Геометрические свойства кривых и их практическое значение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТОГУ

Геометрические свойства кривых и их практическое значение

Г.В. Фокина

Е.Н. Шуранова

г. Хабаровск

Аннотация

В статье проведен анализ наиболее распространённых способов конструирования технических контуров. Установлена зависимость эксплуатационных характеристик контуров от геометрических свойств кривых. Рассмотрены некоторые кривые, используемые в практике конструирования. Наличие аналитических уравнений заданных кривых позволят сформировать математическую модель конструируемых контуров, что упрощает определение прочностных характеристик профиля и позволяет управлять формой профиля путем варьирования параметрами кривых, образующих технический контур.

Ключевые слова: технические контуры, геометрические свойства кривых, радиус кривизны кривой, угол кривизны контура.

Abstract

Geometric properties of curves and their practical significance

G.V. Fokina, E.N. Shuranova

PNU, Khabarovsk, Russia

The article analyzes the most common methods of designing technical circuits. The authors established that the operational characteristics of the contours depend on the geometric properties of the curves. Some of the curves used in construction practice were examined. The presence of analytical equations of given curves allows us to form a mathematical model of the designed contours. It simplifies the definition of the strength characteristics of the profile and allows you to control the shape of the profile by varying the parameters of the curves that form the technical contour.

Keywords: technical circuits, geometric properties, radius of curve of the curvature, angle of curvature of the contour

Основная часть

В практике проектирования решеток профилей приходится решать задачи на построение профиля по заданному распределению скоростей, определение прочностных характеристик контура (площадь, положение центра тяжести, моменты инерции и сопротивления), контроль качества общения путем определения эпюра скоростей потока по контуру заданного профиля. Их решение значительно упрощает наличие математической модели изделия. Но надо понимать, что прочностные характеристики и качество обтекания во многом зависят от вида кривых, формирующих этот контур.

Для образования контуров можно использовать различные плавные кривые [1], обладающие разными эксплуатационными характеристиками.

С целью получения более благоприятного закона распределения скоростей в практике существуют следующие направления конструирования технических контуров.

При невысоких скоростях потока задача заключается в построении контуров из нескольких дуг кривых, обеспечивающих получение непрерывной касательной и малых скачков кривизны в точках сопряжения. При больших скоростях потока, когда даже незначительные скачки кривизны существенно влияют на величину коэффициента профильных потерь, используют иной подход. Цель данного подхода - построение контуров с обводами, имеющими непрерывную кривизну.

В первом случае осуществляется построение контура одним из существующих способов с последующим сглаживанием кривизны в окрестности точек сопряжения. Во втором случае необходимо использовать дуги кривых, свойствами которых является монотонное изменение кривизны [2, с. 358-361].

При выборе кривых для очертания контуров необходимо обращать внимание, главным образом, на то чтобы:

- кривизна контура монотонно уменьшалась от входной кромки к выходной;

- у кривых, формирующих обвод, отсутствовали точки перегиба, наличие которых нарушает плавность изменения кривизны контура;

- дуги кривых, образующие обвод, должны иметь минимальную длину для уменьшения величины профильных потерь.

Желательно также для случаев, когда требуется сопряжение с прямой линией, чтобы в какой либо из конечных точек кривой радиус кривизны равнялся бесконечности.

На практике для построения контуров используются квадратные параболы, лемнискаты Бернулли, гиперболические спирали, дуги окружностей и отрезки прямых.

Проанализируем геометрические свойства кривых, которые используют для формирования технического профиля, расположенного между касательными n и Ј, проведенными в начальной точке А и конечной точке В конструируемого контура (рис. 1). При этом данные касательные определяют величину угла 0, который называется углом кривизны контура.

Рис. 1

Радиус кривизны параболы изменяется не монотонно. Минимальный радиус кривизны парабола имеет в вершине. Он равен параметру р. Чем дальше от вершины, тем больше радиус кривизны кривой. Радиус кривизны достигает бесконечно большого значения лишь при х в бесконечности (рис. 3). Поэтому параболу нельзя сопрягать с прямой без скачка кривизны в точке сопряжения.

При профилировании можно получить контур только с углом кривизны 0 меньше п /2.

Особенность гиперболической спирали р = - (рис. 4) состоит в том, что прямая y=a является для нее асимптотой, а начало координат - асимптотической точкой. Радиус кривизны R = (-)³ гиперболической спирали изменяется монотонно от бесконечного значения при угле ф равном нулю до нуля при бесконечном значении угла ^ (рис. 5).

Кривая может быть использована для получения контуров с большими углами кривизны, вплоть до предельного значения 0 равного п.

Лемнискаты Бернулли (рис. 6) (x²+y²)²=2a²(x²-y²) или в полярных координатах р = a^2cos2y имеет радиус кривизны R= ^/з_С052.

Эта кривая характеризуется монотонным изменением радиуса кривизны от минимального значения ^2а /^ в вершине лемнискаты до бесконечного значения в узловой точке в начале координат (рис. 7).

При этом можно получить контур с максимальным углом 0 кривизны, равным. Достижение бесконечно большого радиуса кривизны в реальной точке делает лемнискату удобной для построения профилей, так как она может быть сопряжена с прямой линией без скачка кривизны.

Лемниската оказывается наиболее благоприятной кривой для построения контуров дозвуковых профилей, так как позволяет выбрать в любом сечении канала точку максимальной кривизны и обеспечить плавное изменение кривизны вдоль обвода профиля.

Изменяя масштаб ординаты, можно смещать точку Е (рис. 4) в любое направление по прямой х = 0,625а и тем самым обеспечить желаемую форму контура для различных углов входа и выхода потока.

Заключение. Анализ геометрических свойств кривых указывает на их связь с эксплуатационными свойствами технических контуров.

Наличие математической модели позволяет автоматизировать определение прочностных характеристик и построение эпюра скоростей потока на контуре заданного профиля.

Библиографические ссылки

геометрический контур кривая

1. Савелов А.А., Плоские кривые: Систематика, свойства, применение. Справочное руководство. М.: 1960. - 296 с.

2. Некоторые вопросы конструирования технических профилей. Шуранова Е.Н., Информационные технологии ХХ1 века: сб. науч. тр. - Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2017. - 542 с.

Размещено на Allbest.ru