Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.М.АКМУЛЛЫ»

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ, ЦИФРОВЫХ И НАНОТЕХНОЛОГИЙ

Курсовая работа по дисциплине: «Элементарная математика»

Задачи на взвешивания и переливания

Файзуллина Алина Ильясовна

Кафедра математики и статистики

Направление 44.03.05-Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)

Направленность (профиль) «Математика, физика» Курс 2

Научный руководитель: Ильфат Хамзиевич Хуснуллин

Уфа 2022



Содержание

Введение

1. Понятия логических задач

1.1 Характеристика задач на взвешивание

1.2 Характеристика задач на переливание

1.3 Метод рассуждений

1.4 Метод таблиц

1.5 Метод бильярдного шара

2. Решения задач на взвешивания и переливания

2.1 Решение задач на взвешивание

2.2 Решение задач на переливание

Заключение

Список использованных источников и литературы



Введение

«Интерес есть там, - утверждает В.А.Сухомлинский, где есть вдохновение, рождающееся от успеха». Как же добиться такого успеха? Как вызвать интерес детей к учебе, исподволь заставить ребенка мыслить, рассуждать, доказывать, соглашаться, уметь отстаивать свою точку зрения, иначе говоря, воспитывать личность? Как научить всех: и сильных, и слабых? Достичь этого можно путём включения задач, связанных с понятиями, которые выходят за рамки программного материала. Такие задачи, яркие, занимательные, с необычной формулировкой, требующие неожиданного решения часто называют нестандартными. При решении нестандартных задач применяются логические таблицы, графы, чертежи и т.д. В начальной школе рассматриваем такие виды нестандартных задач: задачи на промежутки, на планирование действий, упорядочивание множеств, числовые ребусы, задачи, решаемые с конца, комбинаторные задачи. Один из видов нестандартных задач - задачи на переливание и взвешивание. Это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания на чашечных весах. Простейший пример решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Это старинные задачи, возникшие много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у любителей математики.

Актуальность исследования состоит в том, что задачи указанного типа часто встречаются среди олимпиадных заданий. На практике знакомство с различными способами решения задач развивает логическое мышление, показывает вариативность путей решения конкретной задачи.

Объектом исследования является логические задачи на переливание и взвешивание.

Предметом исследования является способы решения логических задач на переливание и взвешивание.

Цель: изучение видов и методов логических задач на взвешивание и переливание, алгоритм их решения.

Задачи:

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Познакомиться с методами решения логических задач на переливание и взвешивание.

3. Изучить теорию и научиться решать задачи на переливание и взвешивание.

Гипотеза: при решении задач на переливание и взвешивание могут быть использованы различные способы решения, сложность которых может варьировать.

Методы исследования: Теоретические, математические.



1. Понятия логических задач

1.1 Характеристика задач на взвешивание

Задачи на взвешивание -- это тип задач, в которых требуется установить тот или иной факт (выделить фальшивую монету среди настоящих, отсортировать набор грузов по возрастанию веса и т. п.) посредством взвешивания на рычажных весах без циферблата. Чаще всего в качестве взвешиваемых объектов используются монеты. Реже имеется также набор гирек известной массы [5,76].

Очень часто используется постановка задачи, требующая определить либо минимальное число взвешиваний, потребное для установления определённого факта, либо привести алгоритм определения этого факта за определенное количество взвешиваний. Реже встречается постановка, требующая ответить на вопрос, возможно ли установление определённого факта за некоторое количество взвешиваний. Часто такая постановка является не очень удачной, так как при положительном ответе на вопрос задача чаще всего сводится к построению алгоритма, а отрицательный почти не встречается. логический задача переливание взвешивание

Поиск решения осуществляется путем операций сравнения, причем, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Задачи данного типа чаще всего решаются методом рассуждений.

Изучив литературу по данной теме, мы пришли к выводу о том, что все задачи на взвешивание можно разделить на следующие типы:

*Задачи на сравнения с помощью весов.

*Задачи на взвешивания на весах с гирями.

*Задачи на взвешивания на весах без гирь.



1.2 Характеристика задач на переливание

Задачи на переливание любил решать великий математик Пуассон. Число учёных трудов Пуассона превосходит 300. Они относятся к разным областям математики, физики, теоретической и небесной механики. Когда Пуассон был ещё очень молод и колебался в выборе жизненного пути, приятель показал ему несколько задач, с которыми не мог справиться сам. Пуассон менее чем за час решил их все до одной.

