Велика теорема Ферма
Вклад робіт Ферма на розвитку нових галузей в математиці: математичного аналізу, аналітичної геометрії, теорії вірогідності. Поява теорії з'єднань - комбінаторики. Велика теорема Ферма, історія її доведення. Спроби вирішення цієї математичної проблеми.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 03.05.2022 |
| Размер файла | 21,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Біографія Ферма
П'єр Ферма жив з 1601 по 1665 рік. Був він сином одного з численних торговців у Франції, здобув юридичну освіту і працював спочатку адвокатом, а згодом став навіть радником парламенту. Його службові обов'язки, далекі за змістом від математичних наук, залишали йому досить дозвілля, яке Ферма і присвячував заняттям математичними дослідженнями. Завдяки своїм природним здібностям і наполегливості, необхідній при роботі над питаннями математики, Ферма добився значних результатів в різноманітних її областях. Але не тільки математикою був він сильний: в області фізики, наприклад, ним сформульований основний принцип геометричної оптики, відомий під назвою «Принципу Ферма».
Ферма своїми роботами сприяв розвитку нових галузей в математиці: математичного аналізу, аналітичної геометрії (одночасно з Декартом), теорії вірогідності.
Головним внеском Ферма в алгебру є поява розвиненої ним теорії з'єднань або, як її ще називають, комбінаторика. Окремі завдання теорії з'єднань були вирішені вже в давнину греками і індійцями, але наукова постановка цих питань виникла лише в XVII столітті в роботах Ферма і його сучасника, знаменитого французького філософа, математика і фізика Блеза Паскаля. Виходячи з основ комбінаторики, ці два учених і поклали початок новій математичній науці, званою теорією вірогідності, що отримала в XVIII столітті значну теоретичну базу, при цьому вона почала набувати всього більшого поширення і використовуватися в різних областях науки і практичної діяльності. Перш за все, вона була застосовна до питань страхування, а надалі область її застосування все розширювалася і розширювалася.
Багато уваги Ферма також приділяв і питанню про магічні квадрати. Ці квадрати спочатку сталі відомі індійцям і арабам, і вже тільки в епоху середніх століть вони з'явилися в Західній Європі. Різні математики зацікавилися дослідженнями їх властивостей, це сприяло розвитку деяких математичних теорій. Ще Мезіріак знайшов способи складання магічних квадратів з непарним числом кліток, а вже Ферма розповсюдив ідею складання магічних квадратів на простір, тобто поставило питання про складання кубів, що володіють властивостями, аналогічними властивостям магічних квадратів.
Велика теорема Ферма
Велимка теоремма Фермам (Observatio Domini Petri de Fermat, остання теорема Ферма) -- твердження, що для довільного натурального числа n xn+yn=zn (рівняння Ферма) не має розв'язків у цілих числах, відмінних від нуля.
Зустрічаються більш вузькі варіанти формулювання, один з яких стверджує, що це рівняння не має натуральних коренів. Однак очевидно, що якщо існують корені в цілих числах, то існують і в натуральних числах. Справді, нехай a, b, c -- цілі числа, що задовольняють рівняння Ферма. Якщо n парне, то |a|, |b|, |c| теж будуть коренями, а якщо непарне, то перенесемо всі степені з від'ємними значеннями в іншу частину рівняння, змінивши знак. Наприклад, якби існував розв'язок рівняння a3+b3=c3 і при цьому, a від'ємне, а інші додатні, то b3=c3+(|-a|)3, і отримуємо натуральні розв'язки c, |a|, b. Тому обидва обидва формулювання еквівалентні.
У загальному вигляді теорему сформулював П'єр Ферма в 1637 році на полях «Арифметики» Діофанта 1670 року.
Історія доведення Великої теореми Ферма
Справа в тому, що Ферма записував свої гіпотези на полях математичних трактатів. Теорему, про яку йде мова, він записав з припискою, що знайдене ним доведення цієї теореми надто довге, щоб його можна було помістити на полях цієї книги.
Після формулювання Великої теореми для випадку n = 3 цю теорему в X столітті намагався довести Ал-Ходжанді, але його доведення до наших днів не збереглося.
