Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Частное учреждение образовательная организация высшего образования

"Омская гуманитарная академия"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

на тему: Основные концепции математического моделирования

Выполнил(а):

Комарова О.С.

Омск, 2020



1. Понятие математического моделирования

Понятие математического моделирования начало формироваться как отдельное к концу ХХ века. В частности, частым определением выступает сформулированное Клавом Димом определение “математическое моделирование есть представление поведения объектов и процессов в математических понятиях.” Несмотря на очевидность и обширность данного определения несложно заметить его рекурсивность. В таких случаях можно использовать термин “математические понятия” как элемент так называемого математического языка; тогда каждое общезначимое высказывание на этом языке будет выражено в математических понятиях.

Математическое моделирование также является важной частью процесса научного познания. Имплементация таких методов позволяет получать количественные (а в случае предоставления достаточного обоснования для дистинкции результатов, и качественные) результаты исследований, избегая многих ошибок при интерпретации этих результатов.

Несмотря на математическую строгость составляемых моделей, сам процесс создания подобной модели является творческим, хоть и в большинстве своем соответствует некоторым правилам.



2. История математического моделирования

Несмотря на совсем недавно возникший к теме математического моделирования интерес, сам метод в той или иной форме существует уже сотни, если не тысячи лет. В частности, к математическому моделированию можно отнести попытки Древних Египтян рассчитать количество необходимых для строительства ресурсов и еды. В так называемом Берлинском папирусе, датированном примерно XII веком до нашей эры, отражены возможности математиков решать в том числе уравнения второго порядка, т.е. квадратные.

Рисунок 1. Берлинский папирус

Античная греческая математика также содержала элементы математического моделирования. В частности, в сформулированном в одной из известных апорий Зенона приводится модель Ахиллеса, догоняющего черепаху.



Рисунок 2. Ахиллес и Черепаха, апория Зенона

Впоследствии методы математического моделирования использовались Николаем Коперником для определения положения Земли относительно Солнца; Исааком Ньютоном в его работах о принципах математики и в сформированных им трех законах механики; братьями Бернулли, определившими законы математического вероятностного распределения и во многом определившими развитие математической статистики как науки.

Сегодня математическое моделирование используется для широкого спектра целей: в промышленности, управлении городами (урбанистике), логистике, обработке “больших данных”, журналистике и, конечно, науке.



3. Основы математического моделирования

3.1 Процесс математического моделирования

В процессе создания математической модели можно выделить следующие этапы:

? Постановка задачи математического моделирования

? Сбор данных об изучаемом объекте или процессе

? Структуризация данных

? Построение математической модели на основании собранных данных

? Сбор большего объема данных об объекте или процессе

? Проверка построенной математической модели на новых данных и корректировка модели (может выполняться несколько раз, при неудачном изначальном построении возможно возвращение к предыдущим этапам для исправления ошибок)

? Использование (реализация) модели в соответствии с задачами.

Важно отметить, что данный список является условным и накладывается на отрасль с соответствующими изменениями. Например, природным ограничителем при изучении астрономических явлений становится скорость света, из-за чего становится невозможным сбор данных об объектах, находящихся вне наблюдаемой части Вселенной. В следующих частях будут более подробно рассмотрены каждый из этапов.



Рисунок 3. Схема создания математической модели.

3.2 Этапы математического моделирования

3.2.1 Постановка задачи

Этап постановки задачи является решающим для всего процесса моделирования. В широком смысле, задачей моделирования является создание такой модели, которая бы давала некоторые полезные знания при “загрузке” в нее соответствующих данных. При этом часто учитываются и другие факторы, особенно в коммерческих структурах. Так, например, в интернет-маркетинге используется понятие “кластер” как набор персональных идентификаторов, учитывающийся при анализе как один объект. Это сделано для снижения затрат на анализ поведения пользователей; таким образом, помещенные в один кластер по ряду параметров пользователи часто в большинстве своем ведут себя похожим образом, а имеющаяся погрешность нивелируется меньшими затратами, и, как следствие, большей прибылью.

