Случайные величины и их распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Распределения, связанные с нормальным законом распределения

Рассмотрим несколько случайных величин, сконструированных на основе нормального распределения, которые наиболее часто встречаются в математической статистике.

Распределение (хи-квадрат с н степенями свободы)

Если независимые стандартные нормальные случайные величины, то говорят, что случайная величина

Имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы

При этом М(

Число степеней свободы у распределения хи-квадрат - это число независимых СВ с распределением N(0;1), которые суммируются.

Согласно графику распределение асимметрично, обладает положительной ассиметрией.

При n>30 распределение близко к стандартному нормальному закону.

Распределение Стьюдента

Пусть - независимые стандартые нормальные случайные величины. Тогда СВ:

Имеет распределение Стьюдента(или t-рапсределение) с n степенями свободы:

М(

При - плотность стандартного распределения и уже при н больше 30 распределение Стьюдента можно приближенно заменить на стандарнтое нормальное

Распределение Фишера-Снедекора.

Пусть ,

Независимые случайные величины.

Тогда случайная величина:

Распределена по закону Фишера со степенями свободы .

Распределение случайных величин имеются в статистических таблицах

Системы случайных величин

При изучении случайных величин приходится иметь дело с двумя, тремя и большим числом СВ. Совместное рассмотрение нескольких СВ приводит к системам СВ.

Упорядоченный набор () случайных величин

Заданных на одном и том же пространстве элементарных событий называется n-мерной случайной величиной или системой n случайных величин.

Одномерные СВ называются компонентами n-мерной СВ.

Упорядоченная пара (Х, Y) двух случайных величин Х и Y называется двумерной случайной величиной или системой двух одномерных случайных величин Х и Y.

Система (Х, Y) есть функция элементарного события (Х; Y)=

Каждом элементарному событию ставится в соответсвие два действительных числа х и у - значение Х, Y в данном опыте.

В этом случае веткор реализацией случайного вектора

Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерывными и смешанными в зависимости от типа СВ, образующих систему. В первом случае компоненты этих случайных систем дискретны, во втором - непрерывны, в третьем - разных типом.

Закон распределения вероятностей системы СВ.

Полной характеристикой системы (Х, Y) является её закон распределения вероятностей, указывающий на область возможных значений системы случайных величин и вероятности этих значений. Как и для СВ закон распределения системы может иметь разные формы (таблица, функция распределения, плотность…)

Так, закон распределения дискретной двумерной СВ (Х, Y) можно задать формулой:

,

Или в форме таблицы с двойным входом

Сумма всех вероятностей как сумма вероятностей полной группы несовместных событий { X= равна единице:

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти закон распределения каждой из компонент. Так,

,

что следует из теоремы сложения несовместных событий {X=},…, {X=

Аналогично можно найти }=, =P{Y=}

Функция распределения двумерной случайной величины

Функцией распределения двумерной случайной величины (Х;У) называеися функцией F(x;y), которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместноого выполнения двух событий {X<x}&{Y<y}

F(x;y)=P{X<x, Y<y}.

Событие {X<x, Y<y} означает произведенное событие {X<x} и {Y<y}.

Геометрически функция F(x;y) - это вероятность попадания случайной точки (Х;У) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (х;у).

ФР F(x;y) является числовой функцией двух переменных. Для ДСВ двумерной СВ функция распределения определеяется по формуле

F(x;y)=

Свойства функции распределения:

- неубывающая функция по каждому из своих аргументов

==0

,

Где и есть функции распределения СВ X и Y, т.е.

5.

непрерывна слева по каждому из своих аргументов: ,

Плотность распределения вероятностей двумерной СВ и её свойства

Двумерная случайная величина называется непрерывной если её функция распределения есть непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, у которой существует вторая смешанная производная.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная производная её функции распределения

p(x;y)=

Вероятность попадания случайной точки (X;Y) в области D равна двойному интегралу от плотности по области D

P{(X;Y)

Плотности распределения одномерных составляющих X и Y могут быть найдены по формулам:

Условие нормировки: двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной Св равен единице, т.е.

Зависимость и независимость двух случайных величин

Случайные величины Х и Y называются независимыми если независимыми являются события {X<x} и {Y<y} для любых действительных х и у. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Теорема 1. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X;Y) была равна произведению функции распределения составляющих:

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием независимости двух непрерывных случайных величин, образующих систему (X;Y) является равенство:

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием независимости двух дискретных случайных величин Х и У, образующих систему (Ч У) является равенство

P{X=

Условные законы распределения

Условным законом распределения одной из СВ, входящих в систему (X;Y) называется закон её распределения найденный при условии, что другая С приняла определенное значение(или попала в некоторый интервал)

В частности, в случае системы двух ДСВ условным законом распределения СВ У при условии называтся совокупностью вероятностей

Аналогично определяется условный закон распределения ДСВ Х при условии Y=

Условная плотность непрерывной СВ У при условии Х=х(обозначение p(y|x)) определяется равенством:

Аналогично,

Теорема умножения плотностей распределения:

Числовые характеристики двумерной случайной величины

В качестве числовых характеристик системы обычно рассматривают моменты различных порядков.

Математическим ожиданием двумерной СВ называется совокупность двух МО М(Х) и М(У) определяется равенством:

М(Х)= М(Y)=

если (X,Y) - дискретная система СВ:

{X-

M(X)=

M(Y)=

если (X,Y)- непрерывная система СВ.

Дисперсией системы СВ называется совокупность двух дисперсий дх ду определяется равенствами:

если (X,Y)- дискретная система СВ.

D(X)=

D(Y)=

если (X,Y)- непрерывная система СВ.

Пусть (X;Y) - система ДСВ. Условное математическое ожидание ДС У при условии X- определяется равенством

где )

Пусть (X;Y) - система НСВ. Условное математическое ожидание НСВ Yпри условии Х=х определяется равенством

M(Y|x)=

M(X|y)=

Корреляционный момент, коэффициетом корреляции

Корреляционный моментом(или ковариацией) двух случайных величин Х и У называется МО произведения отклонений этих С от их МО и обозначается через

K(XY)=

Ковариацию удобно вычислять по формуле

Если случайные величины X и Y независимы то

Если , то СВ Х и У зависимы.

Случайные величины Х и У в случае называются некоррелированными.

Из независимости вытекает некоррелированность; обратное, вообще говоря, неверно.

Ковариация характеризует степень зависимости случайных величин и их рассеяние вокруг точки

Размерность ковариации равна произведению размерностей СВ Х и У

В качестве числовой характеристики зависимости СВ Х и У берут безразмерную величину - коэффициент корреляции. Он является лучшей оценкой степени влияния одной СВ на другую.

Коэффициентом корреляции двух СВ Х и У называется отношение их ковариации(корреляционного момента) к произведению их СКО:

Свойства коэффициента корреляции

1. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1, т.е.

-1

2. Если X и Y независимы, то

3. Если СВ X и Y связаны линейной зависимостью, т.е. Y=aX+b, a, причем при a>0

4. Если то СВ Х и У связаны линейной функциональной зависимостью.

Чем ближе к единице, тем больше оснований считать, что Х и У связаны линейной зависимостью.

Отметим, что корреляционный моменты и дисперсии системы С обычно задаются корреляционной матрицей:

случайная величина статистический

или

Размещено на Allbest.ru