Задачи на переливание -- один из видов старинных задач. Эти задачи возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у любителей математики и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях. Суть их сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний [6,4].

Существует два типа задач на переливание: задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых емкостей из бесконечного источника (озеро, бесконечно большая бочка, водопровод). Можно наполнять сосуды сколь угодно большое количество раз, то есть количество жидкости не ограничено. При этом можно безбоязненно выливать воду из сосудов.

Задачи, в которых необходимо разделить жидкость в большей емкости (чаще всего это какая-то конкретная жидкость - молоко, сок и т.д.) с помощью нескольких меньших по объему емкостей. Жидкость можно только переливать из одной емкости в другую, проливать ее нельзя (это условие оговаривается в задаче). Если же мы можем выливать жидкость, то в условиях задачи обычно присутствует какой-либо персонаж, который может пить данный тип жидкости: Кот Баюн, сосед Гриша и т.п.

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

- все сосуды без делений,

- нельзя переливать жидкости "на глаз",

- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях:

· знаем, что сосуд пуст;

· знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость;

· в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились;

· в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них;

· в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде.

Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов.

Изучая научно-популярную литературу, я узнала, что существуют следующие способы решения логических задач на переливание:

· Метод рассуждений;

· Метод таблиц;

· Метод бильярдного шара

1.3 Метод рассуждений

Этот метод, по сути, является методом подбора. Это наиболее простой способ. С его помощью решаются несложные логические задачи. Идея метода состоит в том, что мы проводим последовательные рассуждения, используя условия задачи, в результате чего через некоторое время приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Следует отметить, что метод не всегда приводит к желаемому результату. К числу других его недостатков можно отнести и то, что он как правило занимает много времени, а, следовательно, использовать его при решении задач на олимпиадах не эффективно. Ведь иногда, потратив много времени, ответ в задаче бывает так и не найден.

1.4 Метод таблиц

Метод таблиц -- один из не очень сложных и часто используемых приемов решения, который используется при решении текстовых логических задач и заключается в построении таблиц, отвечающих условию задачи. В первом столбце указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем- результат очередного переливания.

Этот метод позволяет наглядно представить условие задачи и проследить путь рассуждений, а при необходимости и достаточно быстро найти место в решении, где была допущена ошибка. Таким образом, этот способ решения позволяет наиболее полно проанализировать условие и контролировать путь решения на любом этапе.

1.5 Метод бильярдного шара

Метод бильярда (рисунок 3) -- еще один универсальный метод для решения некоторых типов логических задач. Сформулирован он был в начале прошлого века известным русским математиком Яковом Перельманом Именно он предложил решать задачи на переливание с помощью «умного» шарика.

Основой для решения задач этим методом служит особый чертеж (рисунок 1). Это параллелограмм (четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны), который символизирует собой бильярдный стол. Длины пересекающихся сторон «стола» численно равны объему двух меньших сосудов.

Пространство внутри параллелограмма следует разделить на равносторонние треугольники. Таких заготовок можно сделать две, что позволит вести решение по двум направлениям:

* начать переливания с большего сосуда;

* начать переливания с меньшего сосуда.

Далее, из острого угла этого стола вдоль одной из сторон нужно «запустить» шарик, который по закону «угол падения равен углу отражения» будет сталкиваться с бортами стола, показывая тем самым последовательность переливаний. На бортах стола нанесена шкала, цена деления которой соответствует выбранной единице объема. В результате движения шарик либо ударяется о бортик в нужной точке (тогда задача имеет решение), либо не ударяется (тогда считается, что задача решения не имеет).

Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение, что полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Данные о перемещении шарика заносят в таблицу. Таким образом, всегда можно посчитать какое количество перемещений шарику нужно совершить прежде, чем ответ будет найден и выбрать более короткий из двух возможных путей решения задачи этим методом [2, 290].



Рис. 1



2. Решения задач на взвешивания и переливания

2.1 Решение задач на взвешивание

Задача 1. Одна из девяти монет фальшивая, она весит легче настоящей. Как определить фальшивую монету за 2 взвешивания?

Решение: Первым взвешиванием мы кладем 3 монеты на одну чашу весу, 3 другие на другую чашу весов. Если весы находятся в равновесии, то фальшивая монета среди оставшихся 3 монет, если же одна чаша перевесила, то фальшивая монета находится среди 3 монет на перевесившей чаше. Таким образом, мы нашли три монеты, среди которых находится фальшивая.

