Дифференциальное исчисление

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифференциальное исчисление

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

математический анализ дифференциальное исчисление

Задача 1. Построить графики функций сдвигами и деформациями. Указать область определения и область значений для каждой функции, промежутки монотонности

y=

Область определения функции. Точки разрыва функции.

Четность или нечетность функции.

Функция общего вида

Периодичность функции.

Точки пересечения кривой с осями координат.

Пересечение с осью 0Y

x=0, y=3

Пересечение с осью 0X

y=0

x₁=-6

Исследование на экстремум.

y = 1/2*x+3

Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

1 ? 0

Для данного уравнения корней нет.

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

f''(x) = 0

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

0 = 0

Для данного уравнения корней нет.

Асимптоты кривой.

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Находим коэффициент b:

Получаем уравнение наклонной асимптоты:

y= -(x-1)²+4

1) Область определения функции. Точки разрыва функции.

2) Четность или нечетность функции.

y(-x)=4-(-x-1)²

Функция общего вида

3) Периодичность функции.

4) Точки пересечения кривой с осями координат.

Пересечение с осью 0Y

x=0, y=3

Пересечение с осью 0X

y=0

-(x-1)²+4=0

x₁=-1, x₂=3

5) Исследование на экстремум.

y = -(x-1)^2+4

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f'(x) = 2-2·x

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

2-2·x = 0

Откуда:

x₁ = 1

(-? ;1)	(1; +?)
f'(x) > 0	f'(x) < 0
функция возрастает	функция убывает

В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1 - точка максимума.

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

f''(x) = -2

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

-2 = 0

Для данного уравнения корней нет.

6) Асимптоты кривой.

y = -(x-1)²+4

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

y=x³-2

1) Область определения функции. Точки разрыва функции.

2) Четность или нечетность функции.

y(-x)=-x³-2

Функция общего вида

3) Периодичность функции.

4) Точки пересечения кривой с осями координат.

Пересечение с осью 0Y

x=0, y=-2

Пересечение с осью 0X

y=0

x³-2=0

x₁=2^1/3

5) Исследование на экстремум.

y = x^3-2

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f'(x) = 3·x²

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

x² = 0

Откуда:

x₁ = 0

(-? ;0)	(0; +?)
f'(x) > 0	f'(x) > 0
функция возрастает	функция возрастает

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции

Вторая производная

f''(x) = 6·x

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

6·x = 0

Откуда точки перегиба:

x₁ = 0

(-? ;0)	(0; +?)
f''(x) < 0	f''(x) > 0
функция выпукла	функция вогнута

6) Асимптоты кривой.

y = x³-2

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

y=¦1/2x+2¦

1) Область определения функции. Точки разрыва функции.

2) Четность или нечетность функции.

Функция общего вида

3) Периодичность функции.

4) Точки пересечения кривой с осями координат.

Пересечение с осью 0Y

x=0, y=2

Пересечение с осью 0X

y=0

x₁=-4

5) Исследование на экстремум.

y = 1/2*x+2

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

1 ? 0

Для данного уравнения корней нет.

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции

Вторая производная.

f''(x) = 0

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

0 = 0

Для данного уравнения корней нет.

6) Асимптоты кривой.

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Находим коэффициент b:

Получаем уравнение наклонной асимптоты:

Задание 2. Найти указанные пределы, не используя правило Лопиталя

Б) = = =

В)

Для выражения

сопряженным является

Умножим его на числитель и знаменатель.

Учитывая, что (a-b)(a+b) = a²-b², получаем:

Ответ:

-6

Г) = = =

Д)

Выполним элементарные преобразования:

sin(3·x)=3·x

sin(4·x)=4·x

Тогда исходный предел можно представить в виде:

Ответ:

Е)

Используя свойства второго замечательного предела:

Получаем:

здесь a=-5, b=1

Ответ:

Задание 3. Для каждой из заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер

Исследуем данную функцию на непрерывность:

Найдем точки разрыва функции внутри указанной области.

Находим переделы в точке x=4

В этой точке функция терпит разрыв. Предел равен ?, поэтому это точка разрыва II-го рода.

Ответ:

Точка x₁=4 является точкой разрыва II-го рода.

Типовой расчет № 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Задача 1. Найти производные заданных функций.

а)

Решение:

= =

Ответ:

При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:

(x^a)' = ax ^a-1

(a)' = 0

б)

y=(sin³(4·x³+1))³

Решение:

(sin(4·x³+1)³)' = 36·x²·sin(4·x³+1)²·cos(4·x³+1)

Поскольку:

(sin(4·x³+1)³)' = 3·(sin(4·x³+1))^3-1((sin(4·x³+1)))' = 36·x²·sin(4·x³+1)²·cos(4·x³+1)

(sin(4·x³+1))' = (sin(4·x³+1))'(4·x³+1)' = 12·x²·cos(4·x³+1)

(4·x³+1)' = 12·x²

Поскольку:

(4·x³)' = 4·3·x^3-1(x)' = 12·x²

(x)' = 1

Ответ:

36·x²·sin(4·x³+1)²·cos(4·x³+1)

При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:

(x^a)' = ax^a-1

(a)' = 0

(f(g(x)))' = f(x)'*g(x)'

B) y=x³·cos(x²+1)

Решение:

(x³·cos(x²+1))' = (x³)'·cos(x²+1)+x³·(cos(x²+1))' = 3·x²·cos(x²+1)+x³·(-2·x·sin(x²+1))

Здесь:

(cos(x²+1))' = (cos(x²+1))'(x²+1)' = -2·x·sin(x²+1)

(x²+1)' = 2·x

Производную этого выражения находим по формуле: (xⁿ)' = n*x^n-1

(x²)' = 2·x^2-1(x)' = 2·x

(x)' = 1

Ответ:

-2·x⁴·sin(x²+1)+3·x²·cos(x²+1)

При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:

(x^a)' = ax^a-1

(a)' = 0

(uv)' = u'v + uv'

(f(g(x)))' = f(x)'*g(x)'

Г)-2·x²·y³+x·y²-3·x²-6·x·y=0

Решение

Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

или

Д)

x=t+cos(2·t)

y=t²-sin(2·t)

Решение

Функция задана в параметрическом виде. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.

