О геометрических построениях на поверхностях

(Рис.26)

Геометрическое место центров всех окружностей, которые касаются окружности К₁ґґ и проходят через точку Р, есть эллипс или гипербола, в зависимости от того, лежит ли Р внутри окружности Кґ₁ или в ее.

Центр окружности Кґ₁ и точка Р являются фокусами этих конических сечений; асимптоты гиперболы перпендикулярны к касательным, которые можно провести к окружности Кґ₁ из точки Р.

Каждая из данных трех окружностей может свестись и к одной точке или перейти в прямую. Геометрическое место центров окружностей, которые касаются прямой l и проходят через точку Р, есть парабола, имеющая прямую l своей директрисой, а фокус -- в точке Р.

Практика

№116

Пользуясь сферической линейкой, строим большие круги с полюсами в данных точках. Точка их пересечения(любая) будет полюсом искомого большого круга.

№117

Опустим из данной точки сферы А₁ перпендикуляр А₁А₂ к диаметру окружности большого круга. Пользуясь сферической линейкой, строим окружность большого круга с полюсом в центре сферы и проходящей через А₁ и А2.

№118

Пусть нам даны три точки сферы А,В и С, лежащие на одной прямой. Соединим эти точки отрезками АВ, ВС, АК. Отметим середины этих отрезков M,N, K и через эти точки проведем перпендикуляры. Они пересекутся в точке О.Эта точка равноудалена от А,В,С. Радиусом равным ОА, проведем окружность, она пройдёт через данные точки сферы. ОА- искомый радиус.

№119

Раствором циркуля, равным радиусу окружности сферы, чертим окружность с центом на окружности сферы(точка 1).Точку пересечения обозначим (2). меняя раствор циркуля из точки 2 строим окружность .Точку пересечения обозначим 3. Таким образом продолжаем делить окружность, пока разделим на 6 равных частей.

№120

Пусть нам задан угол АОВ по поверхности цилиндра. С помощью эластичной линейки на сторонах угла АОВ от вершины О отложим отрезки равной длины(ОЕ и ОВ и ОК). Измерим эластичной линейкой ЕВ и отложим отрезок ЕВ так, чтобы он пересекался с ОК в точке К. Угол ВОК- искомый.

Заключение

геометрия математический аксиома задача

Заканчивая изучение данного курса, естественно попытаться отдать себе отчет в объеме и характере изложенных в м сведений, представить себе, как и чем этот курс может помочь учителю математики в его практической работе в школе, уяснить, как связаны изученные вопросы с другими математическими дисциплинами.

Курс элементарной геометрии сет на себе следы многовекового эмпирического развития этой науки. В м переплетаются логический подход и наглядность. В школьных условиях роль логического подхода возрастает от класса к классу. В ходе изучения элементарной геометрии в педагогическом институте студент изучает вопросы, посредственно примыкающие к школьному курсу геометрии, на более высоком логическом уровне. Этим самым студент готовится к изучению «оснований геометрии», где в последовательной форме рассматриваются вопросы аксиоматического обоснования элементарной геометрии.

Вопросы измерения геометрических величин развиваются в курсе элементарной геометрии почти исключительно для прямолинейных отрезков, многоугольников и многогранников. Из других фигур рассматриваются лишь отдельные представители: окружность, круг, сфера, шар, круговой цилиндр, круговой конус и которые другие. Такая ограниченность круга рассматриваемых здесь фигур объясняется тем, что вычисление длин, площадей или объемов других фигур без привлечения приемов математического анализа слишком затруднительно. Изучив интегральное исчисление, студент получит значительно большие возможности для вычисления различных геометрических величин. Кроме этого, надо отметить еще, что само понятие меры геометрической фигуры уже в нашем веке было значительно обобщено.

В прошлом веке сложился взгляд на геометрию как на учение о преобразованиях и о свойствах фигур, сохраняющихся при тех или иных геометрических преобразованиях. Эта точка зрения получила в свое время отчетливое выражение в работах Ф. Клейна (1849-- 1925) и А. Кэли (1821-- 1895), которым удалось построить систему современной геометрии на основе теоретико-групповой классификации геометрических преобразований.

В этой системе оказывается возможным указать место элементарной геометрии. трудно проследить, что, помимо инверсии (изучение которой в курсе элементарной геометрии носит эпизодический характер), мы рассматривали, по существу, только преобразования подобия. Таким образом, элементарную геометрию можно понимать как геометрию группы преобразований подобия, то есть как учение о свойствах фигур, сохраняющихся при таких преобразованиях.

Еще с XVI века появились и стали быстро развиваться геометрические исследования о преобразованиях более общего характера, получивших впоследствии наименование аффинных и проективных преобразовании. Геометрические построения в настоящее время связаны посредственно с наиболее актуальными проблемами математики. Но в процессе их изучения усваиваются понятия и приобретаются которые навыки, имеющие значение и за пределами этого вопроса. Одним из широко распространенных в современной математике понятий является понятие алгоритма. Изучение геометрических по строениям является хорошим средством подготовки к усвоению этого понятия. Действительно, цель решения каждой геометрической за дачи на построение как раз и состоит в получении которого алгоритма. Разрешимость геометрической задачи на построение понимается именно как алгоритмическая разрешимость. Весьма поучительно рассмотрение задач, связанных с доказательством возможности выполнения какого-либо построения данными средствами, так как вопросы разрешимости той или иной задачи при тех или иных допущениях встречаются в самых различных разделах математики. Геометрические построения играют так же особую роль, как средство доказательства существования геометрической фигуры, обладающей указанными свойствами. Геометрические построения составляют также теоретическую основу практической графики.

Список используемой литературы

1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия, М., Просвещение, 1966.

2. Адлер А., Теория геометрических построений, М., Учпедгиз, 1940.

3. Атанасян Л. С. Геометрия: учебное пособие для студен-тов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2 / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. - М.: Просвещение, 1987.

4. Клековкин Г.А. Изображение геометрических фигур в параллельной проекции: учебное пособие для учащихся, Самара 2016.

5. Абул-Вафа ал-Бузджани. Книга о том, что обходимо знать ремесленнику из геометрических построений / Абу-л-Вафа ал-Бузджани / Пер. С.А. Красновой. В кн. «Физико-математические науки в странах Востока». М.: Наука, 1966.

Размещено на Allbest.ru