Щодо сутності, місця, ролі і характеру задач з параметрами у курсах геометрії закладів загальної середньої освіти

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЩОДО СУТНОСТІ, МІСЦЯ, РОЛІ І ХАРАКТЕРУ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У КУРСАХ ГЕОМЕТРІЇ ЗАКЛАДІВ ЗАГАЛЬНОЇ СЕРЕДНЬОЇ ОСВІТИ

СИНЮКОВА Олена Миколаївна - кандидат фізико-математичних наук, доцент, доцент кафедри вищої математики і статистики Державного закладу «Південноукраїнський національний педагогічний університет імені К.Д. Ушинського»

ЧЕПОК Олег Леонідович - кандидат технічних наук, доцент, доцент кафедри фізики Державного закладу «Південноукраїнський національний педагогічний університет імені К.Д. Ушинського»

Постановка та обґрунтування актуальності проблеми

Так звані задачі з параметрами давно стали невід'ємною складовою як кожного більш-менш поглибленого курсу алгебри чи алгебри і початків аналізу для закладів загальної середньої освіти, так і відповідних завдань Державної підсумкової атестації з математики та Зовнішнього незалежного оцінювання з математики. Це не є випадковим, бо, найчастіше, процес розв'язання задачі з параметрами перетворюється для учня на невелике самостійне дослідження, проведення якого сприяє формуванню творчої, діяльнісно орієнтованої особистості, тобто, особистості, що має саме такі якості, які є невідворотними вимогами сьогодення.

У той же час, у навчально-методичній літературі, незважаючи на наявність значної кількості створених на високому науково-методичному рівні відповідних навчальних посібників ([2], наприклад) досить важко знайти чіткі відповіді на питання про те, що, взагалі, мається на увазі під задачею з параметром (або параметрами) та її розв'язанням. Мабуть, саме цим можна пояснити той факт, що задачам з параметрами у курсах геометрії закладів загальної середньої освіти майже не приділено жодної уваги. Насправді, такі задачі там у великій кількості присутні, їх значення для належної розбудови відповідних курсів важко перебільшити.

Усвідомлення сутності, місця і ролі задач з параметрами у курсах геометрії закладів загальної середньої освіти повинно стати невід'ємною компонентою фахової компетентності як діючих, так і майбутніх вчителів математики таких закладів. Отже, з точки зору методики навчання математики, дослідження у визначеному напрямку варто визнати актуальними.

Аналіз останніх досліджень і публікацій

Лише на перших погляд здаються простими відповіді на питання, що мають на увазі під словом «параметр» виходячи з буденних міркувань, що розуміють під терміном «параметр» у математиці.

Зрозуміло, що у буденному розумінні під параметром розуміють те, що може змінюватися, приймати різні значення таким чином, що кожне відповідне значення характеризує певну властивість, стан, розмір чи форму об'єкта, робочого тіла, процесу, явища або системи тощо. З точки зору сучасної математики, не зупиняючись на екскурсах історичного характеру (див. [1], наприклад), є декілька схожих підходів до тлумачення сутності даного поняття.

Аналіз різних інформаційних джерел дозволив авторам зробити висновок про те, що, фактично у всіх сучасних довідниках під параметром розуміють певну величину. У той же час зрозуміло, що ототожнювати поняття параметра з поняттям про величину не можна принаймні вже тому, що певна величина стає параметром лише по відношенню до кожної конкретної задачі. геометричний аксіоматика алгебраїчний математичний

У загальному випадку, коли параметр (або параметри) визначено, під розв'язком задачі з параметром мається на увазі знаходження відповідей на такі питання як 1) при яких значеннях даного параметру (параметрів) задача не має розв'язків; 2) при яких значеннях даного параметру (параметрів) вона має розв'язки, скільки, які саме.

Серед завдань з алгебри та початків аналізу курсів математики закладів загальної середньої освіти можна виокремити такі типи завдань, що мають форму саме задач з параметрами, як завдання на знаходження області допустимих значень алгебраїчних і більш складних математичних виразів, здійснення тотожних перетворень подібних виразів, розв'язання алгебраїчних і більш складного типу рівнянь та нерівностей, визначення функцій та дослідження їх певних класів.

