Решение матричных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Г.И. НОСОВА»

Институт элитных программ и открытого образования

Кафедра государственного и муниципального управления и управления персоналом

Контрольная работа

по дисциплине: Математика

Бондарчук Наталья Константиновна,

студент 1 курса, группа дЭУПп-20-1

Руководитель: Пузанкова Е.А.

Магнитогорск

2021



1. Решите матричное уравнение

, где , , .

Решение:

Найдём матрицу

Найдём матрицу

Тогда данное векторное уравнение принимает вид:

Где - обратная матрица, - детерминант матрицы D, , , , - алгебраические дополнения.

Вычисляем обратную матрицу:

Умножаем матрицы и :

Ответ:

2. Решите систему

а) по формулам Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы.

Решение:

а) Решаем систему уравнений по формулам Крамера.

Составляем матрицу данной системы уравнений:

Вычисляем определитель этой матрицы:

Находим определители , , получающиеся из исходного определителя заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов .

Теперь, используя формулы Крамера, находим решения системы:

Ответ:

б) Решаем систему уравнений методом Гаусса.

Применим метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

Сведём систему к треугольной форме.

Вместо третьего уравнения запишем разность второго и третьего уравнения:

Вместо первого уравнения запишем разность первого и третьего уравнений:

Умножаем первое уравнение на -6 и вместо второго уравнения пишем сумму первого и второго, а первое уравнение записываем таким, как оно было до умножения:

Умножаем первое уравнение на -2 и вместо третьего уравнения пишем сумму первого и третьего, а первое уравнение записываем таким, как оно было до умножения:

Умножаем второе уравнение на 2:

Вместо второго уравнения записываем разность второго и третьего:

Умножаем второе уравнение на -5 и вместо третьего уравнения пишем сумму второго и третьего, а второе уравнение записываем таким, как оно было до умножения:

Делим третье уравнение на 2:

Это и есть система уравнений в треугольной форме.

Переходим к уравнениям, начиная с первого и третьего:

Подставляем найденные значения во второе уравнение и находим :

Ответ:

б) Решаем систему уравнений с помощью обратной матрицы. Составим А главную матрицу системы:

Составим В матрицу свободных членов системы:

Запишем матрицу неизвестных величин.

Заменим систему уравнений матричным уравнением:

Получаем:

Где - обратная матрица, детерминант матрицы А, - алгебраические дополнения.

Вычисляем обратную матрицу:

Умножаем матрицы и :

Ответ:

3. Даны координаты вершин пирамиды

матричное уравнение функция интеграл

Найти

1) длину ребра ;

2) угол между ребрами и ;

3) площадь грани ;

4) объём пирамиды;

5) уравнение плоскости .

Решение:

1) Пусть тогда длина ребра вычисляется по формуле:

Подставим координаты соответствующих вершин и вычислим длину ребра :

Ответ:

2) Найдём координаты векторов и :

Пусть , тогда косинус угла между векторами и вычисляется по формуле:

Подставим координаты соответствующих вершин и вычислим косинус угла между векторами и :

Тогда

Ответ:

3) Найдём координаты векторов и :

Пусть , тогда площадь грани вычисляется по формуле:

.

Ответ:

4) Запишем координаты векторов , и :

Пусть и , тогда объём пирамиды вычисляется по формуле:

Ответ:

5) Пусть и тогда уравнение плоскости имеет вид:

Ответ:

4. Найдите производные функций

а) ,

б) ,

в) ,

г) Найдите , .

Решение:

а) .

Применим формулы производных:

;

Ответ:

б)

Применим формулы производных:

;

Ответ:

в)

Применим формулы производных:

Ответ:

г) Найдём функции .

Применим формулы производных:

;

Ответ:

5. Исследуйте функцию и постройте график

Решение:

1. Областью определения функции является

2. Четность функции по определению проверяется как выполнение условия:

, или Проверим:

функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Исследуем функцию на разрыв. х=0 точка разрыва, поскольку она не входит в область определения. Найдём левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке.

Следовательно, - точка разрыва второго рода.

4. Вертикальные асимптоты ищем в точках разрыва или на конечных концах её области определения. У данной функции по определению - вертикальная асимптота, что следует с предыдущих пределов.

5. Исследуем функцию на горизонтальные и наклонные асимптоты Вычисляем пределы применив правило Лопиталя

Следовательно - наклонная асимптота.