Также при создании математической модели может учитываться и время обработки данных, в том числе вычислительными системами. Например, устанавливаемые в метро камеры с распознаванием лиц работают в режиме уменьшенного разрешения изображения, так как система должна выделить и, при необходимости, опознать лицо, пока оно проходит мимо этой камеры. Для таких целей подобные устройства устанавливают ниже обычных, и распознавание происходит в момент непосредственного приближения человека.

Научные модели, в свою очередь, отличаются наибольшей обобщенностью и попыткой покрытия как можно большего количества случаев в рамках одной модели. Так, например, закон Всемирного тяготения, сформулированный еще Ньютоном, покрывает бесконечное количество тел и не нуждается в дополнениях, кроме бесконечно малых размеров, где в действие вступают принципиально другие, ядерные силы.

В свою очередь, модели из социальных наук менее точны, в том числе ввиду сложности сбора достаточного объема достоверных данных. Специалисты соответствующих областей часто учитывают целый ряд факторов, будь то плотность населения, текущий политический режим, наличие социальных институтов. Тем не менее, некоторые из сформулированных моделей показывают высокоточные результаты. В частности, модель, предлагающая рассмотрение так называемого демографического перехода, когда с повышением уровня медицины, образованности и мобильности населения значительно сокращается рождаемость. Специалисты связывают подобное социальное поведение со сменой приоритетов, а также снятием необходимости производить больше потомства ввиду большей выживаемости.

Тем не менее, некоторые модели были и остаются весьма громоздкими и учитывают слишком большое количество малозначимых факторов. Для решения этой проблемы используют принцип “Бритва Оккама”, сформулированного как “Не следует множить сущее без необходимости”, то есть относительно незначительные факторы исключаются. В ситуациях оправданного разделения возможно выделение частного случая из массы общих. Классическим примером такого деления можно считать теорему Стокса и исходящее из нее уравнение Ньютона-Лейбница.



Рисунок 4. Графическое упрощенное представление модели о демографическом переходе.

3.2.2 Сбор данных

Этап сбора данных во многом определяется поставленной задачей и имеющимися инструментами. Так, например, при исследовании больших данных о поведении пользователей в Сети возможна выгрузка и анализ самых разных параметров. Исследование данных, защищающихся государством, происходит намного сложнее, и, чаще всего, под надзором внутренних органов. В экономике построение математических моделей часто основывается на периодической отчетности соответствующих субъектов, и в момент принятия решения на основе построенной математической модели реальное положение дел может сильно отличаться. В естественных науках вводится понятие “погрешности” как заложенного в модель допустимого отклонения, качественно не влияющего на результат. В социальных науках имеется целый ряд феноменов, препятствующих сбору достоверных данных. К таким феноменам можно отнести социальную конформность, когда респондент, ведомый осознанным или неосознанным желанием присоединиться к сконструированному в его сознании большинству, дает ответ, который он считает наиболее социально одобряемым, даже если сам считает иначе. Таким образом, появившаяся в СМИ картина воспроизводит сама себя в социологических исследованиях, при этом не отражая реального положения вещей.

Существует условный набор методов данных для некоторой модели. Обобщенно, можно выделить пассивное наблюдение, эксперимент и опрос.

Пассивное наблюдение подразумевает сбор и фиксирование доступных данных об объекте или процессе с помощью доступных методов сбора данных. К таким данным можно отнести астрономические наблюдения, радиоактивную датировку (в археологии), наблюдение за потоком транспорта. Такой метод используется для предварительного сбора информации, а также изучения процессов, повлиять на которые крайне сложно.

Эксперимент как метод сбора данных подразумевает возможность введения некоторых известных величин и анализ полученных результатов. Чаще всего такой метод работает по стратегии “черного ящика” в информатике: известны входящие и исходящие данные, на основе которых строится необходимая модель. Стоит отметить, что корректность проведения эксперимента может определить исход всего исследования, а значит, сказаться на точности конструируемой модели.

Рисунок 5. Стратегия черного ящика

Опрос преимущественно является методом сбора данных в социальных науках. Интерпретация ответов на опрос перед анализом является ключевым фактором успешности метода. Так, например, для отсечения части недобросовестной части респондентов используется определяющий вопрос, например, “Читали ли Вы книгу Х автора У, который Z”. Естественно предположить, что ни книги, ни автора не существует. При этом, солгавшие в ответе на этот вопрос респонденты намного более вероятно неправдиво ответят и на другие вопросы. Для обеспечения меньшего разброса результатов таких участников возможно удалить из выборки или назначить соответствующий меньший “вес” их ответам.