Метою статті є з'ясування сутності, місця, ролі і характеру задач з параметрами у курсах геометрії закладів загальної середньої освіти. Зокрема, мається на увазі визначення видів задач з параметрами у сучасних курсах геометрії таких закладів з метою подальшої розробки відповідних рекомендацій методичного характеру для вчителів-практиків.

Методи дослідження: власні міркування теоретичного характеру на підставі проведеного всебічного аналізу відповідних літературних джерел.

Виклад основного матеріалу дослідження

Традиційно, курси геометрії закладів загальної середньої освіти присвячено опануванню базових елементів евклідової геометрії. Евклідова геометрія, як аксіоматична теорія, досліджує множини, які, у своїй переважній більшості, за відповідних умов, представляють собою математичні абстракції просторових форм довкілля, певні відношення між такими множинами та величини, що характеризують як такі множини, так і відношення між ними. У курсах геометрії роль параметрів, у відповідному розумінні, можуть грати елементи всіх трьох вищевказаних компонент.

Як вже було підкреслено, сутність параметрів і задач з параметрами базується на тому, що у певних межах значення параметрів можуть змінюватися. Якщо мова йде про окремі геометричні фігури, то, безпосередньо, вони можуть змінюватися за розмірами та за формою. Зміни за розмірами приводять до поняття скалярної величини, точніше, додатної скалярної величини, такої величини, яка, за умови обрання одиниці вимірювання, характеризується додатними дійсними числами. У якості основних величин подібного типу тут виступають довжина, міра кута, площа та об'єм. Зміни за формою розглядаються, наприклад, у задачах «на мостіння». Це задачі типу «однаковими плоскими чотирикутниками якої форми можна «замостити» всю площину або певні її частини», а також, наприклад, у задачах на дослідження кількості і видів симетрій геометричної фігури у залежності від її форми. У ролі параметра-відношення можуть виступати різні варіанти взаємного розташування двох і більше геометричних фігур. Класичними прикладами з планіметрії тут є такі задачі на «побудову за допомогою циркуля і лінійки», для яких існування розв'язку або кількості розв'язків залежить від характеру взаємного розташування вихідних даних.

У той же час сучасні курси геометрії закладів загальної середньої освіти містять й елементи аналітичної геометрії тривимірного евклідового простору, апаратом якої виступає прямокутна декартова система координат. При застосуванні методу координат виникають величини, які, за умови обрання одиниці вимірювання, характеризуються у тому числі і від'ємними дійсними числами, і величини більш складної природи - векторні. Якщо у задачі мова йде не про одну геометричну фігуру, а про серію геометричних фігур, що означає наявність певного геометричного параметру, то відповідні аналітичні умови, які характеризують визначені геометричні фігури відносно обраної системи координат, містять скалярний параметр (скалярні параметри), обрання конкретного значення якого (яких) виокремлює певну геометричну фігуру цієї серії. Алгебраїчний етап застосування методу координат перетворюється на розв'язання алгебраїчної задачі з параметром (параметрами). Визначення за підсумками отриманого розв'язання алгебраїчного еквіваленту розв'язку відповідної геометричної параметричної задачі та наступне з'ясування його геометричного змісту надає розв'язок параметричної геометричної задачі безпосередньо.

Одночасно, треба відзначити той факт, що у курсах геометрії, як, між іншим, і у курсах алгебри, розглядаються задачі з параметрами, які є задачами такого типу за своєї умови, і задачі, які стають задачами з параметрами у процесі їх розв'язання.

Зупинимося подалі на встановленні доцільних аспектів розвитку змістової лінії «Геометричні задачі з параметрами» у процесі розбудови систематичних курсів геометрії закладів загальної середньої освіти.

