Методика разработки элективного курса "Приложение производной" в условиях профильной дифференциации

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЦИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЛМЫЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Б.Б ГОРОДОВИКОВА»

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, ФИЗИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА

Курсовая работа

По дисциплине «Методика организации изучения математики на профильном уровне» «методика разработки элективного курса «приложение производной» в условиях профильной дифференциации»

Выполнил:

Емгушов Санчир Альбертович

Мучкаева Светлана Сангаджиевна

Элиста, 2021

Оглавление

Введение

Актуальность темы определяется тем, что приложения производной стала довольно актуальной и значимой в обучении. Приложение производной способствует решению учебных задач по овладению программными знаниями, умениями и навыками

Содержание всех видов приложений производных соответствует обязательному минимуму содержания среднего полного образования к знаниям, умениям и навыкам обучающихся, окончивших школу

Целью работы является - использование приложения производной для подготовки обучающихся к успешному выполнению ЕГЭ

Объект исследования - Приложение производной на задачах с графиками

Предмет исследования - методика применения приложения производной в задачах ЕГЭ

Методы исследования - поиск необходимой информации в сети Интернет, теоретический анализ и синтез научной и учебной литературы, сравнение, систематизация информации, обобщение вывод, подбор и решение задач.

Структура работы: Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Глава 1. Производная

Понятие производной является одним из важнейших в курсе математики. Многие задачи как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если у=f(u) и u=ц(x)-- дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у=f(ц(x)) существует и равна произведению производной функции у по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной х:

Таблица формул дифференцирования

1. с'=0

2. х'=1

3. (u±v)' = u' ± v'

4. (uv)' = uv' + vu'

5. (cu)' = cu'

6. ()=(u'v-n'u)/(v*v)

7. (c/v)=(c*v')/(v*v)

8. )=n*

9. ()'=

10. (au)' = au ln a * u'

11. (eu)' = eu ln eu' = euu'

12. (ln u)'= где u>0

13. = где u>0

14. (sin u)' = cos u * u'

15. (cos u)' = - sin u * u'

16. (tgu)'=

17. (ctgu)'= -

18. (arcsinu)'=

19. (arccosu)'=

20. (arctgu)'=

21. (arcctgu)'= -

Здесь u и v -- дифференцируемые функции от х, а

с - постоянная величина.

Пример . Найти производную функции .

Решение:

.

Ответ: .

Глава 2. Интервалы монотонности. Экстремумы

Определение. Промежутки, на которых функция f (x) возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции.

Необходимым и достаточным условием строгой монотонности непрерывной функции f (x) на промежутке X является сохранение знака производной f (x) (где она существует) внутри промежутка X , например: если f (x) и f (x) 0 непрерывная, то f (x) строго возрастает на X ; если f (x) и f (x) 0 непрерывная, то f (x) строго убывает на X . Причем здесь условия f (x) 0 и f (x) не существуют возможны лишь в конечном числе точек на любом конечном отрезке промежутка X .

Докажем, например, достаточность для случая возрастания дифференцируемой функции f (x) на (a;b).

Теорема 12.1. Если для x(a;b) f (x) 0 ( f (x) 0), то функция f (x) возрастает (убывает) на (a;b).

Доказательство. Для определенности возьмем f (x) 0 при x(a;b) . Пусть , ( ; ) x1 x2 a b такие, что . 1 2 x x Тогда, согласно теореме Лагранжа, c(a;b) такое, что ( ) ( ) ( )( ). 2 1 2 1 f x f x f c x x

По условию f (c) 0, 0. x2 x1 Следовательно, ( ) ( ) 0, f x2 f x1 т.е. ( ) ( ). 2 1 f x f x Тогда f (x) возрастает на (a;b). Аналогично для убывания. Теорема доказана.

Определение. Точка 0 x называется точкой локального максимума (минимума) функции f (x) , если существует такая окрестность ( ) 0 U x , что для ( ) 0 xU x выполняется неравенство ( ) ( ) 0 f x f x ( ( ) ( )) 0 f x f x .

Максимумы (max) и минимумы (min) называют одним общим термином экстремумы. При этом говорят, что в точке 0 x функция f (x) имеет экстремум (максимум, минимум) ( ) 0 f x . Значение же ( ) 0 f x называют экстремальным (максимальным, минимальным) значением функции. В силу локального характера экстремумов, функция f (x) может в своей области определения иметь их несколько и даже бесконечно много. При этом некоторые из локальных минимумов могут быть больше каких-то локальных максимумов (см. рис. 12.1). Поэтому следует различать понятия локальных экстремумов (min, max) и наибольшего (M ) , наименьшего (m) значений функции f (x) в ее области задания.