Отдельно находим производные x_t' и y_t'

x_t' = 1-2·sin(2·t)

y_t' = 2·t-2·cos(2·t)

Следовательно:

или

Е)

y=(3·x)^x

Решение:

((3·x)^x)' = (3·x)^x(ln(3·x)+1)

Прологарифмируем обе части:

Тогда:

Находя производную, получаем:

(3·x)' = 3

Ответ:

(3·x)^x(ln(3·x)+1)

При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:

(x^a)' = ax^a-1

(a)' = 0

(uv)' = u'v + uv'

(f(g(x)))' = f(x)'*g(x)'

(u^v)' = u^v(v*ln(u))'

Задача 2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y=f(x) в точке X₀

y=x²-5x+6

Написать уравнения касательной и нормали к кривой y=x²-5x+6 в точке M₀ с абсциссой x₀ = -1.

Решение

Запишем уравнения касательной в общем виде:

y_k = y₀ + y'(x₀)(x - x₀)

По условию задачи x₀ = -1, тогда y₀ = 12

Теперь найдем производную:

y' = (x²-5*x+6)' = 2*x-5

следовательно:

f'(-1) = 2*(-1)-5 = -7

В результате имеем:

y_k = y₀ + y'(x₀)(x - x₀)

y_k = 12 -7(x +1)

или

y_k = 0

Задача 3. Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики

Четность или нечетность функции.

Функция общего вида

Точки пересечения кривой с осями координат.

Пересечение с осью 0Y

Пересечение с осью 0X

y=0

Исследование на экстремум.

y = (2*x+3)/(x+6)

Найдем точки разрыва функции.

x₁ = -6

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

или

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

1 ? 0

Для данного уравнения корней нет.

(-? ;-6)	(-6; +?)
f'(x) > 0	f'(x) > 0
функция возрастает	функция возрастает

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Задача 1. Исследовать функцию z= f(x;y) на экстремумы.

z = x^2+x*y+y^2-x+2*y

1. Найдем частные производные.

2. Решим систему уравнений.

2*x+y-1 = 0

x+2*y+2 = 0

Получим:

а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:

x = -2*y-2

-3*y-5 = 0

Откуда y = -5/3

Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x = 4/3

Количество критических точек равно 1.

M₁(4/3;-5/3)

3. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).

Вычисляем значения для точки M₁(4/3;-5/3)

AC - B² = 3 > 0 и A > 0 , то в точке M₁(4/3;-5/3) имеется минимум z(4/3;-5/3) = -7/3

Вывод: В точке M₁(4/3;-5/3) имеется минимум z(4/3;-5/3) = -7/3;

Задача 2. Даны функция z=f(x;y) и две точки A(x₀;y₀) и B(x₁;y₁)

Требуется

1) вычислить значение z1 в точке В;

2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;

3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом;

4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке ;

5) линеаризовать данную функцию в окрестности точки А.

6) найти градиент и производную функции z=f(x;y) в точке А0 по направлению вектора i(1;-1).

Поверхность задана уравнением z=x^2-5*y+x*y+2*y^2. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;2).

Решение

Запишем уравнения касательной в общем виде:

z - z₀ = f'_x(x₀,y₀,z₀)(x - x₀) + f'_y(x₀,y₀,z₀)(y - y₀)

По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 1

Найдем частные производные функции z = f(x,y) = x^2-5*y+x*y+2*y^2:

f'_x(x,y) = (x²-5*y+x*y+2*y²)'_x = 2*x+y

f'_y(x,y) = (x²-5*y+x*y+2*y²)'_y = x+4*y-5

В точке М₀(1,2) значения частных производных:

f'_x(1;2) = 4

f'_y(1;2) = 4

Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:

z - 1 = 4(x - 1) + 4(y - 2)

или

-4*x-4*y+z+11 = 0

Поверхность задана уравнением z=x^2-5*y+x*y+2*y^2. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0.97;2.03).

Решение

Запишем уравнения касательной в общем виде:

z - z₀ = f'_x(x₀,y₀,z₀)(x - x₀) + f'_y(x₀,y₀,z₀)(y - y₀)

По условию задачи x₀ = 0.97, y₀ = 2.03, тогда z₀ = 1.0018

Найдем частные производные функции z = f(x,y) = x^2-5*y+x*y+2*y^2:

f'_x(x,y) = (x²-5*y+x*y+2*y²)'_x = 2*x+y

f'_y(x,y) = (x²-5*y+x*y+2*y²)'_y = x+4*y-5

В точке М₀(0.97,2.03) значения частных производных:

f'_x(0.97;2.03) = 3.97

f'_y(0.97;2.03) = 4.09

Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:

z - 1.0018 = 3.97(x - 0.97) + 4.09(y - 2.03)

или

-3.97*x-4.09*y+z+11.1518 = 0

Размещено на Allbest.ru

...