Системы счисления (4 равняется 100)

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления»

Технологический колледж

Индивидуальный проект по математике

На тему «4=100? Системы счисления»

Выполнил(а):

студент(ка) группы К60/1 Доржиев З. Р-Д.

Проверил:

Преподаватель Даранова Р.Б.

Улан-Удэ 2021



Содержание

Введение

Глава 1. История возникновения чисел

Глава 2. Системы счисления

2.1 Анатомические системы счисления

2.2 Алфавитные системы счисления

2.3 Машинная группа систем счисления

2.4 Римская система счисления

2.5 Египетская система счисления

2.6 Китайская система счисления

2.7 Арифметика каменного века

Глава 3. Виды систем счисления

Глава 4. Практическая часть

Заключение

Список литературы и источников

Приложение



Введение

Существует много систем счисления и многие из них используются в разных областях до сих пор. Например, вы когда-то задумывались, почему люди используют именно десятичную систему счисления?

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. Ну а что может быть проще, чем собственные пальцы? В самые древние времена люди считали на пальцах, т. е. понятие число, в котором мы привыкли его понимать, у них не было.

Способов счета было придумано немало: люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев. Такая система записи чисел называется единичной. Любое число в ней образуется повторением одного знака - единицы. Для записи больших чисел используются группировки и вспомогательные значки.

Поштучно считать предметы удобно тогда, когда их не очень много, т. к. чем большее число надо записать, тем длиннее будет строка из палочек.

Поэтому нам интересно знать, как появились числа, как их записывали и какими цифрами пользуемся мы сейчас.

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, "по-арабски". Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.

Данная тема была выбрана, потому что стало интересно узнать, кто стоит у истоков различных систем счисления, как давно и где их начали применять, какие системы счисления используются в наши дни.

Для работы над этим проектом я поставил перед собой следующую цель: изучить системы счисления и узнать, что значит 4=100.

Для достижения поставленной цели сформулировал следующие задачи:

Узнать какие системы счисления существуют.

Изучить и сравнить древние и современные системы счисления.

Классифицировать системы счисления



Глава 1. История возникновения чисел

Искусство счета развивалось с развитием человечества. В те времена, когда человек лишь собирал в лесу плоды и охотился, ему для счета хватало четырех слов: один, два, три и много. Именно так считают сейчас некоторые племена, живущие в джунглях Южной Америки.

Для счета делали зарубки на палке по числу предметов, завязывались узлы на веревке, складывались в кучу камешки. Но палку с зарубками с собой не возьмешь, да и камни таскать не очень приятно, а пастуху нужно знать - не отбилась ли какая коза от стада. И тут на помощь приходят пальцы рук - отличный счетный материал, им до сих пор пользуются не только первоклассники. А если предметов больше десяти? Конечно, можно использовать и пальцы на ногах, а дальше? Тут уже ничего не оставалось делать, как придумать десятичную систему, которой мы пользуемся сейчас: считаем десятки; когда наберется десять десятков, называем их сотней; потом десять сотен-тысячей.

В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счете возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 году в Вестонице (Моравия) на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Позже в других местах ученые находили столь же древние каменные предметы с точками и черточками, сгруппированными по три или по пять.

Первые области применения чисел были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности, к мирному сосуществованию различных рас и народов.

Язык чисел, как и обычный язык, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым сейчас пользуются практически на всём земном шаре, алфавитом служат десять цифр от 0 до 9. Этот язык называется десятичной системой счисления. Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. С точки зрения чисто математической она не имеет специальных преимуществ перед другими возможными системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера. О свойствах, истории возникновения и применения различных систем счисления будет рассказано в моей работе.

Потребность в записи числа появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Умение считать и производить операции с числами высоко ценилось. Числа вызывали удивление, потому что они могли обозначать количество любых предметов, например, два пальца, две руки, два человека или два камня.

Поэтому появился счет группами, так появились первые нумерации - системы счисления.

