Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. КАНТА»

ИНСТИТУТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК И

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Реферат

Задача Бюффона

Работу выполнил

Магистрант 1 курса

Направления «Математика»

Поткина А.А.

Научный руководитель -

Доцент с ученой степенью кандидат наук

Кулешов А.В.

Калининград

2022

Оглавление

• Введение
• Биография
• Опыт Бюффона. Доказательство формулы
• Опытная проверка формулы
• Заключение
• Список используемой литературы

Введение

История науки показывает, что все ее отрасли по мере своего развития приходят к необходимости учитывать случайные отклонения от закономерностей и использовать их влияние на течение изучаемых процессов. Случайность в окружающем нас мире существует объективно, вследствие принципиальной невозможности учесть все причинные связи изучаемых явлений с бесчисленным множеством других явлений. При развитии науки границы между случайностью и закономерностью изменяются по мере расширения человеческих познаний: то, что являлось случайностью на одном этапе науки, может стать закономерностью на другом ее этапе и, наоборот, в явлениях, которые считались строго закономерными, вследствие совершенствования теории и техники эксперимента, повышения точности определения закономерностей обнаруживаются случайные отклонения от них и возникает необходимость учитывать эти случайные отклонения.

Задача Бюффона об игле была сформулирована в 1733 году, а опубликована вместе с решением только в 1777. Это классическая задача теории геометрических вероятностей, по праву считающаяся исходным пунктом развития этой теории. Появление геометрических вероятностей стало выдающимся событием в науке. Оно способствовало формированию нового языка, стиля и облика теории вероятностей. Благодаря геометрическим вероятностям возникла и бурно развивается интегральная геометрия. Классические результаты Бюффона лежат в основе современного и весьма универсального метода статистического моделирования. В последние годы геометрические вероятности успешно применяются в конечно-элементном анализе.

Биография

Жорж Луи Бюффон (1707-1788) -- французский натуралист, биолог, математик, естествоиспытатель и писатель

Родился 7 сентября 1707 г. в Монбаре (Бургундия). Отец, Бенжамен Леклер, бывший советник парламента в Дижоне, дал сыну блестящее воспитание. В юности Бюффон вместе с молодым герцогом Кингстоном путешествовал по Франции и Италии. Потом отправился в Англию, где перевёл «Теорию флукций» И. Ньютона.

Он выступал и с собственными статьями математического содержания. В 1733 г. Бюффона избрали членом Королевской Академии естественных наук. В 1739 г. учёный был назначен интендантом королевского ботанического сада.

Наиболее заметным трудом натуралиста стала многотомная «Естественная история животных» (1749--1783 гг.), где помимо описаний млекопитающих, птиц, рыб (большей частью систематизированных по литературным источникам) приведены гипотезы, касающиеся происхождения Земли, рассуждения по антропологии и т. д.

Этот фундаментальный труд, имеющий сейчас в основном историческую ценность, был в своё время довольно популярен в научном мире и переведён почти на все европейские языки. Бюффон умер 16 апреля 1788 г. в Париже.

До конца жизни он пользовался благосклонностью монархов -- французский король Людовик XV возвёл учёного в графское достоинство, а Людовик XVI ещё при жизни Бюффона почтил его бюстом, который был поставлен у входа в королевский естественноисторический кабинет.

Опыт Бюффона. Доказательство формулы

Рассмотрим известный опыт Бюффона с иглой по определению числа «пи».

На разграфлённый параллельными равноотстоящими прямыми лист бумаги бросается игла. Если длина иглы меньше расстояния между линейками a, то вероятность события «Игла пересечёт линейку» будет равна

-формула Бюффона.

По своей простоте этот опыт доступен каждому. Стоит бросить иглу несколько сотен раз, чтобы получить для р довольно близкое значение. Заметим, что плоскость с нанесёнными на ней параллелями должна быть горизонтальна и падению иглы надо придать случайный характер, для чего бросать её вверх нужно так, чтобы она падала почти вертикально на один из своих концов.

