Тригонометрические уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Набережночелнинский государственный педагогический университет»

(ФГБОУ ВО «НГПУ»)

Факультет математики и информатики

Кафедра математики, физики и методик их обучения

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тригонометрические уравнения

44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)профиль «Математика и Физика»

Руководитель

к.ф.м.н., доцент

Шакиров Р.Г

Обучающийся

Ахмадуллина И.И.

Номер группы: 721

Набережные Челны, 2021



Оглавление

Введение

Глава 1. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции

1.1 Основные тригонометрические формулы

1.2 Тригонометрические функции числового аргумента

1.3 Тригонометрические уравнения

Глава 2 Методика изучения тригонометрии в школьном курсе математики

2.1 Методика изучения числовой окружности как второй модели числового множества

2.2 Методика изучения основных тригонометрических функций

2.3 Методика изучения тригонометрических уравнений

Заключение

Использованная литература



Введение

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».

В настоящее время изучению тригонометрических функций и тригонометрических уравнений уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа.

Кроме того, большие трудности при изучении темы «Тригонометрические уравнения» в школьном курсе возникают из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

Объектом исследования является процесс изучения тригонометрических уравнений в курсе старшей школы.

Предмет исследования - изучение тригонометрических уравнений в курсе алгебры и начала анализа.

Таким образом, основной целью написания данной курсовой работы является изучение тригонометрических уравнений в курсе алгебры и математического анализа.

В соответствии с целью, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:

рассмотреть общие вопросы изучения тригонометрических функций в школьном курсе;

рассмотреть формирование понятия «тригонометрические уравнения»;

охарактеризовать основные понятия и формулы тригонометрии;

дать понятие решению тригонометрических уравнений;

рассмотреть рекомендации по решению тригонометрических уравнений;

изучить методы решения тригонометрических уравнений.

Структура курсовой работы определена логикой и последовательностью поставленных задач. Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.



Глава 1. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции

1.1 Основные тригонометрические формулы

Рассмотрим прямоугольную систему координат , у которой положительная полуось направлена вправо, а положительная полуось направлена вверх. Единичным вектором координатной оси называют вектор, имеющий длину 1, начало в точке и направленный вдоль положительной полуоси .

Единичной окружностью в тригонометрии называют окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат при условии, что

Рис. 1 Единичная окружность единичный вектор оси принят за начальное положение подвижного вектора и что направление поворота против часовой стрелки принято за положительное.

Рис. 1

Пусть подвижный вектор, совершив поворот от вектора до вектора , образует угол , радианная мера которого равна радиан. Точку единичной окружности назовем точкой, соответствующей углу (рис.1), или, коротко, точкой .

Заметим, что точка единичной окружности для любого целого числа совпадает с точкой , где - любое целое число.

Число, равное ординате точки единичной окружности, соответствующей углу , называют синусом угла и обозначают . Число, равное абсциссе точки единичной окружности, соответствующей углу , называют косинусом угла и обозначают .

Замечание. Для углов, радианная мера которого заключена между , приведенное определение синуса и косинуса угла совпадает с определением, известным из курса геометрии.

Из сказанного выше следует, что для любого угла :

существует синус этого угла и притом единственный;

существует косинус этого угла и притом единственный.

Поэтому часто говорят, что и есть функции угла .

Арксинус

Рассмотрим на координатной плоскости единичную окружность (рис.3). Если число таково, что , то прямая пересекает правую полуокружность единичной окружности в единственной

точке . При этом вектор образует с вектором единственный угол из промежутка , синус которого равен (см. рис. 3). Этот угол обозначают (читают: «арксинус »). Слово «арксинус» происходит от греческого слова - дуга. Имеется в виду дуга окружности, на которую опирается соответствующий центральный угол.

Рис. 2 - Единичная окружность



Арксинус числа есть угол из промежутка , синус которого равен : .

Подчеркнем, что для любого числа , такого, что:

, существует, и притом единственный, арксинус этого числа;

, арксинус этого числа не существует, поэтому запись для такого не имеет смысла.

Например, не имеют смысла записи так как

Из определения арксинуса следует, что если , то

.

Рис. 3 - Единичная окружность

Арккосинус. Рассмотрим на координатной плоскости единичную окружность (рис. 4). Если число таково, что , то прямая пресекает ее верхнюю полуокружность в единственной точке . При этом вектор образует с вектором единственный угол из промежутка , косинус которого равен (см. рис.3). Этот угол обозначают (читают «арккосинус »).

