Дослідження імітації одновимірних вибірок із використанням поліноміальних сплайнів

Размещено на http://allbest.ru

8

Національний авіаційний університет

Дослідження імітації одновимірних вибірок із використанням поліноміальних сплайнів

Зівакін В.Д. - молодший науковий співробітник,

Анотація

Зокрема, моделювання не роботи деякої системи, а саме послідовностей даних певного вигляду могло б вирішити проблему нестачі таких даних (наприклад, у машинному навчанні), що є актуальним в разі роботи у багатовимірних просторах. За імітаційного моделювання вибірок перше, з чого необхідно починати, - це модель розподілу, яку необхідно отримати.

Модель може бути визначена деяким аналітичним законом розподілу (нормальним, Вейбула, рівномірним тощо), і в цьому вона залежить від параметрів (параметрична модель). Зазвичай обирають такі моделі, щоб їхні параметри мали деяку змістовну інтерпретацію (a, b - початок та кінець інтервалу в рівномірному розподілі; А - інтенсивність в експоненціальному тощо). Іншим класом моделей, що відтворюють функції розподілу, є непараметричні (ядерні методи, гістограмні оцінки емпіричної функції розподілу, сплайн-апроксимація).

Основною проблемою методів, які ґрунтуються на параметрах, є обмеженість, що особливо простежується в двох випадках:

1. За моделювання багатовимірних даних - у цьому випадку робота завжди призводить до переходу до багатовимірного нормального розподілу.

2. За моделювання неоднорідних вибірок, які є сумішшю декількох розподілів (необов'язково з одного класу), усічених або тих, що містять пропуски спостережень.

У такому контексті використання параметричних моделей об'єктивно є неможливим у чистому вигляді. Отже, наявність інструменту, який добре апроксимує неоднорідні дані, є бажаною для вирішення завдання генерації неоднорідних багатовимірних сукупностей.

Ключові слова: моделювання, імітація, дані, сплайн, щільність розподілу, гістограмна оцінка, апроксимація.

Abstract

Models are usually chosen so that their parameters carry some meaningful interpretation (a, b - the beginning and end of the interval in a uniform distribution, А - intensity in exponential, etc.).

Another class of models that reproduce distribution functions are nonparametric (nuclear methods, histogram estimates of the empirical distribution function, spline approximation). The main problem with parameter- based methods is limited, especially in two cases:

Після описаної вище процедур и для кожного випадку «пара параметрів - кількість у першочерговій вибірці» сформовано по дві вибірки відносних похибок. Параметр бета (тобто параметр форми) в цьому випадку є більш важливим, тож на рис. 2 та 3 відображено графіки зміни усередненої відносної похибки оціненого параметра бета у модельованій та імітованій вибірках, відповідно, зі зростанням кількості елементів у першій вибірці. Для відновлення функції щільності за допомогою сплайнів важливою є початкова кількість точок, тобто кількість класів, на яку розбивається перш а вибірка. Насамперед була використана стандартна формуоа розбиття, яка базується на кількості елементів у вибірці:

де n - кількість класів;

N -- кількість елементів у вибірці; [?] - ціла частина.

За такого розбиття першої вибірки та подальших дій відповідно до алгоритму були отримані вибірки, усереднені відносні похибки оцінок параметра бета яких представлено на рис. 2.

Як видно з графіків на рис. 2, отриманий результат був незадовільний. Тому розбиття на класи було проведено таким чином:

Для більш чіткого уявлення про результати цього варіанта сформовано порівняльні таблиці з відносними похибками оцінок обох параметрів.