Теорема 12.2. Необходимое условие экстремума Если функция f (x) , непрерывная в точке 0 x и дифференцируемая в некоторой окрестности ( ) 0 U x , имеет экстремум в точке 0 x , то или f (x0 ) 0 , или ( ) 0 f x не существует.

Доказательство, очевидно, вытекает из теоремы Ферма при ее локальном применении к f (x) в достаточно малой окрестности точки 0 x . Из теоремы 12.2 следует, что точки локальных экстремумов функции f (x) следует искать внутри ООФ среди критических точек ее первой производной. Однако не во всех таких точках функция обязательно имеет экстремум (см. рис. 12.1). Приведем теорему, позволяющую разобраться в точках возможного экстремума.

Теорема 12.3. Первый достаточный признак экстремума Если функция f (x) непрерывна в критической точке 0 x , дифференцируема в некоторой ее окрестности ( ) 0 U x и f (x) 0 ( f (x) 0) для ( 0) xU x0 , f (x) 0 ( f (x) 0) для ( 0) xU x0 , то в точке 0 x функция f (x) имеет локальный максимум (минимум); если f (x) сохраняет свой знак для ( ) 0 xU x , то в точке 0 x нет локального экстремума, то есть, если при переходе через критическую точку 0 x из ООФ (слева направо) f (x) меняет знак с "+" на "-", то точка 0 x - точка локального максимума; если- с "-" на "+", то 0 x -точка локального минимума; если f (x) в точке 0 x не меняет свой знак, то в точке 0 xэкстремума нет.

Отметим, что экстремумы в стационарных точках (типа , x1, x3, x7) называют дифференцируемыми или гладкими (есть касательная) экстремумами, а экстремумы, где f (x) не существует (типа x4 , x6), называют недифференцируемыми или уголковыми. Точка x5 , будучи критической (стационарной, т.к. касательная параллельна Ox) , не является точкой экстремума.

На основании определения экстремума и теоремы 12.2 можно сделать следующее утверждение.

Непрерывная на отрезке [ a;b ] функция f (x) принимает свои наибольшее (глобальный максимум M ) и наименьшее (глобальный минимум m) значения на [ a;b ] либо на концах отрезка, либо в его внутренних точках локальных экстремумов. Поэтому для отыскания наибольшего (M ) и наименьшего (m) значений непрерывной функции на отрезке [ a;b ] достаточно вычислить и сравнить ее значения на концах отрезка и во всех критических точках, лежащих внутри отрезка [ a;b ], выбрав при этом из них M и m

Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y f (x)

1. y= 4x3-3x4+2 Здесь D(y) R

y=12x2-12x3=12x2(1-x)

Критические точки y(х)

y=0 x1=0, x2=1 D (y);

y- не сущесвтвует таких точек нет

Используя метод интервалов, строим схему перемены знаков для y (x).

Так как y (x) 0 лишь в одной (отдельной) точке, то интервалом монотонного возрастания функции является интервал (;1) , а интервалом убывания - интервал (1; ) . Если же при этом речь идет о промежутках возрастания и убывания, то функция возрастает при x(;1] , а убывает при x[1; ).

Так как производная y (x) непрерывной в точке x2 1 функции y(x) при переходе через эту точку меняет знак с «+» на «-», то в точке x2 1 функция y(x) имеет локальный максимум. Причем ymax y(1) 3.

1.1 Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции

Определение. График дифференцируемой функции y f (x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a; b) , если все точки графика y f (x) расположены ниже (выше) точек любой касательной, проведенной к нему на этом интервале, кроме точек касания (см. рис. 12.2).

Теорема 12.4. Достаточные условия выпуклости (вогнутости) Если функция y f (x) дважды дифференцируема на (a; b) и для x(a; b): f (x) 0 ( f (x) 0) , то график функции y f (x)- выпуклый (вогнутый) на (a; b).