Арккосинус числа есть угол из промежутка , косинус которого равен : .

Подчеркнем, что для любого числа , такого, что:

, существует, и притом единственный, арккосинус этого числа;

2) , арккосинус этого числа не существует, поэтому запись для такого не имеет смысла.

Например, не имеют смысла записи и , так как .

Из определения арккосинуса следует, что если , то

Тангенс и котангенс угла

Число, равное отношению к , называют тангенсом угла и обозначают , т.е.

.

Тангенс угла определен для всех углов , за исключением тех, для которых . Поэтому в определении исключаются все углы

,

где - любое целое число.

Из определения следует, что для любого угла , не совпадающего ни с одним из углов

,



тангенс этого угла существует, и притом единственный. Поэтому часто говорят, что есть функция угла .

Число, равное отношению к , называют котангенсом угла и обозначают , т.е.

.

Котангенс угла определен для всех углов , за исключением тех, для которых . Поэтому в определении исключаются все углы

,

где - любое число.

Из определения следует, что для любого угла , не совпадающего ни с одним из углов , котангенс этого угла существует, и притом единственный. Поэтому часто говорят, что есть функция угла .

Арктангенс

Рассмотрим на координатной плоскости единичную окружность и ось тангенсов. Для любого действительного числа прямая пересекает ось тангенсов в единственной точке (рис. 4, а, б).

Рис. 4 - Единичная окружность

Прямая пересекает правую полуокружность в единственной точке . При этом вектор образует с вектором единственный угол из промежутка , тангенс которого равен (см. рис. 6). Этот угол обозначают (читают: «арктангенс a»).

Арккотангенс

Рассмотрим на координатной плоскости единичную окружность и ось котангенсов. Для любого действительного числа прямая

пересекает ось котангенсов в единственной точке (рис. 7, а, б).

Прямая пересекает верхнюю полуокружность в единственной точке . При этом вектор образует с вектором единственный угол из промежутка , котангенс которого равен . Этот угол обозначают (читают «арккотангенсa»).

Рис. 5 - Единичная окружность

Формулы, связывающие тригонометрические функции одного итого же аргумента: основное тригонометрическое тождество:

;

;

;

Формулы сложения углов:

;

;

;

.

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

;

;

;

;

Формулы двойного аргумента:

;

;

;



;

;

;

.

Формулы тройного аргумента

;

;

;

.

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

;

;

;

;

;

Некоторые значения тригонометрических функций



Таблица 1

1.2 Тригонометрические функции числового аргумента

Для любого действительного числа существует угол, радианная мера которого равна . Далее будем говорить короче: для любого числа существует угол в радиан. При этом не будут различаться число и угол в радиан.

Функцию называют периодической, если существует число , такое, что для любого из области определения функции числа также входят в область определения функции и выполняется равенство . Число называют периодом функции . Наименьший положительный период называют ее главным периодом.

Из данного определения следует, что для любого области определения функции справедливо равенство .

Действительно, функция определена в точке и поэтому

.

Функция

Если каждому действительному числу поставлено в соответствие число , равное синусу угла в радиан, то говорят, что этим определена функция , называемая синусом числового аргумента .

Областью определения функции является множество всех действительных чисел , областью изменения - отрезок .

Отметим некоторые свойства функции .

Функция нечетная.

Функция периодическая с главным периодом .

Функция непрерывная.

Функция на отрезке возрастает, а на отрезке убывает.

График функции называют синусоидой( Рис.6).

Рис. 6 - Синусоид

Функция

Если каждому действительному числу поставлено в соответствие число , равное косинусу угла в радиан, то говорят, что этим определена функция , называемая косинусом числового аргумента .

Областью определения функции является множество всех действительных чисел , областью изменения - отрезок .

Отметим некоторые свойства функции .

Функция четная.

Функция периодическая с главным периодом .

Функция непрерывная.

Функция на отрезке убывает, а на отрезке возрастает.

График функции называют косинусоидой.

Рис. 7 - Косинусоид

Функция

Если каждому действительному числу , отличному от , где - любое целое число, поставлено в соответствие число , равное тангенсу угла в радиан, то говорят, что этим определена функция , называемая тангенсом числового аргумента .

Областью определения функции является множество всех действительных чисел , отличных от , где , областью изменения - интервал .

Отметим некоторые свойства функции .

Функция нечетная.

Функция периодическая с главным периодом .

Функция непрерывна на интервале .

Функция возрастает на интервале .