Со времени их происхождение сформировалось большое количество отличных систем счисления: пятеричная, десятичная, мультипликативная

Ученые считают, что история возникновения чисел зародилась еще в доисторические времена, когда человек научился считать предметы. Но знаки для обозначения чисел появились значительно позже: их изобрели шумеры -- народ, живший в 3000--2000 гг. до н. э. в Месопотамии (ныне в Ираке). История гласит, что на табличках из глины они выдавливали клинообразные черточки. Вавилоняне, пришедшие в Месопотамию после шумеров, унаследовали многие достижения шумерской цивилизации -- сохранились клинописные таблички с переводом одних единиц измерения в другие.



Глава 2. Системы счисления

Со школы люди хорошо знакомы с римскими и арабскими цифрами и привыкли к обозначению чисел с их помощью. Однако такие системы счета образовались не сразу, и мало кто знает, что они были не единственными в истории человечества. С появлением электроники, системы счисления и вовсе преобразовались; подстроились под нужны людей, раскрыв многогранность подходов к применению чисел.

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Системы счисления различают:

- Анатомического происхождения: десятеричная, пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная.

- Алфавитные: древнегреческая ионическая, славянская кириллическая, славянская глаголическая, древнегрузинская, древнеармянская.

- Машинные: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

- Прочие: Римская, Вавилонская, Египетская нумерация, Китайская нумерация и другие.

2.1 Анатомические системы счисления

1. Пятеричная система счисления

По свидетельству известного исследователя Африки Стэнли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления.

Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае. Очевидна связь этой системы со строением человеческой руки. Также пятеричная система использовалась в Древнем Риме. Происхождение цифр явно связано со счетом с помощью тех же «подручных средств». Только здесь уже в ход пошли не только пальцы, а кисти рук полностью.

2. Двадцатеричная система счисления

Но совсем непростительно было бы не воспользоваться и остальными «счетными средствами».

У ацтеков и Майя была принята двадцатеричная система счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году. Для записи основными знаками были точки(единицы) и отрезки (пятёрки). Также двадцатеричная система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Основу для счета в этой системе составляли пальцы рук и ног. Некоторые следы двадцатеричной системы счисления кельтов сохранились во французской денежной системе: основная денежная единица - франк делится на 20 су.

3. Шестидесятеричная система счисления

Также нельзя не сказать о шестидесятеричной системе счисления.

Происхождение этой системы неясно. По одной гипотезе, она связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5 Ч 12, где 5 -- число пальцев на руке).

Вавилонское государство также унаследовало шестидесятеричную систему и передало её, вместе с таблицами наблюдений за небом, греческим астрономам.

В более позднее время шестидесятеричная система использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами, в первую очередь, для представления дробей. Поэтому средневековые учёные часто называли шестидесятеричные дроби «астрономическими». Эти дроби использовались для записи астрономических координат -- углов, и эта традиция сохранилась по сей день. В одном градусе 60 минут и в одной минуте 60 секунд. Возможно, эта система взята не от человека, а от Солнца. По представлениям древних астрономов год состоял из 360=60Ч6 дней, то есть за одни сутки Солнце сдвигалось относительно звезд на 1/360 всего годового пути, а именно на 1 градус. Число 60 лежит и в основе более мелких угловых единиц: минут и секунд.

4. Двенадцатеричная система счисления

И, наконец, не менее интересная система счисления - двенадцатеричная. Она заслуживает особого внимания! Хотя бы потому, что ею пользовались купцы на Руси, исчисляя товар в дюжинах.

Как говорится, нет предела совершенству. Придумали тот же простой счет на пальцах, но с использованием лишь одной руки. Для этого использовались не пальцы обеих рук, а фаланги одной руки, а большой палец помогал считать, но сам в счет не входил.

Можно провести некоторую параллель между двенадцатеричной системой счисления и нашей, десятичной. В любой системе есть так называемые круглые числа. Итак, наш привычный десяток соответствует дюжине, то есть числу 12, сотня (10Ч10) соответствует следующему разряду десятичной системы, в двенадцатеричной он называется гроссу, наша тысяча соответствует следующему разряду - массе. Именно отсюда взялось выражение «У меня масса дел…». Здесь используется не физическая величина, а именно эта единица двенадцатеричной системы.

