Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Минобрнауки России

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

Геологический факультет

Кафедра общей геологии и полезных ископаемых

Специальность 21.03.01 - «Нефтегазовое дело»

Реферат

на тему:

Координатное и инвариантное определения дивергенции векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса. Физический смысл дивергенции

Работу выполнил: Айткулов П.А.

Студент 3 курса 331 группы

Саратов 2022

Оглавление

• Введение
• 1. Координатное и инвариантное определения дивергенции векторного поля
• 1.1 Скалярные и векторные поля
• 1.2 Координатное определение дивергенции векторного поля
• 1.3 Инвариантное определение дивергенции векторного поля
• 2. Теорема Остроградского-Гаусса
• 3. Физический смысл дивергенции
• Заключение
• Список используемых источников


Введение

При решении инженерных задач возникает потребность исследовать структуру физического поля и его воздействие на материальные объекты. В частности, при создании машин и аппаратов пищевой промышленности требуется исследовать движение жидкостей и газов в каналах и резервуарах. Такие потоки характеризуются физическими полями. В общем случае физическое поле представляет собой ту или иную характеристику физической среды, заполняющей область пространства, в которой происходят определенные процессы.

Физика в своем историческом развитии постепенно превратилась из науки описательной в науку точную. Для характеристики различных явлений и процессов, происходящих в природе и технике, физики все шире используют математические методы, или, как принято говорить, соответствующий математический аппарат. Для этой цели пришлось прежде всего ввести меру каждого физического свойства. Пока физики имели дело с простейшими свойствами тел, в качестве меры каждого из них можно было ограничиться скалярными величинами, обычно показывающими, во сколько раз мера данного свойства рассматриваемого тела больше некоторого единичного масштаба. Так были введены такие скалярные величины, как длина, площадь, объем, масса, время, температура, электрический заряд, энергия и т.п.

Поля бывают скалярные и векторные. Каждое из них в свою очередь может быть стационарным (если физическая величина в каждой точке области со временем не меняется) или нестационарным. Введение понятия поля в физике сыграло такую же прогрессивную роль, как в свое время появление в математике переменной величины.

Скалярным полям соответствуют одномерные величины, измеряемые по одной шкале. Примеры таких полей: поля температур и давлений в земной или иной атмосфере, поля гравитационного и электрического потенциала и т.п.

Векторным полям отвечают многомерные величины. Таковы силовые поля (гравитационное, электрическое и пр.), поле скоростей жидкости или газа, поля градиентов температуры и концентрации химического компонента. Электромагнитное поле измеряется двумя векторными величинами: электрической и магнитной индукцией. Физической средой во всех случаях является вещество или вакуум, которые заполняют некоторую область пространства.

Здесь рассматриваются математические модели физических полей - скалярные и векторные функции координат и времени. Функцию поля полагаем непрерывной, более того, дважды непрерывно дифференцируемой всюду в области определения, за исключением отдельных точек, линий и поверхностей. Эти исключительные точечные множества называются особенностями математического поля. 6 Функция поля считается известной. Основное внимание уделим стационарным полям, которые, по определению, не зависят от времени. Как это обычно при математическом подходе, от размерностей физических величин абстрагируемся, исследуя безразмерные функции безразмерных аргументов. Основными инструментами исследования скалярного поля являются поверхности уровня, градиент и производная по направлению. В механике известен принцип, по которому всякое сложное движение можно представить в виде суммы двух движений - поступательного и вращательного вокруг некоторого, в общем, подвижного мгновенного центра.

Этот принцип имеет своеобразное отражение в теории векторного поля. Так, например, в поле линейных скоростей жидкости поступательное движение среды от источника или к стоку характеризуется дивергенцией линейной скорости жидких частиц (расходимостью линий тока), при этом дивергенция является скалярной величиной. Вращательное движение среды задается вектором угловой скорости жидкой частицы, который, будучи умножен на два, дает так называемый ротор поля. Понятия дивергенции и ротора связаны с прочими основными понятиями теории векторного поля, к которым, прежде всего, относятся работа силового поля, циркуляция вектора по замкнутому контуру и поток вектора через поверхность. Эта связь осуществляется посредством формул Гаусса - Остроградского и Стокса.