График функции называют тангенсоидой. Так как функция не определена в точках , то тангенсоида имеет бесконечно много ветвей.

Рис.8 - Тангенсоид.

Функция

Если каждому действительному числу , отличному от , где , поставлено в соответствие число , равное котангенсу угла в радиан, то говорят, что этим определена функция , называемая котангенсом числового аргумента .

Областью определения функции является множество всех действительных чисел , отличных от , где , областью изменения - интервал .

Отметим некоторые свойства функции .

Функция нечетная.

Функция периодическая с главным периодом .

Функция непрерывна на интервале .

Функция убывает на интервале .

График функции называют котангенсоидой. Так как функция не определена в точках , то котангенсоида имеет бесконечно много ветвей.



Рис. 9 - Котангенсоид

График гармонического колебания

Тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой . Эту формулу называют законом (или уравнением) гармонических колебаний. Если, например, материальную точку, висящую на пружине, вывести из положения равновесия, то она начнет совершать вертикальные колебания, причем закон движения выражается указанной выше формулой, где t - время, а s- отклонение материальной точки от положения равновесия.

1.3 Тригонометрические уравнения

Решение простейших тригонометрических уравнений

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида - действительное число.

Уравнение , где имеет решение:

, или



Уравнение , где имеет решение:

Уравнение , где имеет решение:

или

Уравнение , где имеет решение:

или

Частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

; ;

;

;

;

; ;

;

;;

Два основных метода решения тригонометрических уравнений

Для решения тригонометрических уравнений чаще используются два метода: введение новой переменной и разложение на множители.

Рассмотрим пример на использование метода введения новой переменной при решении тригонометрических уравнений.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Поскольку , есть смысл ввести новую

переменную . Это позволит переписать уравнение в более простом виде: .

Далее, получаем

Возвращаясь к переменной , получаем два уравнения: или . Из первого уравнения находим . Из второго уравнения

находим .

Ответ:.

Теперь рассмотрим второй метод решения тригонометрических уравнений - метод разложения на множители.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Задача сводится к решению совокупности уравнений .

Из этих уравнений находим:

.

Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение вида называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Уравнение вида называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Дано уравнение , где .

Разделив обе части уравнения почленно на , получим

,

т.е. В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению .

Алгоритм решения уравнения :

Посмотреть, есть ли в уравнении член .

Если член в уравнении содержится (т.е. ), то уравнение решается делением обеих его частей на и последующим введением новой переменной .

Если член в уравнении не содержится (т.е. ), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят .



Глава 2. Методика изучения тригонометрии в школьном курсе математики

2.1 Методика изучения числовой окружности, как второй модели числового множества

Пусть дана окружность радиусом 1 и пусть на ней отмечена точка - правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу точку окружности по следующему правилу:

Рис. 10 - Числовая окружность.

если , то, двигаясь из точки в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной ; конец этого пути и будет искомой точкой (рис.1);

если , то, двигаясь из точки в

направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной ; конец этого пути и будет искомой точкой ;

числу поставим в соответствие точку .

Единичную окружность с установленным соответствием назовем числовой окружностью.

Это вторая геометрическая модель для множества действительных чисел. Первую модель - числовую прямую - учащиеся уже знают. Есть аналогия: для числовой прямой правило соответствия (от числа к точке) почти дословно такое же. Но есть и принципиальное отличие - источник основных трудностей в работе с числовой окружностью: на прямой каждая точка соответствует единственному числу, на окружности это не так. Если точка окружности соответствует числу , то она соответствует и всем числам вида , где - длина единичной окружности, а - целое число, показывающее количество полных обходов окружности в ту или иную сторону.

Этот момент труден для учащихся. Следует предложить им для понимания сути дела реальную задачу:

Беговая дорожка стадиона имеет длину 400 м, бегун находится в 100 м от места старта. Какой путь он пробежал? Если он только начал бег, то пробежал 100 м; если успел пробежать один круг, то - , два круга - ; если успел пробежать кругов, то путь составит . Вот теперь можно сопоставить полученный результат с выражением .

Пример 1. Каким числам соответствует точка числовой окружности (рис.2)

Решение. Так как длина всей окружности , то длина ее четверти равна , а потому - всем числам вида .

Аналогично устанавливается, каким числам соответствуют точки на рис.

Дуги называют соответственно первой, второй, третьей, четвертой четвертями числовой окружности.

