Оптимизация функции нескольких переменных
Вычисление минимума функции двух переменных, характеристика и особенности алгоритма метода Коши. Преимущества применения метода золотого сечения. Нахождение решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.10.2022 |
| Размер файла | 641,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра автоматизированных систем (АСУ)
Отчет по лабораторной работе по дисциплине
«Методы оптимизации»
Оптимизация функции нескольких переменных
2022
Задание
Найти минимум функции двух переменных. Использовать следующие методы: метод Коши. Точность
График функции по варианту приведен ниже (рис. 1.1).
Метод Коши
Задача коши - одна из основных задач теории дифференциальных уравнений состоит в нахождении решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям.
Алгоритм метода Коши:
Метод золотого сечения
Метод золотого сечения -- метод поиска экстремума действительной функции одной переменной на заданном отрезке. В основе метода лежит принцип деления отрезка в пропорциях золотого сечения. Является одним из простейших вычислительных методов решения задач оптимизации. Впервые представлен Джеком Кифером в 1953 году.
Алгоритм метода золотого сечения:
1. Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка {\displaystyle a,\;b}a, b и точность {\displaystyle \varepsilon }о.
2. Шаг 2. Рассчитывают начальные точки деления:,
{\displaystyle x_{1}=b-{\frac {(b-a)}{\Phi }},\quad x_{2}=a+{\frac {(b-a)}{\Phi }}} и значения в них целевой функции: {\displaystyle y_{1}=f(x_{1}),\;y_{2}=f(x_{2})}.
o Если {\displaystyle y_{1}\geq y_{2}}y1>=y2 (для поиска max изменить неравенство на {\displaystyle y_{1}\leq y_{2}}y1<=y2), то {\displaystyle a=x_{1}}a = x1
o Иначе {\displaystyle b=x_{2}}b = x2.
3. Шаг 3.
o Если {\displaystyle |b-a|<\varepsilon }|b-a|< о, то и останов.
o Иначе возврат к шагу 2.
Листинг с реализацией и результатом работы методов приведен ниже.
Листинг 1
Метод Коши:
using System;
namespace lab4
{
class Program
{
const double eps = 0.0001;
static double[] x = { 2, 2 };
static double Function(double x1, double x2)
{
return x1 * x2 + (50 / x1) + (20 / x2);
}
static double grad_x1(double x1, double x2)
{
return x2 - (50 / Math.Pow(x1, 2));
}
static double grad_x2(double x1, double x2)
{
return x1 - (20 / Math.Pow(x2, 2));
}
static double Phi(double a, double x1, double x2, double d1, double d2)
{
return Function(x1 - a * d1, x2 - a * d2);
}
static double Gold_Ratio(double a, double b, double x1, double x2, double d1, double d2)
{
int k = 0;
double y, z, L;
y = a + (3 - Math.Sqrt(5)) / 2 * (b - a);
z = a + b - y;
do
{
if (Phi(y, x1, x2, d1, d2) <= Phi(z, x1, x2, d1, d2))
{
b = z;
z = y;
y = a + b - y;
}
else if (Phi(y, x1, x2, d1, d2) > Phi(z, x1, x2, d1, d2))
{
a = y;
y = z;
z = a + b - z;
}
L = Math.Abs(b - a);
if (L > eps) k++;
} while (L > eps);
return (a + b) / 2;
}
public static double[] Koshimethode(double[] mainx)
{
double[] x = mainx, d = { 0, 0 }, xtemp;
double func, a;
int k = 0;
func = Function(x[0], x[1]);
while (true)
{
d[0] = grad_x1(x[0], x[1]);
d[1] = grad_x2(x[0], x[1]);
a = Gold_Ratio(0, 0.09, x[0], x[1], d[0], d[1]);
xtemp = x;
for (int i = 0; i < 2; i++) x[i] = x[i] - a * d[i];
if (Math.Sqrt(Math.Pow(d[0], 2) + (Math.Pow(d[0], 2))) <= eps) break;
else k++;
} переменная алгоритм коши золотое сечение
return x;
}
static void Main(string[] args)
{
double[] answer = Koshimethode(x);
double func = Function(answer[0], answer[1]);
Console.WriteLine("Метод Коши (x1/x2/функция):{0} {1} {2}", answer[0], answer[1], func);
}
}}
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010Методы нахождения минимума функции одной переменной и функции многих переменных. Разработка программного обеспечения вычисления локального минимума функции Химмельблау методом покоординатного спуска. Поиск минимума функции методом золотого сечения.
курсовая работа [95,1 K], добавлен 12.10.2009Методы нахождения минимума функций градиентным методом наискорейшего спуска. Моделирование метода и нахождение минимума функции двух переменных с помощью ЭВМ. Алгоритм программы, отражение в ней этапов метода на языке программирования Borland Delphi 7.
лабораторная работа [533,9 K], добавлен 26.04.2014Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Понятия зависимой, независимой переменных, области определения функции. Примеры нахождения области функции. Примеры функций нескольких переменных: линейная, квадратическая, функция Кобба-Дугласа. Построение графика и линии уровня функции двух переменных.
презентация [104,8 K], добавлен 17.09.2013Нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию. Практический пример нахождения точки максимума и минимума функции. Главные особенности метода множителей Лагранжа.
презентация [112,6 K], добавлен 17.09.2013Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Общая схема методов спуска. Метод покоординатного спуска. Минимизация целевой функции по выбранным переменным. Алгоритм метода Гаусса-Зейделя. Понятие градиента функции. Суть метода наискорейшего спуска. Программа решения задачи дискретной оптимизации.
курсовая работа [90,8 K], добавлен 30.04.2011Ознакомление с историей появления метода золотого сечения. Рассмотрение основных понятий и алгоритма выполнения расчетов. Изучение метода чисел Фибоначчи и его особенностей. Описание примеров реализации метода золотого сечения в программировании.
курсовая работа [416,0 K], добавлен 09.08.2015Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Функции нескольких переменных. Локальные экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению. Двойные и тройные интегралы. Вычисление объемов тел и площадей плоских фигур. Тройной интеграл, криволинейные интегралы первого и второго рода.
учебное пособие [511,2 K], добавлен 23.04.2012Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.
контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011Примеры неравенств, доказываемых техникой одномонотонных последовательностей. Обоснование данного метода для случая с произвольным числом переменных. Доказательство неравенств с минимальным числом переменных. Сравнение метода с доказательством Коши.
реферат [132,8 K], добавлен 05.02.2011Изучение методов одномерной оптимизации и сравнение эффективности их применения для конкретных целевых функций. Нахождение минимума функции 1/|x-3|3 методами перебора, поразрядного поиска, дихотомии, золотого сечения, средней точки, хорд и Ньютона.
курсовая работа [761,8 K], добавлен 25.12.2015Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Понятие генетического алгоритма и механизм минимизации функции многих переменных. Построение графика функции и ее оптимизация. Исследование зависимости решения от вида функции отбора родителей для кроссинговера и мутации потомков, анализ результатов.
контрольная работа [404,7 K], добавлен 04.05.2015Понятие дифференциального уравнения. Нахождение первообразной для заданной функции. Нахождение решения дифференциального уравнения. Выделение определенной интегральной кривой. Понятие произвольных независимых постоянных. Уравнение в частных производных.
презентация [42,8 K], добавлен 17.09.2013Сущность графического метода нахождения оптимального значения целевой функции. Особенности и этапы симплексного метода решения задачи линейного программирования, понятие базисных и небазисных переменных, сравнение численных значений результатов.
задача [394,9 K], добавлен 21.08.2010