1. Координатное и инвариантное определения дивергенции векторного поля

1.1 Скалярные и векторные поля

Множество Е точек рассматриваемого пространства, совместно с приписанными этим точкам числами, называется скалярным полем. Скалярным полем часто называют и саму функцию F(M), породившую это поле на точечном множестве Е. Если Е - множество точек на плоскости, то скалярное поле называется плоским; если же Е - множество точек в трехмерном пространстве, то поле называется пространственным.

Для пространственного скалярного поля F(M) = F(x,y,z) уравнение F(x,y,z) = С с переменным параметром С определяет семейство поверхностей уровня, т.е. семейство поверхностей во всех точках каждой из которых скалярное поле F(М) имеет одно и тоже значение. Поверхности уровня могут вырождаться в линии и точки. Для сферически симметричного поля, т.е. такого, что значение F(М) зависит только от расстояния точки М до некоторой фиксированной точки N, любая сфера с центром в точке N является поверхностью уровня. Если F(М) = const во всей области Е, то множество точек, удовлетворяющих уравнению F(x,y,z) = С, либо пусто, либо совпадает со всей областью Е.

В науке и технике, наряду со скалярными функциями, широко используются векторные функции нескольких переменных. Такие функции принято называть векторными полями. Примеры векторных полей: силовое (гравитационное) поле Земли и других космических объектов, поле скоростей жидкости или газа в каналах и аппаратах, электрические и электромагнитные поля. Векторная функция здесь в общем случае зависит от четырех переменных: трех пространственных координат x, y, z и времени ф, а для стационарных полей - только от x, y, z.

1.2 Координатное определение дивергенции векторного поля

Градиент скалярного поля u(M) = u(x,y,z) определяется равенством

В математической теории поля широко используют символическое выражение, обозначаемое ("набла"):

,

напоминающее по форме вектор, разложенный по базисным ортам , , , где вместо координат вектора записаны операторы дифференцирования

Это выражение называют векторным дифференциальным оператором или оператором Гамильтона. Если каждой точке М данной области Е соответствует определенный вектор (M), то говорят, что в области Е задано векторное поле. В декартовой системе координат векторное поле (M) задается тремя функциями P, Q, R, определенными в области Е

Здесь и в дальнейшем будем предполагать, что эти функции во всей области непрерывны вместе с частными производными. Для плоского векторного поля:

Векторной линией данного поля (M) называют такую линию ?, в каждой точке которой вектор (M) имеет направление касательной к этой линии. Через каждую точку векторного поля проходит (при условии, что | (M)| ? 0) одна векторная линия. Совокупность всех векторных линий определяется системой дифференциальных уравнений:

Векторные линии характеризуют векторные поля геометрически и дают известную информацию о структуре этого поля. Так, если (M) - стационарное поле скоростей текущей жидкости, то в этом поле векторные линии, очевидно, будут являться траекториями частиц жидкости; называются они в таком случае линиями тока. В векторном поле (M) = grad F(M) векторные линии нормальны в каждой точке поверхностям уровня F(x,y,z) = С; вдоль этих линий функция F(M) изменяется быстрее всего. В случае плоского векторного поля семейство векторных линий определяется уравнением;

1.3 Инвариантное определение дивергенции векторного поля

Дивергенция - дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки. Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учётом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции: дивергенция - это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность достаточно малой (в условиях конкретной задачи) окрестности каждой внутренней точки области определения поля. Оператор дивергенции, прикрепленный к полю F, обозначают как div F или F.

Определение дивергенции выглядит так:

Где Ф_F - это поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объёма её внутренности). В обоих случаях подразумевается, что

это определение не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат). Определение легко и прямо обобщается на любую размерность пространства: при этом под объёмом понимается -мерный объём, а под площадью поверхности -мерная площадь поверхности соответствующей размерности.

дивергенция координатный инвариантный остроградский гаусс

2. Теорема Остроградского-Гаусса

Согласно формуле Гаусса - Остроградского, поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции данного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.