А знаком ли вам жест «чуть-чуть?». Он взялся именно из двенадцатеричной системы счисления. Это не что иное, как единица, то есть наименьшее число системы.

Элементы двенадцатеричной системы сохранились в Англии и по сей день. В системе мер 1 фут=12 дюймам. В денежной системе 1 шиллинг=12 пенсам. Нередко мы сталкиваемся с отголосками двенадцатеричной системы и в быту: сервиз на 12 персон, на циферблате часов 12 чисел, в году 12 месяцев, 12-летний цикл в названиях месяцев по китайскому календарю, и даже яйца за границей продают по 12 штук в отличие от наших десятков.



2.2 Алфавитные системы счисления

До сих пор речь шла о системах счисления, в которых использовались цифры. Но существовали также и другие. Для записи цифр использовали буквенные символы. Примеров можно привести несколько.

Славянская кириллическая

Начнем с нашей Родины. Древние славяне использовали для счета алфавитную систему счисления. Это значит, что вместо цифр они использовали буквы алфавита. Так «аз» - первая буква, означала единицу, «И» - десятая, означала десять, а буква «рцы» - двадцатая, означала сотню. Более крупные числа, тьма (обозначало 10 000) или миллион, выглядели следующим образом: к обычной цифре добавляли специальный знак, который обозначал тысячу.

Древнегреческая ионийская

Древнегреческая ионийская десятеричная система счисления, которая возникла примерно в 3 тысячелетии до нашей эры состоит из отдельных иероглифов: 1 (вертикальная палочка обозначавшая, мерную палку), 10 (напоминает путы для стреноживания коров), 100 (мерительная веревка), 1000 (цветок лотоса), 10 000 (указательный палец), 100 000 (лягушка), 1 000 000 (человек, поднявший вверх руки перед таким большим числом), 10 000 000 (Солнце или вся Вселенная). При записи числа иероглифы писались столько раз, сколько в этом числе единиц соответствующего разряда. Разряды писались справа налево (слева - меньшие, справа - большие) - в обратном порядке, чем у нас сейчас. Попробуйте сложить два больших числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя, и вы сразу поймете, что для работы с этой системой нужен специальный человек. Это являлось недостатком такой системы счисления. Но, с другой стороны нас очень привлекла система знаков для обозначения чисел в Древнем Египте: они очень интересны, своеобразны, а также имеют интересную жизненную интерпретацию.

В дальнейшем эта система претерпела некоторые изменения. Она стала во многом аналогична с древнеславянской. Цифры изображаются с помощью букв, и сверху ставится специальная черточка.

Славянская глаголическая

Также можно сказать несколько слов о славянской глаголической десятеричной системе счисления. Эта система была создана для обозначения чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Использовалась она с 8 по 13 в. Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим цифрам. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.

Древнеармянская и древнегрузинская системы счисления. Армяне и грузины пользовались алфавитным принципом нумерации. Но в древнеармянском и древнегрузинском алфавитах было гораздо больше букв, чем в древнегреческом. Это позволило ввести особые обозначения для чисел 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000. Числовые значения следовали порядку букв в армянском и грузинском алфавитах. Алфавитная нумерация преобладала до XVIII в., хотя арабская нумерация употреблялась в отдельных случаях гораздо раньше (в грузинской литературе такие случаи восходят к X--XI вв.; в памятниках армянской математической литературы они установлены пока только для XV в). В Армении алфавитная нумерация употребляется и сейчас для обозначения глав в книгах, строф в стихотворениях и т.п. В Грузии алфавитная нумерация вышла из употребления.



2.3 Машинная группа систем счисления

Перед математиками и конструкторами 50-х годов встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям разработчиков ЭВМ и создателей программного обеспечении. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.

Специалисты выделили так называемую «машинную» группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы. К «машинной» группе систем счисления относятся: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

Идея двоичной системы была известна и древним индусам.