Пізніше Ферма опублікував доведення для випадку n=4, що дає підстави для сумнівів, чи було у нього доведення для загального випадку.
Леонард Ейлер в 1770 році довів теорему для випадку n=3, Діріхле та Лежандр в 1825 -- для n=5, Габрієль Ламе -- для n=7. Ернст Куммер довів, що теорема справедлива для всіх простих n, менших за 100, за можливим винятком так званих іррегулярних простих 37, 59, 67.
Над повним доведенням Великої теореми працювало чимало видатних математиків і безліч дилетантів-аматорів; вважається, що теорема стоїть на першому місці за кількістю некоректних «доказів». Давид Гільберт у своїй доповіді «Математичні проблеми» на II Міжнародному конгресі математиків (1900р.) зазначив, що пошук доведення для цієї, здавалося б, малозначної теореми, привів до отримання багатьох важливих глибоких результатів у теорії чисел. Отож, і сучасна теорія чисел завдячує цій теоремі.
У 1908 році німецький математик Пауль Вольфскель заповів 100 тис. німецьких марок тому, хто доведе теорему Ферма. Однак після Першої світової війни премія знецінилася.
Отож, про доведення теореми Ферма було оголошено влітку 1993 року. Під час триденної лекції в Інституті сера Ісаака Ньютона у Кембріджі Ендрю Вайлс озвучив основні принципи доведення гіпотези Таніями-Сімури, наслідком якої було доведення і Великої теореми Ферма. Але, коли рукописи з детальним доказом було передано на рецензування, в одному з розділів було знайдено суттєву помилку. Остаточне доведення теореми було здійснено Ендрю Вайлсом за участі Річарда Тейлора тільки 1995 року. 129-сторінкове доведення було надруковане у журналі «Annals of Mathematics».
У 2016 році за доведення Великої теореми Ферма Ендрю Вайлс отримав премію Абеля.
Колін Мак-Ларт зазначив, що, можливо, доказ Вайлса вийде спростити, щоб не припускати існування так званих «великих кардиналів».
Узагальнення теореми Ферма
Узагальненнями теореми Ферма є спростована гіпотеза Ейлера 1769 р. (для будь-якого натурального числа n>2 жодний n-ний степінь натурального числа не можна подати у вигляді суми (n-1) n-них степенів інших натуральних чисел ) і відкрита гіпотеза Ландера - Паркіна - Селфріджа:
Неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрати, ні взагалі довільний степінь, більший від квадрата, на два степені з еквівалентним показником. Я відкрив цьому воістину чудове доведення, але ці поля для нього занадто малі.
У 1966 Л. Ландер (L.J. Lander) і Т. Паркін (T.R. Parkin) знайшли перший контрприклад до гіпотези Ейлера:
275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.
У 1988 Ноам Елкіс знайшов контрприклад для випадку n=4:
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734.
Пізніше Роджер Фрай (Roger Frye) знайшов найменший контрприклад для n=4:
958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814.
Німецький математик Герхард Фрай припустив, що Велика теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями -- Сімура -- Вейля (це припущення було доведено Кеном Рібет):
Теорема про модулярність (до 2001 року (повне доведення було отримано в 1999 році) теорема називалася гіпотезою Таніями -- Сімура -- Вейля) -- математична теорема, що встановлює важливе співвідношення між еліптичними кривими над полем раціональних чисел і модулярними формами, які є певними аналітичними функціями комплексної змінної.
Теорема про модулярність, наслідком якої є Велика теорема Ферма, входить в програму Ленглендса, яка, зокрема, спрямована на пошук взаємозв'язку автоморфних форм або автоморфних представлень (зручне узагальнення модулярной форми) з більш загальними об'єктами алгебричної геометрії, такими як еліптичні криві над полем алгебричних чисел. Більшість гіпотез в рамках даної програми поки не доведено.
Висновки і роздуми про Велику теорему Ферма
Отже, так багато математиків і не математиків за весь минулий час з часів П.Ферма бралися за вирішення цієї математичної проблеми. Бралися, але безуспішно! Ніхто не міг отримати той «очікуваний» математичний результат, який колись описав сам Ферма на полях книги «Арифметика» давньогрецького Діофанта.