Вся школьная тригонометрия строится на модели числовой окружности. Опыт показывает, что недоработки с этой моделью, слишком поспешное введение тригонометрических функций не позволяют создать надежный фундамент для успешного усвоения материала. Следовательно, не нужно торопиться, а отвести некоторое время на рассмотрение следующих пяти различных типов задач с числовой окружностью.

2.2 Методика изучения основных тригонометрических функций

Рис. 11 - Числовая окружность

Пусть числу соответствует точка числовой окружности. Тогда ее абсцисса называется косинусом числа и обозначается , а ее ордината называется синусом числа и обозначается . (рис.2). Из этого определения сразу можно установить знаки синуса и косинуса по четвертям: для синуса , для косинуса . Посвящать этому целый урок (как это принято) вряд ли целесообразно. Не следует заставлять школьников запоминать эти знаки: всякое механическое запоминание, заучивание - это насильственный прием, которому учащиеся, естественно, противятся. Прибегать к подобному приему можно лишь в самых исключительных случаях.

С первых уроков желательно включать новые понятия в разнообразную систему упражнений. Сделаем ее набросок.

Пример 2. Определить знаки чисел

Решение. Отметив на числовой окружности точки 3 и 4 (рис.14),

делаем вывод, что

При желании задание можно усложнить, например, так: определить знак произведения

Пример 3. Какое из значений больше: или ?

Решение. Отметим на числовой окружности точки 1 и 2 (см. рис.5). Точка 1 принадлежит первой четверти и удалена от точки на расстоянии примерно 0,57. Точка 2 принадлежит второй четверти и удалена от той же точки по окружности на расстояние примерно 0,43, т.е. она находится ближе к точке . Значит, точка 2 расположена выше, чем точка 1, а потому ее ордината больше, т.е.

На первых уроках тригонометрии решение уравнений не должно являться самоцелью (хотя и это важно). Этот процесс пока выполняет роль средства для усвоения главного: синус - ордината, косинус - абсцисса. Тема «Простейшие тригонометрические уравнения» фактически полностью подготовлена в предыдущем параграфе исследования. Речь, правда, идет пока не о любых простейших тригонометрических уравнениях, а только об уравнениях вида

Заметим, что из «идейных соображений» полезно уже здесь предложить школьникам решить уравнения вида или .

Действуя по выработанному алгоритму, учащиеся строят прямую для первого уравнения и - для второго уравнения и находят на окружности по паре точек, служащих геометрическими образами решений уравнения. Но здесь они сталкиваются с проблемой: каким числам соответствуют найденные точки - неизвестно, на двух стандартных макетах их нет. Учащимся нужно сообщить, что к этой проблеме придется вернуться позднее. На наш взгляд, в этом случае будут соблюдены два основных критерия проблемного обучения: 1) проблема должна появиться перед учениками (а не перед учителем или автором учебника) естественным путем, причем необходимость ее решения они должны осознать сами и без принуждения; 2) решение проблемы должно

Рис. 12 - Числовая окружность быть не сиюминутным (что характерно для проблемных ситуаций), а отсроченным - проблема должна «вылежаться»

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. С помощью того же рисунка 3 получаем геометрическое решение неравенства - дуга, лежащая ниже хорды . При движении по выбранной дуге в положительном направлении начальной точкой является точка , конечной - точка , значит, схема для аналитической записи ответа такова: .

Рис. 13 - Числовая прямая



Чтобы правильно записать ответ, «выпрямим» дугу (рис.4). Точка соответствует числу , а точка - числу , точка - отрицательному числу (это можно установить по второму макету, см. рис.4). Значит, имеем: - «ядро» ответа и - окончательный ответ.

Самое трудное в тригонометрических неравенствах - аналитическая запись ответа в тех случаях, когда дуга, которая служит геометрическим решением неравенства, содержит внутри себя точку - начало отсчета на числовой окружности (правый конец горизонтального диаметра). В таких случаях во избежание ошибок начальную точку дуги нужно характеризовать отрицательным числом (идя как бы по первой отрицательной окружности), а конечную точку дуги характеризовать как обычно - с помощью одного из двух основных макетов.

Еще один совет: выделить «ядро» ответа, чтобы убедиться в непротиворечивости записи, т.е. в том, что число, содержащееся в его левой части двойного неравенства, меньше числа, содержащегося в его правой части.

Пример 5. Вычислить .

Решение.1-й способ:

.

Методика изучения функций

Заметим, что пока мы избегали обозначений типа а использовали обозначения . Это не случайно - учащиеся сначала должны привыкнуть к новым названиям для абсциссы и ординаты точки числовой окружности . Рассматривая же синус и косинус как функции, уместнее перейти к обычным обозначениям.