Далее действуем аналогично. На одну чашу весов кладем одну монету, на другую чашу весов кладем вторую. Если чаша весов находится в равновесии, то фальшивой является третья монета. Если же одна из чаш весов перевесила, то фальшивая монета находится на другой чаше.

Заметим, что одним взвешиванием нельзя обойтись, поскольку одно взвешивание имеет лишь три возможных исхода, а вариантов для фальшивой монеты -- девять.

Задача 2. В мешке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?

Решение: Один из вариантов: сначала надо разделить 24 кг гвоздей на две равные части по 12 кг, уравновесив их на чашах весов. Затем так же разделить 12 кг гвоздей на две равные части по 6 кг. После этого отложить одну часть, а другую разделить таким же способом на части по 3 кг. Наконец к шестикилограммовой части гвоздей добавить эти 3 кг. В результате получится 9 кг гвоздей.

Задача 3. Имеется 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету?

Решение: Делим монеты на две равные кучки. Из каждой кучки берем по 3 монеты, кладем на весы и взвешиваем. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся 1и 1 монеты и выявляем фальшивую (более легкую). Если же одна группа из трех монет легче другой, значит там есть фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из трех монет и кладем на весы 1и 1 и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит фальшива третья, а если нет, то та которая легче.

2.2 Решение задач на переливание

Задача 1. Можно ли, имея лишь 2 сосуда емкостью 3 и 5 литров, набрать из водопроводного крана 4 литра воды?

Решение: Для решения задачи достаточно воспользоваться методом таблиц:

	3 л	5 л
Исходное состояние	0	5
После 1-го переливания	3	2
После 2-го переливания	0	2
После 3-го переливания	2	0
После 4-го переливания	2	5
После 5-го переливания	3	4

Описать переливания можно так:

- наливаем воду в 5-литровую емкость,

- отливаем из нее 3 литра и выливаем их (остается 2 литра в 5-литровой емкости),

- переливаем эти 2 литра в 3-литровую емкость,

- 5-литровую снова наполняем,

- доливаем из 5-литровой емкости 1 литр до края в 3-литровой, остается 4 л.

Задача 2. Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый и восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов.

Решение: Для решения задачи будем вычерчивать бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов ромбического стола.

Границы таких столов удобнее всего нарисовать с помощью одинаковых равносторонних треугольников. В рассматриваемой задаче стороны стола должны иметь длины 3 и 5 единиц (объемы пустых сосудов).

Рис. 2

По горизонтали отложено количество воды в 5-литровом сосуде в любой момент времени, а по вертикали -- та же величина для 3-литрового сосуда.

Представьте себе, что шар находится в левой нижней вершине в точке 0.Он будет перемещаться вдоль нижнего основания ромба до тех пор, пока не достигнет правой боковой стороны в точке 5. Это означает, что 5-литровый сосуд наполнен до краев, а 3-литровый пуст.

Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 2 по горизонтали и 3 по вертикали. Это означает, что в 5-литровом сосуде осталось всего 2 литра молока, а 3 литра из него перелили в меньший сосуд.

Отразившись упруго от верхнего борта, шар покатится вниз и влево и ударится о нижний борт в точке с координатами 2 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в 5-литровом сосуде осталось 2 литра молока, а из 3 литрового сосуда перелили молоко в 8 литровый сосуд.

Отразившись упруго от нижнего борта, шар покатится вверх и влево и ударится о левый борт в точке с координатами 0 по горизонтали и 2 по вертикали. Это означает, из 5-литрового сосуда вылили молоко 2 литра, в 3 литровый сосуд.

Отразившись упруго от левого борта, шар покатится вправо и ударится о правый борт в точке с координатами 5 по горизонтали и 2 по вертикали. Это означает, в 5-литровый сосуд налили 5 литров молока, а в 3 литровый сосуде осталось 2 литра.

Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 3 по вертикали. Это означает, из 5-литрового сосуда вылили 1 литр молока в 3 литровый сосуд, где стало 3 литра, а в 5-литровом осталось 4 литра.

5л	5	2	2	0	5	4
3л	0	3	0	2	2	3
8л	3	3	6	6	1	1

Задача 3. Бидон, емкость которого 10 литров, наполнен керосином. Имеются еще пустые сосуды, емкостью 7 и 2 литра. Как разлить керосин в два сосуда по 5 литров каждый?

