафедра математики

Реферат

Методы решения логарифмических уравнений

Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287-212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней.

В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М.Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2: Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке.

По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж.Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении «Описание удивительной таблицы логарифмов», опубликованном в 1614. Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы.

Таблицы Непера состояли главным образом из логарифмов тригонометрических функций. Хотя понятие основания не входило в явном виде в предложенное Непером определение, роль, эквивалентную основанию системы логарифмов, в его системе играло число (1 - 10-7) ґ107, приближенно равное 1/e. Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге, издавшем в 1620 Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1 + 10-4) ґ104, достаточно хорошему приближению числа e. В системе Непера логарифм числа 107 был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г.Бриггс (1561-1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы.

Таким образом, мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми. Термины «характеристика» и «мантисса» были предложены Бриггсом.

Для чего были придуманы логарифмы? Конечно для ускорения и упрощения вычислений. Изобретатель первых логарифмических таблиц, Неппер, так говорит о своих побуждениях:

«Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики»

В самом деле, логарифмы чрезвычайно облегчают и ускоряют вычисления, не говоря уже о том, что они дают возможность производить такие операции, выполнение которых без их помощи очень затруднительно (извлечение корня любой степени).

2. Основные понятия и свойства логарифма

Напомним, что число x называется логарифмом числа по основанию , если .

Таким образом, по определению .

Пример 1.1 Решить уравнение:

ОДЗ:

?

с учетом ОДЗ, корень уравнения равен 1

Отв:1

Пример 1.2 Решить уравнение:

ОДЗ:

?

с учетом ОДЗ

ответ: -1;2

Пример 1.3 Решить уравнение:

ОДЗ:

не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

Метод потенцирования: Потенцирование, то есть переход от уравненияк уравнению .

Здесь следует иметь в виду, что эти уравнения, возможно, неравносильны. Второе уравнение может иметь корни, не входящие в ОДЗ первого, для которых

Пример 1.4 Решить уравнение:

lg5+ lg(x+10)=1-lg(2x-1)+lg(21x-20)

Решение:

ОДЗ определено условиями условием:

Заменим единицу на lg10 и используем формулы суммы и разности логарифмов. Получим уравнение

Потенцирование и сокращение на 5 приводит к уравнению

После приведения к общему знаменателю и приведения подобных членов получаем уравнение

Корнями, которого являются числа , оба входящие в ОДЗ

Ответ:

Применение основного логарифмического тождества:

При применении основного логарифмического тождества происходит переход от уравненияк уравнению Здесь также могут появиться посторонние корни.

Пример 1.5 Решить уравнение:

Решение: применив основное логарифмическое тождество , и формулу , получим

Потенцирование этого уравнения приводит к однородному показательному уравнению

Разделим обе части уравнения на и обозначим Полученное при этом квадратное уравнение имеет корни . Второй корень посторонний, поэтому - решение однородного показательного уравнения. Так как не входит в ОДЗ данного уравнения, то задача не имеет решений.

Метод введения новой переменной: Распространенным методом решения уравнений и неравенств вообще, и логарифмических в частности, служит замена переменных (метод подстановки). Чаще всего этот метод используется, когда уравнение или неравенство является квадратным относительно функции, содержащей искомую переменную. Ниже рассмотрим некоторые виды замены переменной, позволяющие значительно упростить или ускорить получение решений уравнений содержащих кроме логарифмической другие комбинации функций.

Пример 1.6 Найти произведение корней уравнения:

ОДЗ:

, так как x<0

Произведение корней равно 1

Ответ:1

Пример 1.7 Решить уравнение:

ОДЗ:

Прологарифмируем оба уравнения по основанию 7:

Ответ:

Пример 1.8 Решить уравнение:

ОДЗ:x>0, t>0

Ответ:

Переход к новому основанию:

Пример 1.9 Решить уравнение:

Решение: ОДЗ определяется исходя из того, что основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы. Это дает набор условий:

Поскольку 16=, а 64=, удобно перейти к логарифмам по основанию 2:

Обозначим Получаем уравнение

После очевидных преобразований получаем уравнение

Корни этого уравнения равны .

Это дает два уравнения для нахождения x.

Потенцируя, получаем корни , входящие в ОДЗ.

Ответ:

Рассмотренные примеры показывают, что замена переменной эффективный прием решения логарифмических уравнений и неравенств.

Преимущество такого приема наиболее ярко проявляется при решении уравнений и неравенств, представляющих комбинацию логарифмических и показательных функций.

Метод логарифмирования: Метод логарифмирования заключается в том, что обе части равенства или неравенства, если они положительные, можно прологарифмировать по одному основанию (в неравенствах, учитывать при этом монотонность функции).

Пример 1.10 Решить уравнение:

Решение: ОДЗ определено условием x>0. Учитывая, что lg 0,0001=lg, получаем

-4

Обозначим Получаем уравнение Корни этого уравнения . Это дает два уравнения для x

Следовательно,

Потенцируя, получаем четыре уравнения:

.

Все корни входят в ОДЗ.