Таблиця 1

Порівняльна таблиця усереднених відносних похибок за 15 елементів

у першій вибірці

Таблиця 2

Порівняльна таблиця усереднених відносних похибок за 25 елементів

у першій вибірці

Таблиця 3

Порівняльна таблиця усереднених відносних похибок за 40 елементів

у першій вибірці

Таблиця 4

Порівняльна таблиця усереднених відносних похибок за 100 елементів

у першій вибірці

Таблиця 5

Порівняльна таблиця усереднених відносних похибок за 400 елементів

у першій вибірці

Таблиця 6

Порівняльна таблиця усереднених відносних похибок за 1000 елементів

у першій вибірці

Як видно з графіка на рис. 3, зміна усередненої відносної похибки для імітованих даних, залежно від кількості елементів у першій вибірці, стала набувати спадаючого характеру. Тобто розбиття на класи першої вибірки за (4) є ефективнішим. гістограмний поліноміальний сплайн імітація генерація

Також із наведених таблиць видно, що в деяких випадках усереднена відносна похибка оцінок параметрів для імітованих вибірок є меншою за ті ж похибки у модельованих вибірках (див. табл. 3, 4), а в більшості випадків різниця між ними вимірюється в сотих. Також для обох випадків розбиття на класи видно, що пара параметрів (70, 0.7) піддається імітації гірше за інші (криві мають таку саму форму, але зміщені вгору по осі ординат). Це свідчить про те, що вибірки з сильною асиметрією треба піддавати додатковій обробці (виконувати перетворення даних) або враховувати асиметрію під час розбиття на класи. Був розроблений алгоритм та програмний додаток для імітації вибірок на основі наявних із використанням поліноміальних сплайнів. З огляду на представлені результати можна стверджувати, що цей алгоритм є ефективним засобом імітації нових вибірок з тієї ж генеральної сукупності, що і вихідна. Тематикою подальших досліджень можуть бути питання про інші види розбиття на класи для вихідної вибірки, необхідність її попередньої обробки, а також вибір іншого методу імітування на заміну використаного методу винятків. Найголовнішим напрямом подальшої роботи є модифікація алгоритму для його використання у двовимірних та багатовимірних випадках.

Список використаної літератури

1. Гудфеллоу Я., Бенджио И., Курвилль А. Глубокое обучение / пер. с англ. А. Слинкина. 2-е изд., испр. Москва : ДМК Пресс, 2018. 652 с.

2. Гельгор А.Л., Горлов А.И., Попов Е.А. Методы моделирования случайных величин и случайных процессов : учебное пособие. Санкт-Петербург : Издательство Политехнического университета, 2012. 217 с.

3. Приставка П.О. Поліноміальні сплайни під час обробки даних : монографія. Дніпро : Видавництво Дніпропетровського університету, 2004. С. 155-164.

4. Шмырин И.С. Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем. Труды Томского государственного университета. Серия физико-математическая: материалы VII Международной молодежной научной конференции, г. Томск, 23-25 мая 2019 г. Томск : Издательский Дом Томского государственного университета, 2019. Т. 303. С. 73-84.

References

1. Goodfellow, Ya., Bengio, I., Courville, A. (2018) Glubokoe obuchenie [Deep Learning]. (2 ed.). Moscow : DMC press. (in Russian)

2. Gel'gor, A.L., Gorlov, A.I., Popov, E.A. (2012) Metody modelirovaniya sluchajnyh velichin i sluchajnyh processov [Methods for modeling random variables and random processes]. Tutorial. St. Petersburg Polytechnic University Publishing House. (in Russian)

3. Pristavka, P.O. (2004) Polmommrm splajni pri obrobd danih [Polynomial splines in data processing]. Monograph. Dnipro : Dnipropetrovsk University Publishing House, pp. 155-164. (in Ukrainian)

4. Shmyrin I.S. (2019) Matematicheskoe i programmnoe obespechenie informacion- nyh, tekhnicheskih i ekonomicheskih system. Seriya fiziko-matematicheskaya : materi- aly VII Mezhdunarodnoj molodezhnoj nauchnoj konferencii [Physics and Mathematics Series: Mathematical and Software Support of Information, Technical and Economic Systems: Proceedings of the VII International Youth Scientific Conference]. Proceedings of Tomsk State University (Russia, Tomsk, May 23-25, 2019). Tomsk : Publishing House of Tomsk State University. T. 303. pp. 73-84. (in Russian)

Размещено на Allbest.ru