Итак: функция и ее свойства.

Область определения: .

, т.е. - период функции.

Значит, на любом промежутке оси длиной можно построить ветвь графика, а затем, сдвигая эту ветвь по оси на получить весь график. В качестве такого промежутка возьмем .

, т.е. - нечетная функция. Значит, ее график симметричен относительно начала координат.

Построение графика функции осуществляется в три этапа:

по точкам - на отрезке (рис.5, а);

на отрезке с использованием симметрии относительно начала координат (рис.5, б);

весь график - с использованием периодичности функции (рис.5, в).

Анализируя график, несложно выделить промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума. Можно отметить и такое свойство функции , как ее непрерывность, не давая пока точного определения, а используя наглядно-интуитивное представление о непрерывности как о возможности начертить график функции, не отрывая карандаша из бумаги.

По той же схеме проводится работа с функцией .

Рис. 14 - Графики функций



Рис. 15 - График функции

Графическое решение уравнений и неравенств также полезно демонстрировать ученикам. На наш взгляд, примеры типа: «решить уравнение (ответ: x, рис.6)» должны относиться к обязательному уровню. При желании можно добраться и до эффективных примеров, вносящих вклад в эстетическое воспитание учащихся средствами математики. Вот один из них (достаточно сложный).

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет два корня: (рис.7).

Рис. 16 - График функции

Пример 7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Ответ:.



Рис. 17 - График функции

Примеры подобного рода, как мы отметили выше, ценны для формирования навыков чтения графиков, для подготовки к последующему изучению темы «Наибольшие и наименьшие значения величин», наконец просто для разнообразия сюжетов. И не следует забывать еще о двух направлениях общей концепции изучения функций в школе: о функциональной символике и о чтении графика.

Методика изучения функций

Изучение этих функций желательно провести по тому же плану, что и изучение функций .

Отсюда сразу определяются знаки по четвертям: .

Далее можно предложить учащимся примеры следующих типов:

вычислить определить знак числа , - а затем перейти к свойствам

Свойство 1.

Доказательство.

Свойство 2.

Доказательство.

Так же, как для синуса и косинуса, целесообразно включить эти свойства в систему упражнений.

Пример 8. Вычислить

Решение.

После введения определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса появляются и другие сюжеты. К ним относятся рутинные упражнения, связанные с использованием основного тригонометрического тождества, которое получается сразу при введении определений синуса и косинуса - ведь это всего-навсего иная форма уравнения единичной окружности

Есть и более содержательные упражнения.

Примеры 9. Решить уравнение

Решение. Построив графики функций и (рис.18), заметим, что «главная ветвь» тангенса пересекает прямую в точке с абсциссой . Другие точка пересечения имеют соответственно абсциссы

и т.д. Следовательно, .



Рис. 18 - График функции

Пример 10. Решить неравенство .

Решение. Построив графики функций и (рис.10), заметим, что «главная ветвь» котангенса лежит ниже прямой на промежутке .

Используя периодичность, получаем ответ: .

Рис. 19 - График функции

Методика изучения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса числа

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс - это обратные тригонометрические функции. Для практических приложений надо дать содержательное истолкование записей . Приведем эти истолкования. 1) Если , то - это дуга (угол), синус которой равен и которая заключена в пределах от :

.

2) Если , то - это дуга (угол), косинус которой равен и которая заключена в пределах от до :

.

- это дуга (угол), тангенс которой равен и которая заключена в пределах от :

.

- это дуга (угол), котангенс которой равен и которая заключена в пределах от до :

.

В большинстве случае в школьном курсе математики сверх этих четырех положений ничего не рассматривают. Однако полезны существенные дополнения чисто методического плана.

Первое дополнение - геометрическое истолкование и на числовой окружности (рис.19). Это позволит сразу включить в систему упражнений простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Рис. 20 - Числовая окружность

Пример 11. Решить уравнение .

Решение. На числовой окружности имеются две точки с ординатой - это точки и (рис.35). Так как , то точка соответствует всем числам вида . Так как

,

то точка соответствует

всем числам вида .

Ответ:.

Третье дополнение - полезно показать учащимся хотя бы один содержательный пример на преобразование обратных тригонометрических выражений, поскольку здесь речь фактически идет о ранее изученных сюжетах, связанных с преобразованием тригонометрических выражений, но сформулированных на новом языке, в виде другой математической модели.

