Математика как неотъемлемая часть авиации

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Математика как неотъемлемая часть авиации

Попов И.А.

Попов И.А., курсант курс, факультет авиационный Филиал ВУНЦВВС «ВВА» Россия, г. Сызрань Ерофеева Л.В., преподаватель математики кафедры «Математики и естественнонаучных дисциплин» Филиал ВУНЦ ВВС «ВВА» Россия, г. Сызрань

Аннотация: Статья рассматривает влияние математики на зарождение авиации, а так же вклад в решение проблем современной авиации. Данное исследование позволяет сделать вывод о том, что авиация совершенствуются, во многом - благодаря математическим достижениям, которые воплощаются в технические решения.

Ключевые слова: математика; авиация; конструирование; аппарат; математическая теория.

Abstract: The article examines the influence of mathematics on the birth of aviation, as well as its contribution to solving the problems of modern aviation. This study allows us to conclude that aviation is improving, largely due to mathematical advances that are embodied in technical solutions.

Keywords: mathematics; aviation; design; apparatus; mathematical theory.

где p - плотность воздуха, v - скорость движения крыла, а Г - так называемая циркуляция (некоторая величина, зависящая от формы профиля крыла). Со времён Н. Е. Жуковского в теоретической авиации применяется самый современный математический аппарат, причем задачи, возникшие при анализе практических проблем авиации, послужили основой для создания новых направлений математики.

Решение ряда ключевых проблем авиации связано с именами известных математиков. Возьмем, к примеру, проблему флаттера. Это явление было обнаружено в 30-х годах, когда стали строиться цельнометаллические самолеты со скоростью полета 50 - 80 м/с (200 - 300 км/ч). Оказалось, что при увеличении скорости в этом диапазоне при некотором критическом её значении возникала сильная вибрация самолета, в результате которой самолет часто разрушался в полете. Явление вибрации при высоких скоростях назвали флаттером, и тайной этого страшного для пилотов явления занимались авиаконструкторы многих стран. Решить проблему флаттера удалось советскому математику и механику М. В. Келдышу, который математически показал, что флаттер имеет резонансную природу, т. е. аналогичен эффекту резонанса, наблюдаемому при колебаниях упругой пружины с прикрепленной массой m и коэффициентом упругости k.

Полёт самолёта состоит из нескольких фаз: взлёта, набора высоты, крейсерского движения, разворотов, снижения, посадки. На каждом этапе самолётом необходимо управлять. Закрылок на крыле или руль высоты на хвостовом оперении - примеры органов управления. Система управления должна быть сконструирована так, чтобы простые движения пилота в кабине передавались и доходили до органов управления, вызывая соответствующие реакции. С другой стороны, система должна быть достаточно «умной», элементы её конструкции не должны выходить за границы безопасного режима.

Ещё одна задача - создание автопилота, способного управлять движением самолёта без вмешательства лётчика.

За все эти проблемы отвечает математическая теория автоматического управления самолётом, базирующаяся в основном на теории дифференциальных уравнений. С помощью этой же теории создаётся математическая модель пространственного движения самолёта, исследуются вопросы устойчивости полёта.

Мало создать самолёт с хорошими аэродинамическими данными, необходимо, чтобы он не разрушился в полёте, чтобы его ресурс (долголетие) был достаточно высок. За решение этой задачи отвечает наука, которая называется прочностью.

Методами прочности исследуются упругие и пластические деформации элементов конструкции самолёта, рост трещин в обшивке самолёта (в материале обшивки изначально присутствуют микротрещины, которые со временем могут расти), разрушение конструкции.

Математический арсенал для решения задач прочности включает классические и современные методы уравнений математической физики, дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, комплексного анализа, вычислительных разделов линейной алгебры.

Один из способов решения таких задач - численный. Часто численное решение задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений.

