Комплексные числа

Размещено на http://allbest.ru

Размещено на http://allbest.ru

Оглавление

Введение

1) История развития комплексных чисел

2) Свойства комплексных чисел

3) Действия с комплексными числами

4) Основная теорема алгебры

5) Модуль комплексного числа

6) Заключение

Список использованной литературы

Введение

В элементарной математике изучаются действительные числа. С начала в процессе счёта возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2,… n,… В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Что же касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел.

Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечения корня, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа.

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. Квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами - тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

комплексные числа модуль квадратный корень теорема алгебра

1. История развития комплексных чисел

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке.

И до этого открытия при решении квадратного уравнения x²+q=px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2)² - q, где величина (p/2)² была меньше, чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.

Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер - один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.

Об истории развития комплексного числа можно говорить очень долго.

Рассмотрим «плюсы» и «минусы» основных числовых систем, они указаны в таблице. Мы видим, что по мере продвижения по строкам этой таблицы от N к R список во втором столбце расширяется как раз за счет сужения списка в третьем столбце. Осталась частично допустимая операция извлечения корней из произвольных чисел, которая, как мы увидим, станет допустимой в системе комплексных чисел.

Из вышесказанного следует, что минимальными условиями, которым должны удовлетворять комплексные числа, являются следующие условия:

С₁) Существует комплексное число, квадрат которого равен -1.

С₂) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.

С₃) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законом арифметических действий.

Определение1. Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.

В записи число называют действительной частью комплексного числа z, а число b- мнимой частью комплексного числа z

Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

Между комплексным числом и действительным числом обычно не делают никакой разницы, подобно тому, как, например, говорят о числе 3 на оси абсцисс, хотя, формально, полагалось бы говорить о точке (3; 0). Действительные числа - это комплексные числа с нулевой мнимой частью. Значит, выполняется соотношение .

2. Свойства комплексных чисел

1. Если b = 0, то комплексное число a + bi становится действительным числом, равным а. Таким образом, действительные числа представляют собой частный случай комплексных чисел.

2. Если а=0, а b ? 0, то комплексное число bi называют чисто мнимым числом.

3. Комплексные числа а₁ + b₁i и a₂+b₂i называют равными, если а₁ = а₂ и b₁ = b₂.

4. В частности, a + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а=0 и b = 0.

5. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются, т.е. комплексные числа по величине не сравниваются.

6. Два комплексных числа a + bi и a - bi, отличающиеся только знаками при мнимой части, называются комплексно сопряжёнными или просто сопряжёнными; их произведение равно a² + b². Знаком сопряжения является черта над комплексным числом, означающая изменение знака при мнимой части. Это свойство комплексных чисел используется для преобразования дробей (убирается иррациональность в знаменателе дроби). z=a+bi и z= a-bi - сопряженные.

7. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел (исключая деление на 0) в результате произведения действий дают комплексные числа. (т. е. множество комплексных чисел замкнуто по этим операциям).

3. Действия с комплексными числами

Арифметические операции над комплексными числами выполняются в соответствии с условием С₃

1). Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой комплексных чисел a + bi и a' + b'i называют комплексное число (a + a') + (b + b')i.

Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 - 8i) = 1 - 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4. (-2 + 3i) + ( - 2 - 3i) = - 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Замечание. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i.

2). Вычитание комплексных чисел.

Определение. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a' + b'i (вычитаемое) называется комплексное число (a - a') + (b - b')i.

Пример 1. (-5 + 2i) - (3 - 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

3). Умножение комплексных чисел

Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a' + b'i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i ^2-----= - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a' + b'i) должно равняться aa' + (ab' + ba')i + bb'i^{2--- -}, а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa' - bb') + (ab' + ba')i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.

4). Деление комплексных чисел

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a' + b'i - значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно ( доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.

5). Возведение в степень

Полагают

где n - натуральное число.

Для z ? 0 полагают z⁰ = 1, z^-n = 1/zⁿ

При возведении комплексного числа в степень с целым показателем справедливы следующие свойства:

z^{p .} z^q = z^p+^q,

(z^p)^q = z^pq, z^p/z^q = z^p-q,

(z₁ ^. z₂)^p = z^p₁ ^. z^p₂,

(z₁/z₂)^p = z₁^p/z₂^p, где p и q - целые.

6). Извлечение корня

Определение: корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое комплексное число w,

w =, что wⁿ = z (n?2 - натуральное).

Таким образом, извлечение корня определяется как действие, обратное возведению в степень.

4. Основная теорема алгебры

Комплексные числа обладают алгебраической замкнутостью - всякое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни. Например, уравнение х² - 4х + 13 = 0 имеет отрицательный дискриминант (D = 16-52=-36 < 0), но корни этого уравнения будут х₁= 2-3i и х₂ = 2+3i, т.е. квадратное уравнение из множества комплексных чисел имеет два комплексных числа корнями уравнения.

А. Жирар и Р. Декарт сформулировали основную теорему алгебры - всякое алгебраическое уравнение имеет столько корней, какова его степень. А доказал эту теорему немецкий математик К. Гаусс.

Карл - Фридрих Гаусс (1777 - 1855). Знаменитый немецкий математик. Гаусс - человек с универсальными математическими способностями; им затрагивались почти все главные отрасли чистой и прикладной математики. Гаусс создал множество математических трудов, среди которых: «О протяжении эллипсоидов», «Мемуары по теории биквадратичных вычетов, в которых впервые введено в теорию чисел понятие о целых комплексных числах вида а + bi» и многие другие.

6. Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа называют число . Обозначение: .

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается

| a + bi |, а также буквой r.

r = | a + bi | = a² + b²

Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённые комплексные числа a + bi u a - bi имеют один и тот же модуль.

Заключение

Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.

Именно поэтому нам нужно расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

Комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики.

Список использованной литературы

1. Антонов В. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика -Москва: изд-во “Аванта+”, 1998.

2. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., Лекции и задачи по элементарной математике, - М.: Наука, 1971.

3. Мордкович А.Г. Учебник для 10 класса. Алгебра и начала анализа. М.: Мнемозина, 2007.

4. Петраков И.С.. Математические кружки в 8-10 классах.- М.: Просвещение, 1987.

5. Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах. М.: Издательство московского центра непрерывного математического образования, 2004.

6. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика.-М.: Педагогика, 1989.

7. Пособие по математике для поступающих в вузы: пособие/ Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлев Т.Х. - под редакцией Яковлева Г.Н.-3-е издание М.: Наука, 1998

Интернет-ресурсы

8. http://www.ed.vseved.ru/

9. http://www.wikibooks.ru/

10. http://www.wikiznanie.ru/

Размещено на Allbest.ru