Здається, першою величиною, що з'являється у процесі розбудови систематичного курсу евклідової планіметрії, є довжина відрізка. Отже, умова першої найпростішої геометричної задачі з параметром може виглядати як «для заданого дійсного числа a обґрунтувати існування відрізка, довжина якого дорівнює a». Зрозуміло, що умову задачі сформульовано не коректно. Припустимо, це зроблено навмисно. У будь-якому випадку треба наводити відповідь, яка може мати наступний вигляд «Згідно теорії евклідової геометрії, числове значення довжини відрізка для будь-якого відрізка є визначеним і, до того ж, однозначно, лише за умови обрання відрізка, довжину якого прийнято за одиницю вимірювання довжин відрізків. У якості «одиничного» можна обрати довільний відрізок. Довжина будь-якого відрізка відносно будь-якого одиничного відрізка є додатним дійсним числом. Отже, якщо a<0, то, не залежно від обраного одиничного відрізка, сформульована задача розв'язків не має. Нехай a>0. У евклідовій геометрії, у якості аксіоми, чи у якості теореми, справедливим є твердження про те, що, якщо обрано одиничний відрізок, для кожного додатного числа a, на кожному промені AB існує така єдина точка C що довжина відрізка AC відносно обраного одиничного відрізка складає a. Отже, у даному випадку задача має безліч розв'язків вже тому, що у евклідовому просторі існує безліч різних променів. Теоретично, можна стверджувати і те, що для кожного дійсного числа a, на кожному промені AB існує безліч таких точок C, що довжина відрізка AC дорівнює a. Це пов'язано з тим, що у якості одиничного відрізка може бути обрано довільний відрізок».

Традиційно, наступною величиною, яку розглядають у систематичних курсах геометрії закладів загальної середньої освіти є міра кута, Теорії вимірювання кутів, зрозуміло, передує означення кута. Але, на відміну від питання про відрізок, будь-яка серія курсів математики закладів загальної середньої освіти містить три різні поняття, кожне з яких має ту саму назву - «кут». Це, так звані кут-каркас, плоский кут та кут обертання.

Традиційний курс планіметрії закладів загальної середньо освіти присвячено ретельному опануванню так званих елементарних геометричних фігур евклідової геометрії, фігур, які однозначно визначаються за допомогою відрізків та кутів. А останні - однозначно визначаються своїми величинами, їх числовими значеннями відносно відповідним чином обраних одиниць вимірювання. Звідси випливає, що питання про умови існування у евклідовій планіметрії тієї чи іншої геометричної фігури є геометричною задачею з параметрами. Роль параметрів грають ті найпростіші геометричні фігури, за допомогою яких дану фігуру визначено, тобто, у своїй переважній більшості, відрізки і кути. Фігура евклідової геометрії існує (є визначеною) при даних значеннях параметрів, якщо її існування при цих значеннях параметрів обґрунтовано на підставі аксіом обраної аксіоматики евклідової геометрії. Областю існування геометричної фігури називається множина всіх допустимих значень параметрів, за допомогою яких цю фігуру задано.

Трикутник є найпростішою нелінійною фігурою планіметрії. Згідно будь-якого означення, основними (визначальними) елементами трикутника є його вершини, сторони та кути. Сторони трикутника - це відрізки, які однозначно визначаються своїми довжинами. Кути трикутника однозначно визначаються своїми мірами. Отже, довжини сторін і міри кутів трикутника представляють собою його основні скалярні параметри, обмеження на які встановлюють область існування такої геометричної фігури як трикутник. При цьому, очевидно, справедливими є, наприклад, твердження наступних теорем,

1. Необхідними і достатніми умовами існування трикутника зі сторонами, довжини яких дорівнюють a, b, С, є умови того, щоб кожна зі вказаних величин була меншою за суму двох інших.

2. Необхідною і достатньою умовами існування трикутника, зі стороною довжини a і прилеглими до цієї сторони кутами-каркасами, міри яких складають є умови того, щоб сума & + З була меншою за міру розгорнутого кута.

3. Необхідною і достатньою умовами існування трикутника, довжини двох сторін якого дорівнюють, а міра кута між ними складає у є умова того, щоб число у було меншим за міру розгорнутого кута.

Серед задач стандартного курсу евклідової планіметрії окреме місце, традиційно, займають так звані задачі на розв'язування трикутників Довжини сторін і міри кутів трикутника представляють собою його основні, але не єдині, скалярні параметри. До інших скалярних параметрів трикутника відносяться довжини його медіан, бісектрис, висот, середніх ліній, радіуси описаного, вписаного та зовнівписаного кіл, площа тощо. Теоретично, подібних параметрів безліч. Всі вони мають відповідні множини допустимих значень, певні набори відповідних параметрів визначають трикутник однозначно, інші, навпаки. Задачею на розв'язування трикутників називається задача знаходження всіх сторін трикутника і величин його кутів (основних параметрів трикутника) за даними значеннями певних параметрів (серед яких можуть бути й основні). Зрозуміло, що, у випадку, коли вихідні значення параметрів вказано лише у вигляді букв, у наявності типова задача з параметрами курсу геометрії.