Решение: К решению можно прийти, выполнив3 действия по переливанию. Для решения задачи достаточно воспользоваться методом таблиц.

Количество переливаний	Сосуды
	10л	7л	2л
Исходное состояние	10	0	0
После 1-го переливания	3	7	0
После 2-го переливания	3	5	2
После 3-го переливания	5	5	0



Заключение

Задачи на переливание и взвешивание, безусловно, являются одним из наиболее популярных видов математических головоломок. Несмотря на то, что данные задачи выделены в отдельный тип, для их решения вполне могут применяться общие способы решения логических задач, такие как метод рассуждения, метод таблиц, метод бильярда и др.

Работа по выбранной теме осуществлялась в соответствии с планом исследования, а именно: были определены объектная область, объект и предмет исследования, сформулирована гипотеза, поставлены цели и задачи. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема, обоснована актуальность.

Таким образом, в процессе работы над курсовым гипотеза была подтверждена и, анализируя выполнение поставленных задач, можно сказать следующее: в ходе исследования было дано определение характеристик задач на переливание и взвешивание, изучена теория, разобраны методы логических задач, после которого я научилась применять их для решения задач на переливание и взвешивание и выбрала наиболее удобные для меня. Изучена литература по вопросу исследования, всего изучено 9 научных публикаций и других источников литературы. Самыми интересными, на мой взгляд, оказались Перельман Я. Занимательная геометрия / Я. Перельман. - Москва: - 1994 - 232 с. Нагибин, Ф. Математическая шкатулка: пособие для учащихся 4-8 кл.ср. шк. / Ф. Нагибин, Е. Канин - 5-е изд. - Москва:, 1988. -160с.

В ходе данного исследования были использованы заявленные методы: теоретические, математические.

Анализируя планируемые ожидаемые результаты исследования, можно отметить, что как основной результат работы изучение методов логических задач и применение их в практике. После работы над решением задач этого типа различными способами, я сделала вывод, что наиболее удобными для меня являются метод таблиц и метод бильярда. Причем, метод бильярда, несмотря на кажущуюся сложность, позволяет выполнять решение достаточно быстро и точно. Применение указанных методов не вызвало у меня сложностей и позволило расширить кругозор.

Считаем, что практическая значимость данной работы заключается в следующем: автор работы, изучив литературу по данному вопросу, получил дополнительные знания в области математики, укрепив свой интерес к этой науке.



Список использованных источников и литературы

1. Барабанов А.И., Чернявский И.Я. Задачи и упражнения по математике [Текст]: учеб. пособие /. А. И. Барабанов - Саратов, 2015. - 234 с.

2. Гальперин Г.А., Математические бильярды [Текст]: учеб. пособие / Г.А. Гальперин - Москва, 1999. - 290с.

3. Гальперин Г.А., Периодические движения бильярдного шара [Текст]: учеб. пособие / Г.А Гальперин - Квант. 2001. - 123 с.

4. Коксетер, С. Задача о трех кувшинах [Текст]: учеб. пособие / С. Коксетер, С. Грейтцер - Квант. - 1998. - 89 с

5. Коляда, Е.П Развитие логического и алгоритмического мышления учащихся /Информатика и образование. [Текст]: учеб. пособие / Е.П Коляда - 1996. - 97 с.

6. Комогоров, В. Задачи на переливание: от головоломки к алгоритму /[Текст]: учеб. пособие / В. Комогоров, М. Сизова // Юный ученый. - 2017. - No3. - С.4-6.

7. Нагибин, Ф. Математическая шкатулка: пособие для учащихся 4-8 кл.ср. шк. /[Текст]: учеб. пособие / Ф. Нагибин, Е. Канин - 5-е изд. - Москва - 1988. - 160с.

8. Нагибин, Ф.Ф, Канин, Е.С Математическая шкатулка [Текст]: учеб. пособие / Москва - 1988. - 56 с.

9. Перельман Я. И. Занимательная геометрия[Текст]: учеб. пособие/ Я.И. Перельман. - Москва - 1994 - 232 с.

10. Сайт физико-математической школы «Успех» [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://phys-mathschool.blogspot.com/p/8-9. - Дата доступа: 14.11.2019.

Размещено на Allbest.ru

...