Комплексные числа и их свойства

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Реферат

по теме:

Комплексные числа и их свойства

Ташкент 2022

Оглавление

Введение

1. История развития комплексных чисел

2. Свойства комплексных чисел

3. Действия с комплексными числами

4. Задачи, в решении которых используются комплексные числа

Список использованной литературы

Введение

В элементарной математике изучаются действительные числа. С начала в процессе счёта возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2,… n,… В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Что же касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел.

Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечения корня, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа.

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. Квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами - тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

Гипотеза: Существует ли такое множество чисел, в котором выполняется операция извлечения корня из отрицательного числа.

Целью исследовательской работы является изучение истории появления комплексных чисел, свойств действий над комплексными числами, алгоритмов решения уравнений с комплексным переменным и решение геометрических задач с помощью геометрической интерпретации комплексных чисел.

Задачи:

1. Проследить историю развития понятия числа и их путь формально-логического расширения понятия числа.

2. Изучить происхождение понятия комплексного числа и его развития, свойства комплексных чисел, различных действий, производимых с ними (таких как сложение, вычитание, возведение в степень, извлечение корня; графическое изображение, перевод из алгебраической формы в тригонометрическую и наоборот).

3. Рассмотреть различные виды уравнений, решаемых в комплексных числах.

4. Рассмотреть применение комплексных чисел в геометрии.

1. История развития комплексных чисел

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке.

И до этого открытия при решении квадратного уравнения x²+q = px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2)² - q, где величина (p/2)² была меньше, чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.

Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер - один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.

Об истории развития комплексного числа можно говорить очень долго.

Рассмотрим «плюсы» и «минусы» основных числовых систем, они указаны в таблице. Мы видим, что по мере продвижения по строкам этой таблицы от N к R список во втором столбце расширяется как раз за счет сужения списка в третьем столбце. Осталась частично допустимая операция извлечения корней из произвольных чисел, которая, как мы увидим, станет допустимой в системе комплексных чисел.Из вышесказанного следует, что минимальными условиями, которым должны удовлетворять комплексные числа, являются следующие условия:

С₁) Существует комплексное число, квадрат которого равен -1.

С₂) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.

С₃) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законом арифметических действий.

Определение 1. Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.

В записи число называют действительной частью комплексного числа z, а число b- мнимой частью комплексного числа z

Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

Между комплексным числом и действительным числом обычно не делают никакой разницы, подобно тому, как, например, говорят о числе 3 на оси абсцисс, хотя, формально, полагалось бы говорить о точке (3; 0). Действительные числа - это комплексные числа с нулевой мнимой частью. Значит, выполняется соотношение .

2. Свойства комплексных чисел

комплексный число графический тригонометрический

1. Если b = 0, то комплексное число a + bi становится действительным числом, равным а. Таким образом, действительные числа представляют собой частный случай комплексных чисел.

2. Если а = 0, а b ? 0, то комплексное число bi называют чисто мнимым числом.

3. Комплексные числа а₁ + b₁i и a₂+b₂i называют равными, если

а₁ = а₂ и b₁ = b₂.

4. В частности, a + bi равно нулю тогда и только тогда, когда

а = 0 и b = 0.

5. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются, т.е. комплексные числа по величине не сравниваются.

6. Два комплексных числа a + bi и a - bi, отличающиеся только знаками при мнимой части, называются комплексно-сопряжёнными или просто сопряжёнными; их произведение равно a² + b². Знаком сопряжения является черта над комплексным числом, означающая изменение знака при мнимой части. Это свойство комплексных чисел используется для преобразования дробей (убирается иррациональность в знаменателе дроби). z = a+bi и z = a-bi - сопряженные.

Пример:

(2+3i)/(1+2i) = ((2+3i)(1-2i))/((1+2i)(1-2i)) =

= (2+3i-4i-6i²)/(1-4i²) = (8-i)/5 = 1.6 - 0.2i

7. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел (исключая деление на 0) в результате произведения действий дают комплексные числа. (т. е. множество комплексных чисел замкнуто по этим операциям).

3. Действия с комплексными числами

Арифметические операции над комплексными числами выполняются в соответствии с условием С₃

1) Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой комплексных чисел a + bi и a' + b'i называют комплексное число (a + a') + (b + b')i.

Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 - 8i) = 1 - 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7 = 9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4. (-2 + 3i) + (- 2 - 3i) = - 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Замечание. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i.

2) Вычитание комплексных чисел.

Определение. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a' + b'i (вычитаемое) называется комплексное число (a - a') + (b - b')i.

Пример 1. (-5 + 2i) - (3 - 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

3) Умножение комплексных чисел.

Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a' + b'i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i ² = - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a' + b'i) должно равняться aa' + (ab' + ba')i + bb'i² , а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa' - bb') + (ab' + ba')i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.

Определение. Произведением комплексных чисел a + bi и a' + b'i называется комплексное число

(aa' - bb') + (ab' + ba')i

Замечание. Равенство i² = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i², т. е. i.i, равнозначна записи (0 + 1.i) (0 + 1.i). Здесь a = 0, b = 1, a' = 0, b' = 1 Имеем aa' - bb' = -1, ab' + ba' = 0, так что произведение есть -1 + 0i, т. е. -1.

На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i² = -1.

Пример 1. (1 - 2i) (3 + 2i) = 3 - 6i + 2i - 4i ² = 3 - 6i + 2i + 4 = 7 - 4i.

Пример 2. (a + bi) (a - bi) = a² + b ²

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

4) Деление комплексных чисел

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a' + b'i - значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно.

5) Операция перехода к сопряжённому числу

Если у комплексного числа сохранить действительному часть и поменять знак и мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Если данное комплексное обозначено буквой , то сопряженное число обозначают

Свойство 1. Если , то .

Свойство 2. , т.е. число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам.

Свойство 3. , т.е. число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам.

Свойство 4. , т.е. число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам.

Свойство 5.

Свойство 6.

6) Возведение в степень

Полагают

где n - натуральное число.

Для z ? 0 полагают z⁰ = 1, z^-n = 1/zⁿ

При возведении комплексного числа в степень с целым показателем справедливы следующие свойства:

z^{p .} z^q = z^p+^q,

(z^p)^q = z^pq, z^p/z^q = z^p-q,

(z₁ ^. z₂)^p = z^p₁ ^. z^p₂,

(z₁/z₂)^p = z₁^p/z₂^p, где p и q - целые.

Найдём степени числа i.

По определению i⁰ = 1, i¹ = i; далее, известно, что i² = -1.

Поэтому i³ = i^{2 .} i = -i,

i⁴ = i^{3 .} i = 1, i⁵ = i^{4 .} i = i.

Вообще i⁴ⁿ = 1, i⁴ⁿ⁺¹ = i, i⁴ⁿ⁺² = -1, i⁴ⁿ⁺³ = -i (n - число натуральное).

7) Извлечение корня

Определение: корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое комплексное число w,

w = , что wⁿ = z (n?2 - натуральное).

Таким образом, извлечение корня определяется как действие, обратное возведению в степень.

Теорема. Если , то

Пример 1. Вычислить:

Здесь z = i = 0+1

По теореме получаем:

Пример 2. Извлечём, например, квадратный корень из действительного отрицательного числа (-a²) и покажем, что = +ai или = -ai. В частности, = +-i.

Полагая = х + yi, имеем (x + yi)² = -a² или (x² - y²) + 2xyi = -a².

Отсюда получаем систему двух уравнений

решив которую, найдём, что x = 0, y = +-a

(случай у = 0 невозможен, так как при этом х² = -а², что неверно для действительных чисел). Поэтому = +-ai.

Доказано, что корень всегда существует и имеет ровно n различных значений, если z?0. Очевидно, = 0.

Заключение

Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.

Именно поэтому нам нужно расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

Комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры, но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики.

Список использованной литературы

1. Антонов В. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика -Москва: изд-во “Аванта+”, 1998.

2. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., Лекции и задачи по элементарной математике, - М.: Наука, 1971.

3. Мордкович А.Г. Учебник для 10 класса. Алгебра и начала анализа. М.: Мнемозина, 2007.

4. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах - М.: Просвещение, 1987.

5. Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах. М.: Издательство московского центра непрерывного математического образования, 2004.

6. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика.-М.: Педагогика, 1989.

7.Пособие по математике для поступающих в вузы: пособие/ Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлев Т.Х. - под редакцией Яковлева Г.Н.-3-е издание М.: Наука, 1998

8. Интернет-ресурсы

Размещено на allbest.ru