Определение геометрических характеристик составного сечения с одной осью симметрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

ИРКУТСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра механики и сопротивления материалов

Задача

Определение геометрических характеристик составного сечения с одной осью симметрии

Выполнил студент группы:

Файзулина М.А.

Иркутск 2022 г.

Для сечения, требуется:

1) назначить размеры простых составляющих сложного сечения в зависимости от размеров стандартного профиля (швеллера);

2) определить положение центра тяжести сечения;

3) определить главные центральные моменты инерции J_????, J_???? ;

4) определить моменты сопротивления составного сечения относительно главных центральных осей;

5) определить радиусы инерции относительно главных центральных осей.

Рисунок 1 Составное сечение с одной осью симметрии

Исходные данные: Вариант 408408

4+0=4 двутавр 18а

0+8=8 схема VIII

Часть 1. Назначение размеров простых составляющих сложного сечения

Разбиваем сложное сечение на простые составляющие, у которых известно положение центров тяжести. Вариантов разбивки может быть несколько, при этом выбирается наиболее рациональный. В рассматриваемом примере заданное сечение можно представить, как прямоугольник (фигура 1) из которого вырезан треугольник (фигура 2) и прямоугольник (фигура 3) и добавлен двутавр (фигура 4)

Так как известны размеры только стандартного профиля, то назначение размеров простых составляющих начинаем со швеллера.

Двутавр №22 согласно ГОСТ 8240-72 имеет следующие размеры:

-ширина двутавра ??₄ = ?? ^ГОСТ= 100 мм;

-высота двутавра ?₄ = ? ^ГОСТ= 180 мм.

Так как высота прямоугольника h₁ совпадает с высотой двутавра h₄, следовательно, размеры прямоугольника примем:

-ширина прямоугольника ??₁=160 мм;

-высота прямоугольника ?₁=180 мм.

Размеры вырезанного треугольника примем:

-ширина треугольника ??₂ =50 мм;

-высота треугольника ?₂= ?₄=180 мм.

Вырезанный прямоугольник будет иметь следующие размеры:

-ширина прямоугольника ??₃ =50 мм;

-высота прямоугольника ?₃=90 мм.

Часть 2. Определение положения центра тяжести сечения

Для выполнения второй части задания применяем следующий план:

1. Определяем на основании соответствующих формул и стандартных таблиц геометрические характеристики простых составляющих сечения [3].

Геометрические характеристики двутавра 4:

-площадь

Рисунок 2. Простые составляющие сечения

-моменты инерции относительно собственных центральных осей ??₄ и ??₄

J_??4⁽⁴⁾ = 1430 см^4; J_??4⁽⁴⁾ = 114 см⁴.

Геометрические характеристики прямоугольника 1

-площадь ??₁ = ??₁ • ?₁ = 16 * 18 = 288 см²;

-моменты инерции относительно собственных центральных осей ??₁ и ??₁

Геометрические характеристики треугольника 2

-площадь

-моменты инерции относительно собственных центральных осей ??₂ и ??₂

Геометрические характеристики прямоугольника 3

-площадь ??₃ = ??₃ • ?₃ = 5 * 9 = 45 см²;

-моменты инерции относительно собственных центральных осей ??₃ и ??₃

2. Выбираем и показываем на чертеже вспомогательную систему координат, которую совместим со сторонами прямоугольника. Оси этой системы координат обозначим как ??, ??.

3. Показываем центры тяжести простых составляющих сечения, на чертеже они отмечены точками ??₁, ??_2, С₄ и ??₃ определяем координаты центров тяжести простых составляющих относительно вспомогательных осей ??, ??:

4. Вычисляем координаты центра тяжести всего сечения относительно вспомогательной системы координат:

где ??_x ⁽¹⁾, ??_x⁽²⁾,??_x⁽³⁾, ??_x⁽⁴⁾ - статические моменты простых составляющих сечения относительно вспомогательной оси X. Верхний индекс указывает на номер простой составляющей, нижний индекс обозначает название оси.

Так как сечение симметрично относительно горизонтальной оси x, то центр тяжести находится на оси симметрии сечения. Координату можно было не определять, однако приведенная формула записана в учебных целях.