Дехто вважає, що, можливо, Ферма свого часу знайшов суворе і елементарне доведення своєї теореми, яку згодом, як відомо, «охрестили» як «Велику».
І ось «на заході сонця» 2-го тисячоліття (десь у 1993-1995 рр.) якийсь британець Ендрю Вайлс (США) виступив із заявою, що він вирішив цю математичну проблему і нібито довів «гіпотезу Ферма». При цьому свій доказ Вайлс позначив не інакше як «доказ ХХ-го століття», кажучи, що його можливо було здійснити тільки в ХХ-столітті - і не раніше!
Але тоді як бути з П'єром Ферма, який ще в Середні століття заявив: «Він знайшов чудовий доказ»...? Нам тепер визнати і записати Ферма в брехуни?
Стоп, стоп, не треба поспішати. Справа в тому, що Вайлс своїм «доказом ХХ-го століття» тільки підтвердив один математичний факт, а саме: «у математиці сума двох цілих (!!) чисел однакового степеня у вигляді цілого числа більше 2 завжди дорівнює ірраціональному числу у тому ж степені». По суті - це і є «рівняння Ферма», а саме, m k + n k = w k, де m, n - цілі числа; k - ціле число більше 2; w - ірраціональне число.
Здавалося б - Ура, ура Вайлсу! Знайдено «доведення»! І принаймні багато хто «поплескав» на честь закриття вікової проблеми і «розпили пляшку шампанського» (див. книгу С. Сінгха).
Але кострубата «заковика» ось у чому: «рівняння Ферма» має розв'язок не тільки тоді, коли додають степенні «цілі числа», а й тоді, коли додають «інші» числа, наприклад, ірраціональні!
Навести числовий приклад? Будь ласка: 2 3 + ( (7) ^ 1/3 ) 3 = ( (15) ^ 1/3 ) 3 . Або інший приклад: ( (3)^1/3 )3 + ((5)^1/3)3=23.
У першому числовому прикладі два доданих - ціле число в степені і ірраціональне число у тому ж степені. Результат - ірраціональне число у тому ж степені.
У другому числовому прикладі: додають два ірраціональних числа в одному і тому ж степені. Результат - ціле число у тому ж степені!
Ну як, пане Вайлз - розмахнися! Доведи існування цих математичних числових прикладів (нехай навіть за «гіпотезою Ферма»). У нас це не вийшло, якщо застосувати методику «доведення ХХ-го століття». А простіше - вийшла математична «галімація»; вийшло, що в математиці ці числові приклади ніби «не існують»! Але так не може бути!
Звідси висновок - «доведення ХХ-го століття» британця Е. Вайлса (Прінстонський університет, США) просто «липа»; воно не дає повною мірою математичне підтвердження рішень усіх «рівнянь Ферма». А це і означає, що Велика теорема Ферма (або нехай навіть по-Вайлсу «гіпотеза Ферма») не доведена!
Сучасний стан Великої теореми Ферма
Велика теорема Ферма не доведена! Ми все ще очікуємо її доведення - простого, найпростішого, елементарного доведення «Великої теореми Ферма». На те доведення, яке колись пропонував сам великий математик П'єр Ферма.
Наприкінці ХХ ст. став приголомшуючим факт, що Велика теорема Ферма і знаменита гіпотеза Рімана про розподіл нулів дзета-функції є наслідками однієї й тієї ж математичної схеми. Це є проявом універсалізму математики.
ферма математика теорема комбінаторика
Література
1. Постников М.М. Теорема Ферма. -- М. : Наука, 1978. -- 130 с.
2. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей = Fermat's Last Theorem for Amateurs. -- М.: Мир, 2003. -- 429 с.
3. Сингх С. Великая теорема Ферма = Fermat's Last Theorem. -- М.: МЦНМО, 2000. -- 288 с.
4. Хинчин А.Я. Великая теорема Ферма. -- М.-Л.: Госиздат, 1927. -- 76 с.
5. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма: Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел = Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. -- М.: Мир, 1980. -- 486 с.
6. Теорема Ферма. Крах доказу ХХ-го століття (publish.com.ua) - Wikiwand
7. Велика теорема Ферма (ua-referat.com)
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Короткий нарис життя, особистісного та творчого становлення відомого французького математика П'єра Ферма. Історія розробок та формування Великої теореми Ферма, її призначення та сфери використання. Доказ першої та другої леми, доведення для показника 4.
реферат [17,0 K], добавлен 06.10.2009Великий математик П’єр Ферма. Історія виникнення теореми Ферма-Ойлера. Способи її доведення Лагранжем та Д. Цагиром. Інволютивність перетворення трійки натуральних чисел. Єдиність та кількість представлення простого числа у вигляді суми двох квадратів.
курсовая работа [39,4 K], добавлен 08.05.2014Краткая биографическая справка из жизни Пьера Ферма. Общее понятие про правильные многоугольники. Числа математика, их история. Великая теорема Ферма, случаи доказательства. Особенности облегченной и малой теоремы. Роль математики в деятельности Уайлсома.
контрольная работа [501,2 K], добавлен 14.06.2012Утверждение великого французского математика Пьера Ферма, получившее название "Великая теорема Ферма". Элементарные алгебраические преобразования многочленов. Коэффициенты полиномов Чебышева и формулы Абеля. Система наименьших вычетов по модулю K.
книга [150,6 K], добавлен 07.01.2011Содержание теоремы Ферма о ненулевых решениях уравнения вида xn+yn=zn в натуральных числах при значениях n>2. Доказательство теоремы Декартом, Эйлером, Уайлсом. Разработка основ дифференциального исчисления и теории вероятности - научные достижения Ферма.
реферат [13,2 K], добавлен 01.12.2010Знакомство с Пьером де Ферма - французским математиком, одним из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Разработка способов систематического нахождения всех делителей числа. Великая теорема Ферма.
презентация [389,1 K], добавлен 16.12.2011Основные понятия и результаты, связанные с теорией диофантовых уравнений, теорией эллиптических кривых и abc-гипотезой. Метод бесконечного спуска и доказательство теоремы Ферма для n=4. Анализ выводов К. Рибета Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы.
дипломная работа [351,4 K], добавлен 26.05.2012Два варианта доказательства теоремы. Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству, что и доказывает теорему.
статья [74,0 K], добавлен 14.04.2007Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4. Доказательство.
статья [38,5 K], добавлен 30.04.2008Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма.
статья [16,4 K], добавлен 17.10.2009Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.
статья [26,6 K], добавлен 28.05.2009Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009Доказательство утверждения "Уравнение al+bq=cq (где l и q больше или равно 3) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b и c таких, чтобы a - было четным, b и c - нечетными целыми числами". Частный случай теоремы Ферма.
творческая работа [856,3 K], добавлен 08.08.2010Доказательство великой теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений и методов замены переменных. Теорема о единственности разложения на простые множители целых составных чисел.
статья [29,4 K], добавлен 21.05.2009Великая (большая и последняя) теорема Ферма, ее доказательство для простых показателей. Целочисленные решение уравнения Пифагора в "Арифметике" Диофанта. Формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел. Преобразование уравнения Ферма.
реферат [29,1 K], добавлен 19.11.2010Исследование доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y.
статья [20,8 K], добавлен 29.08.2004Основные обозначения и понятия, относящиеся к множествам, операции над ними. Объединение, пересечение и разность двух множеств и непринадлежность к нему элемента. Первая и вторая теорема Вейерштрасса, Ферма и Ролля. Вычисление интеграла вероятности.
контрольная работа [389,2 K], добавлен 12.12.2010Пьер де Ферма сделал почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта. Натуральные взаимно простые числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1. Пример справедливости приведенного доказательства.
статья [31,8 K], добавлен 19.12.2006Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010Идея элементарного доказательства великой теоремы Ферма исключительно проста: разложение чисел a, b, c на пары слагаемых, группировка из них двух сумм U' и U'' и умножение равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 1
статья [12,9 K], добавлен 07.07.2005