Рис. 1

Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S₁, заданную уравнением z = f₁(x, y), S₂ (z = f₂ (x, y)) и S₃ - цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz (рис.1). Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции P (x, y, z), Q (x, y, z) и R (x, y, z) и вычислим интеграл:

Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S₁ cos (n, z) <0, на S₂ cos (n, z)> 0, a на S₃ cos (n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой части предыдущего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:

(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, элементы площади поверхности S₁ и области D связаны соотношением dxdy = ДS (-cos (n, z))). Следовательно, исходный интеграл можно представить в виде:

Окончательный результат можно записать так:

Таким же образом можно получить соотношения:

Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:

Воспользовавшись формулой, задающей связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:

где запись «S⁺» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

3. Физический смысл дивергенции

Рассмотрим поля тяготения, создаваемое некоторым распределением масс. Выясним, что представляет собой дивергенция такого поля. Рассмотрим сначала поле, создаваемое массой m₀, сосредоточенной в точке (x₀, y₀, z₀). В этом случае единичная масса, помещенная в точку (x, y, z), притягивается силой

Здесь - постоянная тяготения, зависящая от выбора единиц. Впредь мы писать не буде, считая, что система единиц выбрана, что . Вычислим дивергенцию силового поля, так в каждой точке, отличной от точки (x₀, y₀, z₀), имеем:

,

Аналогично

Складывая, получаем

Однако в точке (x₀, y₀, z₀) приведенные выкладки теряют смысл и в этой точке значение div F вообще не определено, поэтому и значение интеграла , не может быть получено непосредственным вычислением, если область содержит точку (x₀, y₀, z₀). Таким образом, выражение, стоящее в формуле Гаусса - Остроградского справа, в нашем случае не определено. Однако мы легко можем найти величину, стоящую в этой формуле слева, то есть поток вектора F через поверхность ? равен заключенной внутри этой поверхности массе, умноженной на 4р. Но эта же масса может быть представлена как интеграл от плотности с (x, y, z), взятый по объёму ?, ограниченному поверхностью ?. Таким образом, обозначая по-прежнему символом F (x, y, z) значение гравитационного поля в точке (x, y, z), имеем

Откуда

Стоящий здесь справа предел представляет собой дивергенцию векторного поля, создаваемого некоторым распределение масс, равна объёмной плотности с (x, y, z) этого распределения, умноженной на 4р.

Те же самые рассуждения, которые мы провели для поля тяготения, можно повторить и для электрического поля и показать, сто дивергенция такого поля равна плотности зарядов, умноженной на 4р.

Заключение

В ходе проделанной работы мы узнали, что такое скалярное поле, поле с одномерными величинами, измеряемые по одной шкале и векторное поле, поля, отвечающие многомерным величинам. Дали определения понятиям координатное определения дивергенции векторного поля и инвариантное определения дивергенции векторного поля. Так же ознакомились с теоремой Гаусса - Остроградского, рассмотрев ее на примере рисунка 1. Рассмотрели физический смысл дивергенции на примере поля тяготения, создаваемое некоторым распределением масс.

Подводя итог можно сказать, что природа физической среды определяет размерность единиц измерения и констант, с помощью которых строятся количественные соотношения. Со временем выяснилось, что для количественного описания скорости движения, изменения этой скорости, взаимодействия тел и т.п. скалярные величины не подходят. В этих случаях оказались пригодными более сложные математические величины - направленные отрезки, или векторы. Развитие количественных методов показало, что одно и то же физическое свойство в разных точках исследуемого объекта может принимать различные значения, и поэтому для их математического описания необходимо знать совокупность значений соответствующей величины во всех точках рассматриваемого объекта. Так в физике постепенно сложилось представление о математическом поле - области пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение некоторой физической величины.

Список используемых источников

1. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для вузов. М: Наука.1971.735 с.

2. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. Физматгиз. 1962. 132 с.

3. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М: Государственное издательство физико-математической литературы. 1959. 303 с.

4. Вся высшая математика / М.Л. Краснов [и др.]. М.: Едиториал УРСС, 2003. Т. 1.

5. Гаврилов В.Г. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля: учеб. для вузов / В.Г. Гаврилов, Е.Е. Иванова, В.Д. Морозова; под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - 2-е изд., стереотип. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 496 с.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для студентов втузов: В 2 т. Т. 2 / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2004.

7. Информационный ресурс Википедия.

Размещено на allbest.ru