3.2.3 Структуризация данных

Процесс структуризации данных может сильно повлиять на качество модели: ее точность, цену, скорость вычисления по ней. Объединение данных в группы (кластеры) может помочь заметить четкую тенденцию, в то время точечное рассмотрение данных не дало бы такого результата. Во многом процесс структуризации определяется и вычислительным оборудованием, то есть условным количеством операций в единицу времени. Для процессоров это тактовая частота, доступная для вычислений.

Структурированные данные легче изменять. Таким образом, если появляется необходимость избавиться от пограничных значений, сделать это со структурированными данными куда проще.

3.2.4 Построение модели

После сбора и структуризации данных необходимо объединить эти данные для построения модели. Простейшим механизмом в данном случае будет составление таблицы соответствующих данных в ПО с таблицей (например, Microsoft Excel), которая позволяет выстраивать данные в заданном порядке, фильтровать и даже обладает некоторой предсказательной мощностью (в частности может найти линейную зависимость).

Чуть более сложным методом является построение графика зависимости величин, также называемый “фундаментальной диаграммой”. Это особенно удобно при наличии двух приводимых в некоторое соответствие параметров. Анализ получившихся данных требует аналитических и математических навыков; тем не менее, таким образом можно определить степенную, логарифмическую, а также тригонометрическую (особенно в случае с периодическими процессами) зависимости. Часто для определения зависимостей используется так называемый анализ размерности. В случае с математическим моделированием его можно рассмотреть как под-метод; для его применения необходимо постулировать, что выбранная система может быть описана в виде непрерывного уравнения с поставленными к ней величинами.

В случае, если данных слишком много или количество рассматриваемых величин много больше двух, имеет смысл обратиться к современным методам построения моделей математической зависимости. В частности, воспользоваться специальным программным обеспечением.

3.2.5 Уточнения и приближения

Для анализа непосредственно самой модели часто собирают второй набор данных и определяется уровень точности модели. Научные модели требуют уменьшения погрешности до наименьших (часто в пределах 10-9) значений, социальные же науки считают достаточной достоверность в 75%. Если после проверки на новых данных модель не проходит по соответствующим критериям точности, в нее вносят изменения.

При этом, в отличие от теоретических примеров, реальные условия изучаемых процессов далеки от идеальных, и если в научных моделях от этих неточностей избавляются, то в случае с более прикладными моделями возникает необходимость наоборот каким-либо образом учесть подобные факторы.

Для построения эффективных моделей часто используются методы приближения. Они позволяют составить наиболее близкую к реальности модель. Некоторые из методов уточнения описаны ниже.



3.2.6 Реализация математической модели

Когда модель проходит поставленные перед ней критерии (чаще всего это скорость вычисления, уровень достоверности, цена внедрения) она становится частью соответствующей системы. При этом выделяют два вида задач, поставленных перед математической моделью.

Описательная задача: непосредственное создание модели, описывающей объект или явление. Чаще всего необходимо для понимания происходящих в природе процессов. Такие модели используются, например, в астрономии для определения положения и свойств тел в пространстве в момент времени.

Задача воздействия: на основе построенной модели конструируется алгоритм действий для достижения результата. Такими моделями пользуются, в частности, маркетологи, с помощью исследований определяющих самые важные потоки информации и уровень их воздействия на поведение потребителя, а затем при помощи этих потоков формирующие у потребителя новый запрос, соответствующий текущему плану реализации продукции компанией.



4. Методы построения математических моделей

4.1 Классификация моделей

Этап построения математической модели является творческим и требующим достаточных математических знаний и аналитических навыков. существует несколько классификаций математических моделей, но мы остановимся на следующей сборной классификации:

1. Качественные

2. Количественные

3. Линейные

4. Нелинейные

Качественные математические модели подразумевают построение такой модели, в которой отношения высказываний бы строились на некоторых особых условиях. Качественные модели свойственны социальным наукам; они обращают внимание на закономерности, не приводя точного соответствия между указанными параметрами. Простейшей такой математической моделью можно считать утверждения вроде “Люди с ожирением более склонны к диабету.” Иногда в такие модели включают процентную компоненту, но скорее в статистических целях, а результаты могут сильно варьироваться в том числе в зависимости от мощности выборки.