В Европе двоичная система, видимо, появилась уже в новое время. Об этом свидетельствует система объёмных мер, применяемая английскими виноторговцами: два джилла = полуштоф, два полуштофа =пинта, две пинты= кварта, две кварты= потл, два потла= галлон, два галлона = пек, два пека = полубушель, два полубушеля == бушель, два бушеля = килдеркин, два килдеркина = баррель, два барреля = хогзхед, два хогзхеда = пайп, два пайпа = тан. счисление ионической глаголический двоичный

Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в ХІХ-ХХ веках информация передавалась с помощью азбуки Морзе -- в виде последовательности из точек и тире.

В конце XX века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде потому, что это вызвано конструктивными особенностями элементов вычислительных машин.

Обработка информации в ЭВМ основана на обмене электрическими сигналами между различными устройствами машины. Эти сигналы возникают в определенной последовательности. Признак наличия сигнала можно обозначить цифрой 1, признак отсутствия - цифрой 0. Таким образом, в ЭВМ реализуются два устойчивых состояния. С помощью определенных наборов цифр 0 и 1 можно закодировать любую информацию. Каждый такой набор нулей и единиц называется двоичным кодом.

Восьмеричная система счисления -- позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Является одной из самых популярных в информатике.

Возникновение восьмеричной системы счисления связывают с техникой счета на пальцах. Однако, если классический счет на пальцах, подразумевает задействование всех десяти, то эта техника использует не пальцы, а промежутки между ними, которых -- 8.

Восьмеричная система является традиционной системой счисления с основанием 8. Алфавит состоит их цифр от 0 до 7.

Практическое применение восьмеричная система находила в программировании, однако с развитием компьютерных технологий, практически полностью уступила -- шестнадцатеричной. На сегодняшний день, частичное использование можно встретить в Linux-системах.

Шестнадцатеричная система счисления -- это позиционная целочисленная система счисления с основанием 16. Является одной из самых популярных в информатике.

Шестнадцатеричная система счисления начала широко применяться с развитием компьютерной техники. Как известно, компьютеры используют двоичный код. Но его использование неудобное, за счет длинных записей, а на перевод в десятичную систему уходило много времени и памяти. 16 кратно двум, поэтому вычисления производились быстрее.

Кроме этого, единица измерения информации -- бит. В компьютерах, информация передается при помощи байтов. 1 байт = 8 бит. Машинное слово -- это минимальная единица данных, состоящая из двух байт (16 бит). Таким образом, для записи команд удобно использовать именно шестнадцатеричную систему.

Алфавит состоит их цифр от 0 до 9 и латинских букв от A до F. Латинские буквы представляют собой десятичные числа от 10 до 15.

2.4 Римская система счисления

История римской системы счисления берет свое начало, естественно, в Древнем Риме, во время расцвета Римской империи. Она применялась более двух с половиной тысяч лет назад и используется по сей день. Римскими цифрами, как основными пользовались очень долго. Еще двести лет назад во всех деловых бумагах цифры нужно было писать только римские, так как считалось, что арабские цифры гораздо проще подделать.

Сущность римской системы счисления в том, что для обозначения цифр в ней используются заглавные латинские буквы. Но немногие знают, что эти буквы выбраны неслучайно. I - обозначает один, это один палец. V- это пять, раскрытая ладонь, на которой у нас 5 пальцев. X - это десять, две скрещенные ладони, на которых у нас десять пальцев.

2.5 Египетская система счисления

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев - волнистой линией и десять волнистых линий - фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале - папирусе. Два таких документа - папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) - служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком. В этой записи число 6789 имело вид, причем знаки более высокого порядка располагались справа, а не слева. Иероглифическая запись чисел использовалась преимущественно в официальных документах и текстах. Еще позднее иератическая система обозначения чисел уступила место демотическим системам записи.

Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи. Однако их операции с дробями продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. дроби с числителем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, например, дробь 2/43 они записали бы так: 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих системах счисления над символом, обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. В искусстве оперирования дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии.

2.6 Китайская система счисления

Одна из самых древнейших систем счисления была создана в Китае. Она возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Числа от единицы до пяти обозначались, соответственно, одной, двумя и т.д. палочками, выкладываемыми вертикально, а одна, две, три или четыре вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа шесть, семь, восемь и девять.

