Фракталы в изобразительном искусстве

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проект по математике на тему:

«Фракталы в изобразительном искусстве»

Выполнил:

Качигина А.В.

Введение

Иногда математические формулы способны заменить кисти, краски и холсты. И здесь, на пересечении точных наук и фантазий художников рождается новое, но уже популярное искусство - фрактальное.

Сегодня вряд ли можно найти человека, занимающегося или интересующегося наукой, который не слышал бы о фракталах. При упоминании о них живо представляешь себе великолепные, граничащие с произведениями искусства, изображения фрактальных множеств, напоминающие то дерево или кустарник, то сетку трещин на асфальте или морозные узоры на окне, то острова в океане или облака на небе, то вообще что-то такое, чему трудно подобрать сравнение. Глядя на них трудно поверить, что это не творения природы и за ними скрываются математические формулы. Фракталы поразительно напоминают объекты живой и неживой природы вокруг нас. Любопытную мысль приводит в своей книге "Фрактальная геометрия природы" американский математик Бенуа Мандельброт: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности.

Математические формулы вырываются за пределы науки и начинают использоваться при создании произведений искусства - изображений, видеороликов или музыки. Фрактальная живопись может быть представлена как на экране телевизора или мониторе компьютера, так и в классическом варианте - на холсте или бумаге.

Цель исследования: фракталы в изобразительном искусстве, что такое фрактал, способы их происхождения и их типы.

1. Что такое фракталы

Фрактал -- сложная геометрическая фигура, обладающая свойством подобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность.

Впервые о фрактальной геометрии заговорили в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии. Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

В 20 веке Бенуа Р. Мандельброт, математик из Исследовательского центра им. Томаса Уотстона при IBM - отец современной фрактальной геометрии, который и предложил термин "фрактал" для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии. Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого.

геометрический фрактал стохастический подобие

2. История происхождения фракталов

Заслуживает внимания тот факт, что появление фракталов (еще не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало и в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, представляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих ученых. Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».

3. Типы фрактал

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

· геометрические фракталы

· алгебраические фракталы

· системы итерируемых функций

· стохастические фракталы

Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к это набору отрезков применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и, если мы проведем бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского.

Снежинка Коха

Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны.

Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: иллюстрирацией алгебраического фрактала является множество Мандельброта. Для его построения нам необходимы комплексные числа.

Систем Итерируемых Функций

Появилось этот метод в середине 80-х годов как простое средство получения фрактальных структур.

IFS представляет собой систему функций из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое. Наиболее простая IFS состоит из аффинных преобразований плоскости:

X' = A*X + B*Y + C

Y' = D*X + E*Y + F

В 1988 году известные американские специалисты в теории динамических систем и эргодической теории Барнсли и Слоан предложили некоторые идеи, основанные на соображениях теории динамических систем, для сжатия и хранения графической информации. Они назвали свой метод методом фрактального сжатия информации. Происхождение названия связано с тем, что геометрические образы, возникающие в этом методе, обычно имеют фрактальную природу в смысле Мандельброта.

На основании этих идей Барнсли и Слоан создали алгоритм, который, по их утверждению, позволит сжимать информацию в 500-1000 раз. Теоретическое обоснование метода изложено в 1]. Вкратце метод можно описать следующим образом. Изображение кодируется несколькими простыми преобразованиями (в нашем случае аффинными), т.е. коэффициентами этих преобразований (в нашем случае A,B,C,D,E,F).

Стохастические фракталы

Третьей крупной разновидностью фракталов являются стохастические фракталы, которые образуются путем многократных повторений случайных изменений каких-либо параметров. В результате итерационного процесса получаются объекты очень похожие на природные фракталы -- несимметричные деревья, изрезанные лагунами береговые линии островов и многое другое. Двумерные стохастические фракталы используются преимущественно при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Размещено на Allbest.ru