Количественные математические модели скорее находят четкую математическую связь между параметрами. Такие модели обычно можно записать в виде формул и накладывать на самые разные выборки.

Линейные количественные математические модели подразумевают, что для любого то есть увеличение параметра, от которого зависит некоторая величина изучаемого процесса, приводит к увеличению этой самой величины в такое же количество раз. Простейшим примером такой модели можно считать зависимость внутренней энергии одноатомного газа от количества вещества(??) и температуры(T):

,

где при увеличении ?? или Т в k раз, во столько же увеличится сама внутренняя энергия газа.

Нелинейные количественные модели, в свою очередь, подразумевают зависимость заданной величины от рассматриваемых параметров некоторым нелинейным образом, а значит между увеличением параметра в какое-либо количество раз и увеличением рассматриваемой величины нет никакой устойчивой связи. Примером такой модели может служить теория денежного обращения, связывающая количество денег в обращении (k) сумму стоимостей товаров, подлежащих реализации (T _под), сумму стоимостей товаров, платежи по которым выходят за рамки выбранного периода (Т _вн), сумму стоимостей товаров, проданных до наступления выбранного периода, сроки платежей по которым наступили в этом периоде (Т _пл), сумму взаимно погашенных (встречных) обязательств (Т _взаим) и количество оборотов денежной массы за период, то есть скорость оборачиваемости денег (И):

,

из которой следует, что увеличение любого из параметров не приведут к увеличению рассматриваемой величины, количества денег в обращении.



4.2 Методы построения на основе классификации

4.2.1 Построение качественных моделей

Построение качественных математических моделей обычно подразумевает статистически значимый сбор данных. Как уже было описано ранее, такие модели чаще строятся в социальных науках, поэтому строгих правил для сбора таких статистических данных нет. Так, например, сложно добиться мощности статистической выборки более 1000 для достижения вероятности ошибки менее 4% при доверительном уровне 95%, сложен при попытке проанализировать политические режимы стран ООН, которых всего 193. Тем не менее, социологи стараются включить в выборку и проанализировать самые разные метрики в рамках одного такого статистического исследования. Классическим примером такого исследования являются статистические отчеты внутренних органов. Так, например, Портал Правовой Статистики при Генеральной Прокуратуре Российской Федерации опубликовал следующее заявление: “мужчины от 30 до 49 лет составляют почти 54 процента от всех преступников мужского пола. При этом 35 процентов из них не имеют высшего образования, а 47 процентов получили только начальное и основное общее образование. Почти у 70 процентов совершивших преступления не было постоянного источника дохода. В то же время совсем безработных преступников за год оказалось всего лишь в районе 0,1 процента. Преступников старше 50 лет чуть больше 8 процентов.”



Рисунок 6. Распределение преступности в РФ по полу и образованию.

4.2.2 Построение линейных количественных моделей

Линейные математические модели, как уже было сказано, отличаются четкой линейной зависимостью между увеличением параметра в модели и увеличением рассматриваемой величины. В целях экономии времени и простоты записи, данные для таких моделей можно представить в виде таблицы. Для примера возьмем умозрительный эксперимент с телами массы m, свободно висящими на пружине с замером удлинения пружины x.

m, кг	x, м
1.0	0.012
1.2	0.015
1.4	0.017
1.6	0.020
1.8	0.022
2.0	0.024
2.2	0.027
2.4	0.029
2.6	0.032



Несложно заметить, например, что при увеличении в 2 раза массы (с 1 до 2 кг), растяжение пружины также увеличилось в 2 раза. Таким образом мы можем определить, что x ~? m, и ? ? 0.012. Тогда наша модель будет выглядеть как x=0.012Чm.

4.2.3 Построение нелинейных количественных моделей

Для нелинейных математических моделей не существует определенного алгоритма построения ввиду их многообразия. Важнейшим инструментом при построении таких моделей является теория дифференциальных уравнений.

Стоит отметить, что многие нелинейные количественные модели строятся на основе уже существующих моделей, но тем не менее способны давать полезный результат.