У планіметрії задачі з параметрами з'являються також під час встановлення більшості геометричних місць точок, визначених за допомогою відповідних характеристичних властивостей.

З теоретичної точки зору, розв'язання будь-якої геометричної задачі з буквеними даними можна вважати повним тоді та тільки тоді, коли у результаті не лише отримано математичний вираз, що визначає шукану величину, а й встановлено необхідні та достатні умови існування фігури, зазначеної в умові задачі. Зрозуміло, що подібні вимоги до розв'язання геометричних задач є доцільними для учнів не на будь-якому етапі навчання та, взагалі, не для всіх задач і, мабуть, не для всіх учнів. Але дотримання таких вимог на кожному етапі навчання, безумовно, є необхідним для кожного вчителя або автора відповідного збірника задач чи підручника. Інакше, наприклад, навіть, найпростіша задача на знаходження периметру трикутника може виявитися такою, що не має сенсу.

Аксіоматика евклідової планіметрії, як і всієї евклідової геометрії, є повною. Тобто вона є відносно несуперечливою, до неї не можна додати у якості нових аксіом такі твердження про ті ж самі основні невизначені поняття та відношення, що не є логічними наслідками вже існуючих аксіом і не призводять до суперечності. Аксіоматика евклідової планіметрії виникла на підставі аналізу спостережень і практичних дій людей по опануванню геометричних властивостей навколишнього середовища. Креслення за допомогою таких інструментів, як циркуль і лінійка, виявилося одним з тих видів практичної діяльності людей, який з давніх часів знайшов своє відображення у евклідовій планіметрії. Спочатку геометри не усвідомлювали різниці між існуванням планіметричної фігури з точки зору відповідної аксіоматики і можливістю побудови цієї фігури за допомогою циркуля і лінійки. Значно пізніше, після формування сучасних уявлень про аксіоматику та аксіоматичну теорію, у математиці сформувалося поняття про продовження аксіоматики. Було побудовано, так звану, аксіоматику циркуля і лінійки, як канонічне продовження аксіоматики евклідової планіметрії. Розв'язання задачі на побудову за допомогою циркуля і лінійки у межах такої нової, продовженої, аксіоматичної теорії, представляє собою задачу на встановлення існування відповідних побудов. Етап дослідження при цьому має вигляд планіметричної задачі з параметром (або з параметрами). У якості відповідних параметрів при цьому можуть виступати як задані умовою задачі геометричні фігури, так і пов'язані з ними величини. За параметри можуть бути прийняті й відношення взаємного розташування вихідних даних.

Висновки з дослідження і перспективи подальших розробок

Автори сподіваються, що у роботі вдалося навести переконливі обґрунтування твердження про те, що задачі з параметрами є невід'ємною складовою кожного систематичного курсу геометрії, висвітлити сутність, місце, роль і характер таких задач у стандартних курсах геометрії закладів загальної середньої освіти Зрозуміло, що всі вищезазначені питання вимагають як подальших теоретичних досліджень так і відтворення їх певних елементів у діючих підручниках з геометрії для закладів загальної середньої освіти, розробки відповідних практичних рекомендацій для вчителів.

Список джерел

1. Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. М: Издательство ЛКИ, 2008. 248 с.

2. Горнштейн П.І. Полонский В.Б., Якір М.С. Задачі з параметрами. Тернопіль: Підручники & Посібники, 2004. 255 с.

References

1. Aleksandrova, N.V. (2008) Istoriyamatem aticheskikh terminov, ponyatiy, oboznacheniy: Slovar'-spravochnik [Historyofm athematical terms, concepts, designations: Dictionary-reference.] Moscow.

2. Gornshtejn, P.I. Polonskii, V.B., Yakir, M.S. (2004) Zadachizpar ametrami [Problems withparameters]. Ternopil.

Размещено на Allbest.ru