6. Точки экстремумов:

a) найдём первую производную исходной функции:

б) найдём точки, в которых

в) интервалы возрастания и убывания определим, исследуя знак производной слева и справа от найденных точек:

- возьмем точку левее -1, например, , значение производной в ней:

, т.е функция на интервале возрастает;

- возьмем точку из интервала , например, , значение производной в ней: , функция на интервале убывает;

- возьмем точку правее 0, например, , значение производной в ней:

, следовательно, функция на интервале возрастает.

Итак, точка является экстремумом функции и, кроме того, в промежутке слева от нее производная , a справа - следовательно, точка является точкой максимума.

Найдём значение функции в точке :

7. Интервалы выпуклости функции и точки перегиба:

а) найдём вторую производную функции:

б) найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует:

Следовательно, точек перегиба нет.

в) исследуем знак второй производной. При , т.е функция на интервале выпуклая вверх;

При , т.е функция на интервале вогнутая (выпуклая вниз).

8. Для нахождения точек пересечения графика с координатными осями находим значение функции . При - получим точку пересечения с осью оу, затем положить и, решаем уравнение:

Получаем точки пересечения с осью ох .

9. Строим график функции. (Рис. 1).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

6. Вычислите интегралы

а) ; б) ; в) ;

г); д) .

Решение:

а) .

Упростим подинтегральное выражение и проинтегрируем, используя табличные интегралы:

Ответ:

б)

Вынося постоянный множитель за знак интеграла, применим метод внесения функции под знак дифференциала:

Ответ:

в)

Применим метод интегрирования функции по частям и метод внесения функции под знак дифференциала:

Ответ:

г);

Применим метод внесения функции под знак дифференциала и формулу Ньютона Лейбница:

Ответ:

д) .

Применим метод внесения функции под знак дифференциала и метод интегрирования функции по частям:

Ответ:

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

, , .

Решение:

Построим фигуру, площадь которой ограничена заданными линиями (Рис. 2).

, , .

Первая функция парабола ветвями вниз. Для построения второй параболы найдём её вершину:

Следовательно, координаты вершины второй параболы (0; -3,5). Найдём точки пересечения графиков:

Следовательно, координаты точек пересечения графиков будут:

Строим графики заданных парабол. На графике, учитывая симметрию, показываем фигуру, площадь которой нужно вычислить Рис. 2.

Применив формулу площади криволинейной трапеции и формулу Ньютона-Лейбница. Учитывая, что фигура находится под осью ох, получаем:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ответ:

8. Найти частные производные первого порядка функции

Решение:

Ответ:

9. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Решение:

Найдём частные производные первого порядка:

Найдём частные производные второго порядка:

Подставим найденные производные второго порядка в заданное уравнение и покажем, что функция удовлетворяет этому уравнению:

Ответ: Функция удовлетворяет заданному уравнению.

10. Исследовать на экстремум функцию двух независимых переменных

Решение:

Находим частные производные первого порядка:

Воспользовавшись необходимым условием существования экстремуму, находим критические (стационарные) точки.

Получаем критические точки: и

Исследуем эти точки на экстремум с помощью достаточного условия существования экстремума:

а) если и , то в точке функция имеет максимум;

б) если и , то в точке функция имеет минимум;

в) если , то экстремума нет;

г) если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Вычисляем частные производные второго порядка:

Подставляя координаты критической точки , получаем:

Тогда , следовательно, в точке экстремума нет.

Подставляя координаты критической точки , получаем:

Тогда , следовательно, в точке функция имеет максимум.

Найдём максимальное значение функции:

Ответ: Функция имеет максимальное значение в точке ,

11. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины

Решение:

Если среди отобранных лиц окажутся три женщины, то вместе с ними отобрано и четыре мужчины. Применяя формулы комбинаторики найдём количество способов отбора 3 женщин с 4 работающих в цехе:

Найдём количество способов отбора 4 мужчин с 6 работающих в цехе:

Найдём общее количество способов отбора 7 человек с 10 работающих в цехе:

Найдём вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины:

Ответ:

12. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка - 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков

Решение:

Введём в рассмотрение следующие события:

А = {Цель поразил первый стрелок};

В = {Цель поразил второй стрелок}

Найдём вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Где

- вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка;

- вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка;

- вероятность попадания в мишень при одном выстреле для второго стрелка;

- вероятность промаха при одном выстреле для второго стрелка.

Тогда получаем:

Ответ:



13. Дан закон распределения дискретной случайной величины

x:	200	240	280	320	360
p:	0,15	0,2	0,45	0,1	0,1

вычислить её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Вычисляем математическое ожидание для случайной величины Х по формуле:

Вычисляем дисперсию для случайной величины Х по формуле:

Вычисляем среднее квадратическое отклонение для случайной величины х по формуле:

Ответ:

Размещено на Allbest.ru

...