Рассмотрим задачу более подробно:

Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросают иглу длины 2l (2l?2а), ц - угол. Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Решение

Графически задачу Бюффона можно представить следующем образом:

Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления.

Причём две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга. Обозначим расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а -- угол между направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника .

Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: . Тогда можно найти вероятность через вычисления интеграла:

Опытная проверка формулы

Немецкий профессор Рудольф Вольф произвёл опытную проверку формулы в задаче Бюффона. В опытах Вольфа ширина между параллельными прямыми была a = 45 мм, длина бросаемой иглы l =36мм. Вероятность пересечения иглой параллельных прямых по формуле Бюффона в этом случае будет = ?0,5093

Игла была брошена 5000 раз, причём пересекла параллели 2532 раза. Таким образом, частота события оказалась равной ?0,5064, что довольно близко к вероятности 0,5093, вычисленной по формуле.

Результатом опыта Вольфа можно было бы воспользоваться для приближённого вычисления числа р. Допустив на основании теоремы Бернулли (По мере увеличения числа опытов относительная частота события приближается к его вероятности) приближённое равенство =

находим для р величину: 3,1595…, которая отличается от истинной менее чем на 0,02.

Впоследствии такие опыты были повторены несколько раз и привели к следующим результатам:

M. A. Smith (1855 г.) -- 3204 бросаний -- р?3,1553;

Fox (1894 г.) -- 1120 бросаний -- р?3,1419;

Lazzarini (1901 г.) -- 3408 бросаний -- р?3,1415929.

Для вычисления числа р этим замечательным по оригинальности способом формулу Бюффона можно упростить, если расстояние a между параллельными прямыми взять в два раза больше длины иглы l: a =2l. Тогда или Р=, откуда р=

Если игла брошена n раз и пересечение произошло m раз, то, допуская по теореме Бернулли приближённое равенство между вероятностью Р и частотой : P?подставив значение Р в равенство р= , получим р?

Таким образом, приближённое число р найдётся, если число n всех бросаний иглы разделить на число m случаев, когда игла пересекла параллельные прямые.

В следующей сводной таблице приведены известные в настоящее время результаты экспериментов при решении задачи Бюффона об игле.

Таблица

Заключение

бюффон опыт доказательство формула

По своей простоте этот опыт доступен каждому. Стоит бросить иглу несколько сотен раз, чтобы получить для р довольно близкое значение. Заметим, что плоскость с нанесёнными на ней параллелями должна быть горизонтальна и падению иглы надо придать случайный характер, для чего бросать её вверх нужно так, чтобы она падала почти вертикально на один из своих концов.

Знаменитая задача «об игле» представляет исключительный интерес. Идеи Бюффона стимулировали возникновение и развитие геометрической вероятности, создали теоретический фундамент метода Монте-Карло. Первое обобщение задачи «об игле» принадлежит самому Бюффону. К сожалению, Бюффон не нашел правильного решения обобщенной задачи. Это не удивительно. В математике нет другого такого раздела, в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей. Правильное решение удалось получить Лапласу. Представляет интерес анализ причин возникновения «ошибочных» решений. «Ошибочными» мы называем решения, не совпадающие точно с решение Лапласа. «Ошибки» являются результатом некоторой предвзятости авторов, которая нередко допускается в математическом (в особенности, стохастическом) моделировании. Понятно, что качество решения нетрудно установить по экспериментальном оценкам знаменитой константы.

Сейчас, конечно, никто иголку не бросает, а число р вычислено уже далеко за 10 триллионов знаков. Забавно, что такая точность и близко не нужна для практических вычислений -- по оценкам, достаточно знать р примерно до 40-го знака после запятой, чтобы точно рассчитать объём видимой Вселенной с точностью до одного атома. Так что вычисление р с такой точностью -- это, скорее, гонка за рекордами и соревнование суперкомпьютеров.

Список используемой литературы

1. В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр

2. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей. - М.: Просвещение, 1990.

Размещено на Allbest.ru