2.3 Методика изучения тригонометрических уравнений

В данном параграфе раскроем специфику использования при решении тригонометрических уравнений трех общих методов решения уравнений: 1) метода разложения на множители, 2) метода введения новых переменных и 3) функционально графического метода. Рассмотрим довольно трудный, но принципиальный как с методической, так и с технической точек зрения вопрос об отборе корней в тригонометрических уравнениях. Выделим вкратце методические особенности решения систем тригонометрических уравнений.

Простейшие тригонометрические уравнения

Во всех учебниках А.Г. Мордковича из основных содержательно-методических линий в качестве приоритетной выбрана функционально-графическая линия. Это выражается прежде всего в том, что какой бы класс функций, уравнений, выражений ни изучался, построение материала практически всегда осуществляется по жесткой схеме: функция - уравнения - преобразования.

По мнению А.Г. Мордковича целесообразнее сначала изучить «чистые модели» (таковыми в математике являются основные элементарные функции), а уж потом переходить к изучению «навороченных моделей» (таковыми в математике являются сложные выражения, которые надо упрощать, используя формульный аппарат). А как обстоит дело в тригонометрических уравнениях? Примерно так же: сначала надо разобраться с «чистыми моделями», т.е. с простейшими тригонометрическими уравнениями и уравнениями, которые сводятся к простейшим с помощью алгебраических приемов, и только потом переходить к «навороченным моделям», т.е. к уравнениям, которые надо сначала долго и упорно «раскручивать», используя рутинный аппарат формул. Обычная методическая ошибка в изучении тригонометрии в школе в последние годы заключается в следующем: школьникам не дают возможности разобраться со спецификой тригонометрических уравнений - простейших уравнений типа

.

А ведь в этих уравнениях заложено много новых дидактических компонентов, каждый из которых требует внимания, уважительного отношения, а значит, и времени. Вот эти компоненты.

До сих пор при решении уравнений школьникам встречался лишь случай конечного множества корней. Теперь же уравнение имеет бесконечно много корней. Надо это воспринять и прочувствовать.

Странный (для школьников) «хвост» в записи корней: то более того, само наличие параметра уже должно насторожить и учителя, и ученика. Мы же вместо осмысления ситуации заставляем детей просто писать каждый раз . «Это, кстати, не соответствует четкости и организованности математиков, которые, как правило, о чем-то договариваются раз и навсегда и обычно соблюдают эту договоренность. Так вот, математики договорились, что в записи корней простейшего тригонометрического уравнения параметр всегда принимает любые целочисленные значения, и практически никогда этого явно не пишут (за исключением особо ответственных случаев - на экзаменах или контрольных работах)» [9, с.20].

Требуют специального внимания входящие в состав формул корней обратные тригонометрические функции - это тоже отдельный дидактический компонент.

Привыкнуть надо и к типа - это для учащихся далеко не просто.

Научив школьников решать уравнения вида учитель может заметить, как тяжело им даются уравнения вида или .

Весьма трудным в методическом плане является вопрос об отборе корней в тригонометрических уравнениях. В основном, отбору корней учат только в конце изучения раздела, посвященного тригонометрическим уравнениям. Это - методическая ошибка. Учить отбору корней надо именно на простейших уравнениях, заложив соответствующие сюжеты в систему упражнений. Задачи, связанные с отбором корней, просто бесценны для осознания структуры формулы корней, для понимания роли параметра в этой формуле. При этом полезно показать школьникам оба известных приема: перебор по параметру и решение двойного неравенства.

Итак, в теме «Тригонометрические уравнения», которая предшествует изучению формул тригонометрии, предлагается изучать только то, что даст возможность школьникам почувствовать именно специфику тригонометрических уравнений. Перечень составляют: 1) простейшие уравнения - отыскание всех решений и нахождение корней, принадлежащих заданному промежутку; 2) уравнения, при решении которых используется метод введения новой переменной: однородные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям с помощью основного тригонометрического тождества, например (положив , получим и т.д.); 3) аналогичные тригонометрические неравенства.

Метод разложения на множители

Успешное применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений зависит от удачного выбора той или иной формулы из достаточно обширного списка формул тригонометрии. Можно ли здесь предложить какие-либо полезные советы? Можно.