В применении математики к авиации важное место занимают дифференциальные уравнения. Объясняется это тем, что многие реальные процессы на основе соответствующих теоретических положений и законов просто и в полном объёме моделируются дифференциальными уравнениями и задачами для них (задача Коши, краевая задача, смешанная задача) [1, с. 126].

К примеру, применение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка можно использовать для определения траектории движения летательных аппаратов. Математической моделью задачи на определение времени движения ракеты до самой точки, учитывая сопротивление воздуха, является задача Коши для обычного дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Ярким примером применения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными к определению траектории движения является задача о погоне, когда один военный объект движется по прямой, а другой так, что его скорость всегда направлена на цель. Проблема построения кривой погони возникла при использовании управляемых ракет с целью достижения и поражения движущихся целей, а так же в космической навигации.

Задача на определение траектории движения самолета в пункт назначения, находится на одной параллели к западу от взлетной полосы при наличии ветра с юга, сводится к разрешению задачи Коши для однородного дифференциального уравнения первого порядка. Построенная математическая модель дает возможность проанализировать связь между скоростями движения самолета и ветра и соответствующей траекторией движения объекта, что особенно актуально для потребностей практики.

Ещё одним применением математики может служить её участие в создание тренажёров для имитации полётов. Вопрос имитации тесно связан с моделированием, поскольку именно от качества моделей, что используются в авиационных тренажерах, зависит непосредственно и качество самой имитации. Конечно, важным также является и выбор характеристик аппаратных средств. Однако имеющаяся номенклатура технических приборов для имитации, их технические характеристики и тенденции развития позволяют в полной мере обеспечить самых амбициозные запросы при создании авиационных тренажёров и тренажерных комплексов.

На сегодняшний день, к знаковому моделированию относят такой распространенный сегодня вид моделирования как математическое моделирование - моделирование, что выполняется средствами языка математическим и логики.

Для примера рассмотрим применение данного вида моделирования по решению задач моделирования критических режимов полёта вертолёта на вертолётном тренажёре. При этом, главной целью моделирования должно стать увеличение знаний о процессах, вызывающие возникновение критических режимов.

Критические режимы полета вертолёта условно можно разделить на режимы, которые проявляются на малых скоростях полета - непроизвольное снижение вертолёта, непроизвольный разворот вертолёта влево, попадание в вихревое кольцо, земной резонанс, и режимы, что характерны для больших скоростей - срывной подхват, срывной флаттер. Все они с той или иной стороной связанные с сменой характера обтекания несущего и рулевого винта при нарушении ограничений, что накладываются на процесс пилотирования.

В этом и заключается сложность моделирования указанных режимов на вертолётных тренажёрах.

Явления, связанные с обтеканием лопастей, что вращаются, являются такими же сложными, как и явления, что рассматриваются в любой аэродинамике. При моделировании полёта вертолёта необходимо учитывать то, что поток является трехмерным и нестационарным, необходимо учитывать зоны около звуковых скоростей и вязкость воздуха [3].

И на сегодняшний день, большое развитие получили методы математического моделирования обтекания вертолёта. Это объясняется, в первую очередь, их относительной дешевизной и безопасностью. К тому же, последние разработки в этом направлении свидетельствуют об их высокой перспективности.

Требования как к самолётам гражданской сектора, так и к военной авиации постоянно ужесточаются - экологические и экономические, по безопасности полётов и по комфорту пассажиров, по технологическому превосходству авиации потенциального противника. Авиация совершенствуются, во многом - благодаря математическим достижениям, которые воплощаются в технические решения.

1. Бугров, Я.С. Высшая математика в 3 т. Т.3 в 2 книгах. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 507 с.

2. Геворкян, П.С. Высшая математика. Основы математического анализа/ П.С. Геворкян. - М.: Физматлит, 2013. - 240 с.

3. Михеев С.В., Аникин В.А., Свириденко Ю.Н., Коломенский Д.С. Направления развития методов моделирования характеристик несущих винтов // Полет. - 2004. -№ 6. - с. 4-13.