После реформ письменности в эпохи Цинь и Ранняя Хань в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор, и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной. Она десятичная, непозиционная, с мультипликативным принципом записи чисел, то есть в ней существуют девять цифр и обозначения десятичных разрядов.



2.7 Арифметика каменного века

Несколько десятков лет назад ученые-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес 55 зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из 11 групп, по 5 зарубок в каждой. При этом первые 5 групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других были найдены сделанные в ту далекую эпоху каменного века (каменные орудия) и украшения, на которых тоже были черточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.

Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета. Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.

После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры. Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, … Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один - для ста, четыре - для десяти и пять иероглифов для единицы.



Глава 3. Виды систем счисления

Изучив системы счисления, я узнал, что они делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Позиционные системы счисления. В позиционных системах счисления величина, обозначается цифрой, зависит от места цифры в числе. Так в числе 222 цифра 2 встречается трижды. Но самая правая означает две единицы, вторая справа - два десятка и, наконец, третья - две сотни. Десятичная система, которой мы пользуемся является одной из позиционных систем счисления.

Возникновение десятичной системы - это одно из самых важных событий в математике. Неудивительно, что история десятичной системы счисления занимает умы многих ученых. Существует несколько версий возникновения системы. Существует версия, что она зародилась в Китае. Есть также предположение, что ее изобрел Аль-Хорезми (узбекский математик). Но более распространенная версия состоит в том, что история возникновения десятичной системы началась в Индии. Сначала в этой системе счисления было всего девять цифр, ноль появился гораздо позднее.

Европейцы заимствовали систему у арабов, и назвали арабской. Это неправильное название сохранилось и до сих пор. Как ни странно, но сами арабы называют эти цифры индийскими. Первые записи десятичной системы счисления в Европе, найдены в испанских рукописях, которые датируются X веком. Но закрепилась она только в 12 в. Но эта система счисления была очень сложной, и первое время ей даже запрещали пользоваться. История десятичной системы счисления была очень долгой и непростой.

Непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления значение числа определяется как сумма или разность цифр в числе. В непозиционных системах счисления считать трудно. Древние греки построили геометрию, которую сегодня изучают в школе, доказали важные теоремы теории чисел, но считать они не умели. Примером непозиционный системы счисления является римская система счисления.

Отличие позиционных и непозиционных систем хорошо видно при сравнении арабских и римских чисел. Числа, записанные арабскими цифрами, составляются в позиционной системе. И здесь важно учитывать понятие разрядности. Одна и та же цифра, в зависимости от того, в каком разряде числа она записывается, обозначает разную числовую величину. Например, в числе 234 цифра 2 обозначает величину двести, а в числе 324 - соответствует двадцати.

В римской системе ключевые числа записываются латинскими буквами I, V, X, L, C, D, M, а все остальные числовые значения получаются путем комбинирования этих знаков с использованием принципов сложения и вычитания.



Глава 4. Практическая часть

В ходе работы над проектом я решил сравнить системы счисления разных времен и народов. Для этого решил рассчитать и записать свой возраст 16 лет и дату рождения 19 марта 2005 года в изученных системах счисления. И вот что у меня получилось.

Перевод целых десятичных чисел в двоичную, пятеричную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления делается по одному алгоритму

Последовательно выполнять деление десятичного числа и получаемых целых частных соответственно на 2, 5, 8, 16 до тех пор, пока частное не станет равным 0.

Для получения ответа в двоичном коде, необходимо записать, полученные, в результате деления остатки, в обратном порядке. (Приложение 1)

После расчетов у меня возник вопрос как опять перевести из 2, 5, 8, 16 систем счисления обратно в десятеричную.

Для перевода целого двоичного, пятеричного, восьмеричного и шестнадцатеричного чисел в десятичное, обратимся к развернутой форме записи числа для позиционной системы счисления:

An = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + ••• + a0 • q0, где A -- число, q -- основание системы счисления, а n -- количество разрядов числа.