Ответ:

4. Нестандартные способы решения логарифмических уравнений и неравенств

Метод замены множителей: Данный метод позволяет нам решение неравенства повышенной сложности свести к решению рациональных неравенств. Любое неравенство можно привести к виду:

Здесь символ «V» означает один из четырех возможных знаков неравенства: - комбинация функций неизвестной переменной (сложная функция). В основе рассматриваемого метода лежат два равносильных утверждения:

Утверждение 1. Функция есть строго возрастающая, тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции совпадает по знаку с разностью

Утверждение 2 . Функция есть строго убывающая, тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью

Здесь и дальше по тексту t - функция неизвестной переменной.

Равносильность утверждений 1 и 2 следует из того факта, что если есть монотонно возрастающая функция, то есть монотонно убывающая. Если нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства(имеющий в этой области те же корни). Этот факт и определяет основную идею метода замены множителей.

Показательная и логарифмическая функции и вызываемые ими замены: Показательная функция как известно строго убывает при и строго возрастает при . Поэтому, в частности, для получаем

Для произвольного основания a, пользуясь основным логарифмическим тождеством, можно увидеть, что

Откуда

то есть

Функция - строго возрастающая. Поэтому с учетом ОДЗ

При получаем , те есть

Тогда соотношение принимает вид

Таким образом, мы установили, что разность степеней с одним и тем же основанием всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на разность основания и единицы.

Для логарифмической функции аналогично устанавливаем, что

Отсюда следует, что

То есть разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с отношением разности подлогарифмических выражений к разности основания единицы:

Исходя из этого, образуются полезные схемы решения основных показательных и логарифмических неравенств:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Решение уравнений за счет свойств, входящих в них функций. Имеется довольно много уравнений и неравенств, которых можно решать за счет свойств, входящих в них функций. Этот метод дает возможность решить уравнение или неравенство проще, чем с помощью стандартных методов. Существует несколько таких нестандартных методов:

· Использование областей существования функций

Анализ области определения уравнения или неравенства в некоторых случаях позволяет существенно упростить процедуру нахождения решений.

Так, если множество, на котором определены обе части уравнения, окажется пустым множеством, то ответ в этом случае ясен - уравнение не имеет решений.

Пример2.1 Решить уравнение:

Решение: Условия для нахождения ОДЗ имеет вид:

Система решений не имеет, т.е. ОДЗ уравнения - пустое множество.

Ответ: нет решений

Если множество состоит из одного или нескольких чисел, то достаточно проверить, является ли каждое из этих чисел решением данного уравнения.

Пример 2.2 Решить уравнение:

Решение: Обе части уравнения определены только для тех x, которые удовлетворяют системе неравенств

Решением системы являются . Проверка показывает, что удовлетворяет данному уравнению, а .

Ответ:

Пример 2.3 Решить неравенство:

Решение:Обе части неравенства определены только для тех х, которые удовлетворяют системе неравенств

Данной системе неравенств удовлетворяют лишь два числа: . Поэтому если данное неравенство имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число не удовлетворяет неравенству, а число ему удовлетворяет. Следовательно, неравенство имеет единственное решение

Ответ: х=5

Знание множества области определения может помочь в нахождении решений даже в случае, когда оно - бесконечное множество чисел.

Пример 2.4 Решить уравнение:

Решение:Это уравнение равносильно системе уравнений

Первое уравнение системы имеет единственное решение х=3, которое является также решением второго уравнения системы.

Следовательно, система, а значит, и равносильное ей уравнение имеет единственное решение.

Ответ: х=3

Пример 2.5 Решить уравнение:

Решение:Уравнение определено для всех действительных значений причем:

Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

Решениями второго уравнения системы являются . Из этих чисел только число удовлетворяет первому уравнению системы.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение

Ответ:

· Использование монотонности функций

Напомним, непрерывная функция называетсястрого монотонной, если при выполняется условие т.е. в случае строгой монотонности неравенство для значений функции так же строгое.

Решение уравнений и неравенства с использованием строгой монотонности основано на утверждениях:

1. Если - непрерывная, строго монотонная функция на интервале (a;b), то уравнение может иметь не более одного решения на этом интервале.

2. Если - непрерывны на интервале (a;b), и имеют в нем разный характер строгой монотонности (одна из функций возрастает, другая убывает), то уравнение может иметь не более одного решения на этом интервале.

В случае, когда определить характер или интегралы монотонности функции из общих соображений не удается, то такая задача решается с использованием производных.

Пример 2.6 Решить уравнение:

Решение: Перепишем данное уравнение в виде

Рассмотрим непрерывные функции Функцияубывает на промежутке возрастает на промежутке . Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке . Так как на промежутке функция возрастает, а функция убывает и обе функции непрерывны, то на этом промежутке уравнение может иметь не более одного корня. Легко проверить, что таким корнем является число х=2. Так как на промежутке функция убывает, а функция возрастает и обе функции непрерывны, то на этом промежутке уравнение также может иметь не более одного корня. Легко видеть, что таким числом является число х=0. Итак, данное уравнение имеет два корня .

Ответ:

Заключение