Наглядным примером использования такого принципа является модель рынка с прогнозируемыми ценами:

Допустим такую замкнутую рыночную систему, в которой спрос D и предложение S находятся в полной зависимости от цены r. При этом повышение цены, скорость этого повышения и темп роста повышения влекут за собой рост предложения, а независимой величиной выступает время t. Тогда

,

где S₀ - начальное предложение.

Также допустим, что увеличение цены и рост цены снижают, но при этом темп роста цены повышает спрос. Тогда



,

где D₀ - начальный спрос.

Конечно, наша модель требует больших допущений. Следует полагать. что каждый из коэффициентов ; что каждая из приведенных функций непрерывна и дифференцируема; что не существует непосредственной связи между, например, текущим спросом и предложением.

Тем не менее, если допустить, что в точке равновесия D(t)=S(t), то

, или

) = 0.

Таким образом, мы составили простую математическую модель с динамическими спросом и предложением.

Решить такое уравнение можно с помощью соответствующего характеристического уравнения

)] = 0

Соответствующим дискриминантом для такого уравнения будет

Дальнейшее решение уравнения же будет зависеть от этого значения дискриминанта.



5. Методы улучшения моделей

Математические выводы и модели, сделанные на основе собранных данных, часто являются черновыми и требуют улучшения. Существует большой ряд разнообразных методов улучшения моделей.

5.1 Общие идеи организации моделей

5.1.1 Бритва Оккама

Уже упомянутая выше парадигма простейшего объяснения как наиболее верного, также именуемая Бритвой Оккама, является полезным инструментом при попытке составить условную модель процесса. Наиболее она подходит для моделирования сложных физических и социологических процессов, модель которых изначально учитывает чрезмерно большое количество факторов.

Тем не менее, обратной стороной метода является попытка обобщить несвязанные между собой теории и явления. В некотором смысле античное представление о четырех элементах, составляющих всю материю, много легче современной квантовой теории, но тем не менее экспериментально оказывается неверной.

С другой стороны, до появления монументального труда Ньютона “Математические начала натуральной философии” и сопутствующих ему, считалось, что природа движения небесных тел, Солнца и метеоритов была абсолютно разной. Благодаря же этой работой стало очевидно, что все три явления можно описать несложной формулой “закона всемирного тяготения”.

5.1.2 Корреляция и каузация

Важной идеей о создании моделей, особенно на основе статистического анализа, является разграничение корреляции и каузации. Корреляциями называют соотношения одного или нескольких параметров объекта или процесса с другими. Каузацией же называют обусловленные какими-либо проверяемыми факторами корреляции.

Для определения уровня зависимости между двумя параметрами часто прибегают к коэффициентами корреляции:

, для линейных зависимостей,

, для ранжированных зависимостей,\

где , - средние двух выборок,

P, Q - количество наблюдений с большим и меньшим числом наблюдений, соответственно.

Тем не менее, не любая корреляция счиается каузацией. Классическим примером корреляции, не являющейся зависимостью, считается корреляция количества защищенных кандидатских диссертаций в области строительства и количества потребляемого сыра на душу населения.

Рисунок 7. Зависимость количества моцареллы и количества диссертаций в строительстве.



Для решения подобного противоречия в современных науках предлагают помимо выявленных корреляций предложить для них достаточное объяснение.

5.1.3 Воспроизводимость исследований и экспериментов

Современный научный консенсус предъявляет исследованиям, экспериментам, и, как следствие, к построенным на них моделям критерий воспроизводимости. Он заключается в возможности повторить данный эксперимент на другой выборке схожей мощности или поставить другой, дизайн которого должен привести к похожим результатам.

С одной стороны, подобный критерий позволяет не допустить попадания случайного результата с неучтенным фактором в среду, особенно научную. Простейшим примером конфликта в воспроизводимости можно считать эксперимент Христиана Гюйгенса по “левитации воды” в его самодельном устройстве по созданию вакуума, который не могли повторить другие исследователи. В своей книге автор многих концепций современного научного метода Карл Поппер пишет, “невоспроизводимые экспериментальные случаи не имеют пользы для современной науки”.