Тригонометрические преобразования во многих случаях подчиняются трем «законам»:

«1-й закон»: «увидел сумму - делай произведение» (речь идет о формулах для преобразований сумм в произведения); «2-й закон»: «увидел произведение - делай сумму» (речь идет о формулах для преобразования произведений в суммы); «3-й закон»: «увидел квадрат - понижай степень» (речь идет о формулах

Если мы не знаем, за что «зацепиться», с чего начать преобразование тригонометрического выражения, надо начинать с одного из этих «законов», и в большинстве случаев (по крайней мере, на школьном уровне) все пройдет удачно.

Пример 12. Решить уравнение

.

Решение. В левой части уравнения 4 раза применяем «3-й закон»:

,

.

Теперь в левой части уравнения 2 раза применим «1-й закон»:

.

Далее,

.

Остается рассмотреть три простых уравнения:

Из этих уравнений соответственно находим:

Можно заметить, что третья серия включает в себя первую целиком.

Ответ:

Метод введения новых переменных

Пример 13. Решить уравнение

Решение.

Имеем последовательно:

Ни , ни за скобки вынести нельзя, значит, в этом однородном уравнении 3-й степени можно (без потери корней) осуществить почленное деление на , что приводит к уравнению

Положив , получим:

Значит, либо ,

либо , либо

Ответ:

Функционально-графический метод

Данный метод связан либо с построением графиков функций , либо с использованием каких-либо свойств этих функций. В тригонометрических уравнениях это выглядит достаточно красиво.



Пример 14. Решить уравнение

(1)

Решение. Так как , а на промежутке функция возрастает, то , т.е.

. (2)

Значит, правая часть уравнения (1) должна быть положительной. Более того, поскольку , получаем

(3)

Сопоставляя неравенства (2) и (3), приходим к системе

Первое уравнение системы обращается в верное равенство только при

. Поскольку это значение удовлетворяет и второму уравнению системы, то - единственный корень уравнения (1).

Ответ: - 2.

Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Этот довольно трудный в методическом отношении вопрос в школьных учебниках решается самым простым образом - почти не рассматривается. Но, по большому счету, от него никуда не уйти: в процессе решения тригонометрических уравнений могло быть допущено расширение области определения или мог быть использован метод возведения обеих частей уравнения в четную степень. Значит, могли появиться посторонние корни, поэтому надо из найденных решений отобрать те, что на самом деле являются корнями заданного уравнения. Наконец, очень полезен как в дидактическом, так и в математическом плане сюжет, в последнее время достаточно популярный (например, на ЕГЭ): из корней данного тригонометрического уравнения отобрать те, которые принадлежат данному промежутку.

Пример 15. Найти корни заданного уравнения, принадлежащие заданному промежутку:

тригонометрический множество уравнение числовой

;

;

Решение. 1) . Осуществим «перебор по параметру».

Если

.

Если , т.е. или

.

Если



Оба этих значения больше, чем , т.е. не принадлежат заданному отрезку, тем более не принадлежат заданному отрезку те значения , которые получаются при .

Если из этих значений .

Если то получаются точки левее, чем -, т.е. не принадлежащие заданному отрезку.

Ответ:.

. Осуществим «перебор по параметру».

Если (следует помнить в таких случаях, что

).

Если .

Если .

Если (здесь приходится считать: .

Если .

Аналогично не подходят те значения , которые получаются при . Ответ:.

3) Здесь приходит «наложение трудностей»: и значение синуса

«неудобное» , и промежуток «неудобен» (легче работать с долями числа ). Имеем: Оценим значение . Заметим, что

,

значит, .

Во всяком случае,

.

Теперь можно делать «перебор по параметру».

Если . Из (1) следует, что .

Если Из (1) следует, что .

Если то значит, не принадлежит .

Тем более не подойдут те значения , которые получаются при а также при .

Ответ:.

Системы тригонометрических уравнений

При решении систем тригонометрических уравнений применяются обычные приемы решения систем уравнений (подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных). Однако имеются две тонкости, две специфические особенности, присущие именно указанному классу задач. Мы рассмотрим их на конкретном примере.

Пример 16. Решить систему уравнений

Решение. Заменив первое уравнение суммой, а второе - разностью обоих уравнений, получим систему, равносильную данной:

т.е.

Из первого уравнения находим: . Из второго уравнения, если пользоваться общей формулой, получим:

, но целесообразно при решении систем не применять общие формулы (типа ), а записывать решения с помощью числовой окружности (это - мы упоминали выше). В нашем случае получаем

.