С учетом условий выпуклости и вогнутости графика дифференцируемой функции можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 12.5. Второй достаточный признак экстремума Если для дважды дифференцируемой функции y f (x) точка (x0) D y является критической точкой первой производной f (x) , где f (x0 ) 0 и f (x0 ) 0 , то f (x0)-экстремальное значение функции; причем, если f (x0 ) 0 , то f (x0)-максимум, а если f (x0 ) 0 , то f (x0)-минимум

Определение. Точка M0(x0,f(x0)) на графике непрерывной функции y f (x) , отделяющая выпуклую и вогнутую его части, называется точкой перегиба графика функции y f (x) (см. рис. 12.2). На рис. 12.1 такими точками являются точки графика с абсциссами x2 и x5 .

Из теоремы 12.4 следует, что абсциссы возможных точек перегиба надо искать среди точек, в которых либо f (x) 0 , либо f (x) не существует, т.е. среди критических точек второй производной.

На основании определения точки перегиба и теоремы 12.4 можно сформулировать достаточный признак точки перегиба

Теорема 12.6. Пусть f (x) существует в некоторой окрестности своей критической точки ( ) 0 x D f . Тогда, если при переходе через 0 x производная f (x) меняет свой знак, то точка M0(x0,f(x0)) является точкой перегиба графика непрерывной функции y f (x) . В противном случае в точке M0 перегиба нет.

Примеры. Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции y f (x).

1. y=ln(1+x2 ) Здесь D(y) R.

y = y==

Критические точки y (x) : а) y 0 x1 = -1, x2=1 D y ;

б) y - не существует таких точек нет. Схема перемены знаков производной y (x). Итак, график функции имеет два интервала выпуклости (; 1)(1; ) и интервал вогнутости (1;1) . При этом точки x1,2 = 1 являются абсциссами точек y (x) Г(y) x пер. -1 1 пер. перегиба графика. А так как ynep=y(1) ln 2 то точками перегиба графика функции являются точки M1(-1;ln2) и M2(1;ln2)

1.2 Асимптоты графика функции

Определение. Прямая называется асимптотой графика функции y f (x) , если расстояние от точки Mx; f (x) графика до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки M (по графику) от начала координат (см. рис. 12.3).

Различают вертикальные и наклонные асимптоты. При этом прямая x=x0 является вертикальной асимптотой графика функции y f (x) , если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен,т.е.вертикальные асимптоты могут быть в точках бесконечных разрывов функции, а также в конечных границах области определения. Поэтому вертикальных асимптот у графика функции может быть сколь угодно много (например, y tgx ).

Наклонные асимптоты графика имеют уравнение y kx b и характеризуют "асимптотическое" поведение функции при x . Поэтому максимальное их количество равно двум (при x и при x )

Разумеется, многие функции не имеют ни одной асимптоты (ни вертикальной, ни наклонной). На рис. 12.3 изображен график функции, имеющий две вертикальные асимптоты x=x1 и x=x2 одну горизонтальную y c и одну наклонную y kx b

Если график функции y f (x) имеет наклонную асимптоту y kx b при x , то расстояние между ними стремится к нулю при x , следовательно и =0 при x =(x) БМ . Тогда функцию можно представить в виде

y f (x) k x b (x) , где =0

Разделив полученное равенство на х и переходя к пределу при x , получаем

=)=k

Так как f (x) k x b (x) , то ==b

Итак, прямая y kx b является наклонной асимптотой, если

K = b=

Пример. Найдите асимптоты графика функции

y =( )2 Так как согласно ООФ x 1 , то проверим, не является ли прямая x 1 вертикальной асимптотой:

2 =()2=+

x 1 - вертикальная асимптота. Наклонные асимптоты ищем в виде y kx b, Где к = = =)= 0 т.к 2<3 т.е к=0

Тогда b=(y(x)-kx)=2=12=1

y=1-- наклонная (горизонтальная) асимптота

Заключение

В настоящее время приложение производной стало неотъемлемой частью задач ЕГЭ. Оно используется как в старших классах так и в ВУЗ. Поэтому задача преподавателя не только помочь освоить учебную программу по предмету, но и подготовить учащихся к выполнению задач с приложением производной

Из всего вышесказанного можно выделить следующие результаты работы с поставленными задачами:

В результате изучения проблемы приложения производной были выделены основные виды и функции приложения производной

Ознакомились с основными понятиями приложения производной и использования их в процессе обучения

Решили задачи с приложением производной

Таким образом, следует считать, что цель курсовой работы достигнута путем выполнения поставленных задач.

Размещено на Allbest.ru