У такого критерия есть и немало критиков. В частности, часто критикуется попытка повторить эксперимент или исследование в сфере медицины, что может занять десятки лет, в то время, как пациенты вне статистической выборки не могут получить такое, хоть и экспериментальное, лечение, уже однажды опробованное. Тем не менее, стоит отметить, что необходимость повторения и проверки исследований позволяет сократить количество жертв, чего не произошло, например, с жертвами препарата Талидомид, ставшего важным прецедентом в области медицинского регулирования.



5.2 Методы аппроксимации

Методы аппроксимации позволяют выбрать некоторую такую функцию на основе конкретного числа точек. Конечно, стоит учесть, что данные необходимо “очистить” от выпадающих точек, случайных величин, учесть коэффициент погрешности. Простейшим методом аппроксимации можно считать линейную аппроксимацию - на графике это соединение соседних точек отрезком прямой. Такой метод подходит для черновой работы с данными, большим количеством точек и небольшой дисперсией.

5.2.1 Метод наименьших квадратов

Свою эффективность при аппроксимации доказал метод наименьших квадратов. Он сводится к построению такого полинома f(x), чтобы значение [fпрог(x)-fреал(x)]2 было минимальным. Таким образом, при дифференцировании по каждому коэффициенту 0.

5.2.2 Аппроксимация функции конечным рядом Фурье

Если некоторая функция f задана на отрезке [0, 2p] в (2N+1) диск­ретных точках, т.е. с шагом 2p/(2N+1), то она может быть представлена как

5.2.3 Аппроксимация сплайнами

Метод аппроксимации сплайнами широко используется в самых разных направлениях исследований, так как позволяет задать конкретные критерии точности, неразрывности, гладкости, уровня допустимого отклонения и так далее. Его можно разделить на две условные части: сглаживающий и интерполяционный.

Сглаживающий сплайн проходит между точками и аппроксимирует кривую между параметрами x и y до некоторой приемлемой кусочной функции, каждый член которой определен некоторой полиномической функцией, между некоторыми интервалами:

В случае с интерполяционным сплайном появляется дополнительное условие: на каждом интервале соответствующая полиномическая функция должна включать в себя точки, входящие в этот интервал:

,

а также условие совпадения i-1 производных в рассматриваемых точках:

.

Тем не менее, для решения этой задачи с помощью матриц часто добавляют условие “естественного сплайна” - вторая и последующие производные в краевых точках приравниваются к нулю, что не всегда соответствует действительности.



Выводы

математика корреляция каузация фурье

В данной работе были рассмотрены понятие математического моделирования, его история, основные этапы создания модели, особенности построения качественных, линейных количественных и нелинейных количественных моделей, а также указаны некоторые общие и математические принципы, позволяющие улучшить математическую модель.

Было уделено внимание формированию понятия математического моделирования и его практического применения. Среди этапов были выделены и рассмотрены в отдельности постановка задачи, сбор первичных данных, структуризация данных для анализа, построение модели, сбор дополнительных данных для проверки текущей модели, способы модификации модели и реализация модели.

В процессе классификации были сформированы две основные группы моделей: качественные, постулирующие наличие связи между параметром и рассматриваемым процессом или объектом, а также количественные, математическим языком выражающие эту связь с необходимыми коэффициентами, а также приведены примеры моделей растяжения пружины и теоретического свободного рынка для иллюстрации соответствующих видов моделей.

Среди общих методов улучшения моделей были рассмотрены бритва Оккама, разница между корреляцией и каузацией, а также воспроизводимость эксперимента как важные критерии научности и правильности модели.

Отделное внимание было уделено нескольким видам аппроксимации: линейной аппроксимации, методу наменьших квадратов, рядам Фурье и сплайнам.



Список источников

1. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. -- М.: Сов. энциклопедия, 1988

2. Боголюбов А.Н. - Основы математического моделирования - 2005

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. - Методы математического моделирования, автоматизация обработки наблюдений и их применения - 1986

4. Е.Л. Еремин, В.В. Еремина, М.С. Капитонова. Математическое и компьютерное моделирование

5. Клайв Дим - Принципы математического моделирования 2004

6. Ю.П. Иванилов Математические модели в экономике

7. Лоран, П. Ж. Аппроксимация и оптимизация. -- М.: Мир, 1975

Размещено на Allbest.ru

...