где ??_y^(1), ??_y⁽²⁾, ??_y⁽³⁾, ??_y⁽⁴⁾ - статические моменты простых составляющих сечения относительно вспомогательной оси ??.

5. В соответствии с вычисленными координатами показываем на чертеже центр тяжести всего сечения С (9,65; 9) и строим центральные оси сечения ??_??, ??_?? (см. рис. 3).

6. Проверяем правильность определения координат центра тяжести сечения, для этого вычисляем статические моменты относительно центральных осей, которые в результате должны быть равны нулю.

Так как ось X_?? совпадает с осью симметрии сечения, однозначно можно утверждать, что статический момент ??_Xc равен нулю.

Определяем статический момент сечения относительно центральной оси Yc:

где x_??⁽¹⁾, x_??⁽²⁾, x_??⁽³⁾, x_??⁽⁴⁾ - ординаты центров тяжести простых составляющих сечения относительно главной центральной оси ??₂.

Рисунок 3. Графическая часть решения задачи Координату X_?? определим, используя формулу:

Приближённое равенство нулю объясняется округлением промежуточных результатов вычисления. Из проверки следует, что координаты центра тяжести сечения определены верно.

Часть 3. Вычисление главных центральных моментов инерции сечения

1. Так как сечение имеет ось симметрии (ось X_??), то эта ось является главной центральной осью. Вторая ось (ось Y_??), проходящая через центр тяжести сечения и перпендикулярная главной оси X_??, тоже будет главной центральной осью.

Определяем момент инерции сечения относительно главной центральной оси Y_??.

Поскольку сечение сложное, его момент инерции определим согласно формуле:

J_Yc = J_Yc⁽¹⁾ + J_Yc⁽⁴⁾ - J_Yc⁽²⁾ - J_Yc⁽³⁾,

где J_Yc⁽¹⁾, J_Yc⁽²⁾, J_Yc⁽³⁾, J_Yc⁽⁴⁾- моменты инерции простых составляющих сечения относительно главной центральной оси Y_??.

Так как собственные центральные оси треугольника (ось Y₂), двутавра (ось Y₄) и прямоугольника (ось Y₁) не совпадают с центральной осью Y_?? всего сечения, то для определения J_Yc применяем формулу перехода между параллельными осями.

2. Определяем расстояния между соответствующими параллельными осями сечения.

??₁ = x_?? ⁽¹⁾ = -1,65 см;

??₂ = x_??⁽²⁾ = ?7,98 см;

??₃ = x_??⁽³⁾ = 3,85 см;

??₄ = x_??⁽⁴⁾ = 11,35 см.

Тогда согласно формуле (2)

Подставив полученные значения в формулу, получим:

3. Вычисляем момент инерции сечения относительно главной центральной оси X_?? на основании формулы:

где J _Xc⁽¹⁾, J _Xc⁽²⁾, J _Xc⁽³⁾, J _Xc⁽⁴⁾- моменты инерции простых составляющих сечения относительно главной центральной оси X_??.

Поскольку собственные центральные оси простых составляющих сечения X₁, X₂, X₄ и X₃ совпадают с главной центральной осью всего сечения X_??, формула перехода между параллельными осями не требуется. Следовательно, компоненты выражения (2) определяются как:

Тогда согласно формуле:

Часть 4. Вычисление моментов сопротивления составного сечения относительно главных центральных осей

Моменты сопротивления сечения определяются с помощью формул:

где ??_?????? и ??_?????? - расстояния от главных центральных осей до наиболее удалённых точек сечения.

Анализируя чертеж сечения (см. рис. 3), определяем расстояния:

Тогда:

Часть 5. Определение радиусов инерции относительно главных центральных осей.

Главным центральным осям ??_?? и ??_?? соответствуют главные радиусы инерции:

где ?? - площадь всего сечения.

A = A₁ + A₄ - A₂ - A₃ = 223,4 см².

Тогда:

Вывод

сечение инерция сопротивление швеллер

В ходе работы мы научились определять геометрические характеристики составных сечений с одной осью симметрии и получили следующие величины:

1)Положение центра тяжести сечения:

2)Вычислили главные центральные моменты инерции сечения:

3)Вычислили моменты сопротивления составного сечения относительно главных центральных осей .

4)Определение радиусов инерции относительно главных центральных осей.

Размещено на Allbest.ru