При решении систем тригонометрических уравнений существенным является принцип использования различных обозначений () параметра в записи первого и второго уравнений системы. Иными словами, если в записи решения первого уравнения системы параметр обозначен буквой , то в записи решения второго уравнения системы эту букву в качестве параметра использовать уже нельзя - в нашем примере мы для этой цели использовали букву (это - вторая из двух специфических особенностей).

А теперь доведем решение системы до конца. Имеем:

Из первой системы находим:

Из второй системы находим:

Ответ:



Заключение

Важным аспектом является изучение тригонометрии - как автономной ветви математики. Учение о тригонометрических функциях имеет широкое применение в практике, при изучении множества физических процессов, в промышленности, и даже в медицине.

В последние годы тригонометрический материал стал постепенно «выжиматься» из основной и старшей школы. Одновременно с этим он традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад, отбором математически одарённых учащихся, а уж на ЕГЭ он имеет место «от А - до С», поскольку чрезвычайно удобен для усложнения.

Другими словами, тригонометрический материал на практике всё более обретает характер селективного инструмента отбора. Соответственно возрастает потребность в хорошей организации обучения этому разделу.

Изучение тригонометрических уравнений позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы.

Учащихся демонстрируют теоретические и практические знания о видах тригонометрических уравнений; умение решения разными методами тригонометрические уравнения. Умеют использовать элементы причинно-следственного и структурно-функционального анализа.

В проделанной работе была изучена история тригонометрии, рассмотрены общие вопросы изучения тригонометрических функций в школьном курсе, формирование понятия «тригонометрических уравнений», охарактеризованы основные понятия формул тригонометрии, дано понятие решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, а так же методы решения тригонометрических уравнений.

Таким образом, все поставленные задачи были решены, и тем самым, цель достигнута.

Данная работа может быть использована в учебном процессе учителями математики общеобразовательных школ, а также старшеклассниками при подготовке к ЕГЭ.



Использованная литература

1. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 10 класс. Учебник для углубленного изучения математики в общеобразовательных учреждениях, Издательство Мнемозина, 13-е изд. стереотипное, 2016. - 336с.

2. Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л. Тригонометрия, М.: МЦНМО, 2015.-7-16 с.

3. Захарова, И. Г. Информационные технологии в образовании: учебное пособие для студ. пед. учеб. заведений/ И. Г. Захарова,- М.: Издательский центр «Академия», 2017. - 192 с.

4. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ)//Математика в школе.№3, С.18-27.

5. А.Н. Колмагорова Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, 17-е изд. - М.: Просвещение,

6. 2014. - 384 с.

7. Королев С.В. Тригонометрия на экзамене по математике, изд.

8. Экзамен, 2015. - 254 с.

9. Марасанов А.Н. О методологическом подходе в обучении тригонометрии/ Н.И. Попов, А.Н. Марасанов// Знание и понимание. Умение. -2015. - №4. - 139-141 с.

10. Марасанов А.Н. Тригонометрия: учебное пособие, 2-е изд., испр и доп. (Н.И. Попов, А.Н. Марасанов.-Йошкар-Ола; Мар. гос. Ун-т, 2009.-114с.) 9. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Тригонометрия. 10 класс, М.: Просвещение, 2015. - 61 с.

11. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. Часть 1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений(базовый уровень). - 10-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2012. - 399 с.:ил.

12. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. Часть 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений(базовый уровень), - 10-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2012. - 399 с.:ил.

13. Мордкович А.Г. Беседа с учителями математики: Учеб.метод.пособие.-2-е изд.,доп. и перераб.-М.:ООО «Издательский дом ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство Мир и Образование» 2005.-336с.:ил.

14. Мордкович А.Г.,И.М. Смирнова. Математика-10 (базовый уровень). - 8-е изд., стер. - М.: 2013. - 431 с.

15. Мирошин В. Отбор корней втригонометрических

16. уравнениях.//Математика. Приложение к газете «Первое сентября» №17, 2016г.

17. Никольский М.К. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10 класса общеобразовательных учреждений. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 430 с.8

18. Просветов Г.И. Тригонометрия. Задачи и решения, Альфа-Пресс, 2010. - 72 с.

19. Решетников Н.Н. Тригонометрия в школе: М. Педагогический университет «Первое сентября», 2016, лк 1.

20. Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы решения тригонометрических уравнений//Математика в школе. 2014. №1. С.24-26.

21. Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях//Математика в школе. 2014. №1. С.20-24.

22. Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. Изд. «МЦНМО, Петроглиф,

23. Виктория плюс», 2015. - 752 с.

Размещено на Allbest.ru

...