По этой формуле я перевел все числа в десятеричную систему. (Приложение 2)

Также в своей работе я попытался написать в непозиционных системах счисления. Непозиционная система была одной из первых, которую стали использовать люди. Самой древней из них является египетская (2,5-3 тыс. лет до нашей эры). Числа в ней записывались с помощью иероглифов, которые подчинялись «принципу сложения».

Числа записывались в виде комбинации таких символов, повторяющихся в зависимости от значения конкретного разряда не более девяти раз. Например, в числе 345 символ для обозначения сотен записывается три раза, а символ десятков 10 записывается четыре раза, а символ единицы, повторяется пять раз.

Когда я записывал числа в данной системе, то запись была немного длинной. Следующая непозиционная система, на которую я обратил внимание это римская. Римские числа знакомы всем еще со школы. Алфавит этой системы счисления состоит из цифр 1, 5 и ряда десятичных разрядов:

Данные основные (узловые) числа используются для записи других чисел путем сложения ли вычитания меньшего числа из большего. При этом числа I, X, C, M не повторяются более трех раз, а V, L, D не могут идти друг за другом вовсе.

Запись больших чисел в такой системе выглядит громоздко:



2589 = 2000 + 500 + 80 + 9 = MM + D + LXX + IX = MMDLXXIX

Чтобы правильно прочитать это число, следует мысленно разбить его на разряды.

Минусы непозиционной системы.

Основная сложность работы с данными системами счисления состоит в записи больших чисел. Их написание может быть слишком объемным и сложным для чтения.



Заключение

Изучив литературу по теме «Системы счисления», я узнал, что в древности люди пользовались различными системами счисления, позиционными и непозиционными. Многие системы счисления имеют анатомическое происхождение.

Элементы некоторых систем счисления имеют практическое применение в наши дни. Общеупотребительной системой счисления стала десятичная система счисления. Но и другие системы счисления имеют практическое применение, например, системы счисления с основаниями 2, 8, 16. Правила, связанные с системами счисления помогают в практической деятельности человека.

Системы счисления вошли в нашу жизнь из-за практической жизненной потребности, теперь можно сказать что, человек может отметить своё 1000 в некоторых системах счисления, и 2+2 не всегда равно 4. И я выяснил что значит 4=100. Число 4 в двоичной системе счисления обозначается как 100.

Не зря многие ученые умы интересовались понятием числа, раскрывали его тайны. Да и в наш век, когда с числами сталкиваемся повсеместно, это понятие не утратило своей актуальности. Трудно себе представить, как современный человек смог бы прожить, если бы когда-то много тысячелетий назад, не было бы приоткрыто тайна великих и загадочных чисел.

Объектом моего исследования стали системы счисления, которых оказалось гораздо больше, чем я даже мог предположить. Мне стало очень интересно узнать о жизни предков и попробовать считать, как они.

Работа над проектом привела меня к мысли, что несмотря на то, что люди с самых малых лет научились считать и пользоваться числами, не многие смогут ответить на вопрос откуда же они взялись и на сколько давно появились. Изучение этой темы оказалась очень интересной и познавательной.

И я хотел бы закончить свой проект словами немецкого философа Готфрида Вильгельма Лейбница: «Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет…»



Список литературы и источников

1. Система счисления и их применение/ С.Б. Гашков/ Москва-2004

2. Библиотека сайта «Мегакнига» - http://megapredmet.ru/1-69177.html

3. Счет и число/ Берман Н.Г/. ОГИЗ Гостехиздат/ Москва

4. Детская энциклопедия «Я познаю мир»/ «Астрель»/ Москва - 2004

5. Бендукидзе А.Д. О системах счисления // Квант - 1975 - №8

6. Вайман А.А. Шумеро-вавилонская математика. III - I тысячелетия до н.э. М.: Изд. вост. лит., 1961.

7. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. Изд. 2-е, М.: Наука, 1967.

8. Системы счисления и их применение. (Серия: «Библиотека «Математическое просвещение»») / Гашков С.Б. - Москва: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2004.



Приложение



Размещено на Allbest.ru

...