Построение графиков функций, содержащих модуль числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Самарской области

«Самарский колледж сервиса производственного оборудования имени Героя Российской Федерации Е.В. Золотухина»

Индивидуальный проект

по учебной дисциплине: Математика

Построение графиков функций, содержащих модуль числа

Выполнили:

студентки группы № 44.02.01

по специальности «Дошкольное образование»

Шайдулина Рената Ренатовна

Ханько Алёна Александровна

Научный руководитель:

Евграфова Ирина Вениаминовна

Самара 2022

Содержание

Пояснительная записка

1. Модуль

2. Алгоритм построения графика линейной функции с модулем

3. Алгоритм построения графика квадратичной функции с модулем

Заключение

Список использованных источников информации

Пояснительная записка

модуль число квадратичный функция

Актуальность:

Задания на построение графиков функций одна из самых важных и сложных тем математики.

Выше изложенное в целом на теоретико-методологическом уровне определило проблему настоящего исследования: построение графиков функций, содержащих модуль.

Цель исследования: получение более широких знаний о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Объект исследования - математика

Предмет исследования - функции, содержащие знак модуля.

Гипотеза: формирование графических навыков в процессе изучения функций с модулем будет эффективным, если учащиеся овладеют методикой построения и преобразования графиков функции, содержащих модуль.

Задачи:

1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины линейной, квадратичной и дробно-рациональной функций.

2) Исследовать изменения графиков функций в зависимости от расположения знака абсолютной величины.

3) Научиться строить графики уравнений.

1. Модуль

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п.

В физике модуль объемного сжатия - отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

Азы решения уравнений с модулями были получены в 6-ом -7-омклассах. Я выбрала именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах построения графиков, содержащих знак абсолютной величины.

Теорема 1

Абсолютная величина действительного числа a?0 равна большему из двух чисел a или -a.

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-a|=|a|.

Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства a ? |a|, -a?|a|

Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: -|a|?a?|a|

Теорема 2

Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из a²: |a|=va²

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на vа² Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета. Если a?0 то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0.

Определение модуля

Модулем действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательно, и число противоположное а, если а отрицательное.

Основные определения и свойства функций

Функция - одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной у.

Способы задания функции:

1) аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);

2) табличный способ (функция задается с помощью таблицы);

3) описательный способ (функция задается словесным описанием);

4) графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты -соответствующим значениям функции.

Квадратичная функция

Функция, определяемая формулой у = ах²+bх+с, где х и у переменные, а коэффициенты a,bи с-любые действительные числа, причём а? 0, называется квадратичной. График функции у = ах²+ bх+ с есть парабола; осью симметрии параболы у = ах²+bх+с является прямая, при а>0 «ветви» параболы направлены вверх, при а<0- вниз.

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости;

2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;

3) соединить отмеченные точки плавной линией.

Линейная функция--функция вида y=kx+b.

Графиком линейной функции является прямая линия, с чем и связано ее название. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением О_х. Поэтому k называют угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 - тупой, если k=0, то прямая совпадает с осью О_х

2. Алгоритм построения графика линейной функции с модулем

1. Построить график функции y = |x|

1) Если х ? 0, то у = х;

y=|x|- график функции на промежутке [0; ?) совпадает с графиком y=x,

2) Если х <0, то у = - х;

y=|x|- график функции на промежутке (-?;0] совпадает с графиком y = -x,

Построение графика y=|x| + |x-1| + |x+1|

Графиком является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все её вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньев.

Построение графиков уравнений

Примеры графиков уравнений

1. |у| = х-1

2. |у| = 2х-2

3. |у| = (х-1)² - 1

3. Алгоритм построения графика квадратичной функции с модулем

1. Построить график функции y =| x²-4|

Если x²-4<0, то y =( x²-4)= x²-4

y =| x²-4| - квадратная функция, графиком которого является парабола, ветви направлены вверх.

Построить график функции у = х² - 6|х| + 5

а) Пусть х?0, тогда у=х²-6х+5

Построим параболу у=х²-6х+5 и обведем ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную правее оси О_у

б) Пусть х<0, тогда у=х²+6х+5

Построим параболу у=х²+6х+5 и обведем ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси О_у

Заключение

1) Я изучила литературу о свойствах абсолютной величины линейной, квадратичной и дробно-рациональной функций.

2) Я исследовала изменения графиков функций в зависимости от расположения знака абсолютной величины.

3)Я научилась строить графики уравнений.

Мой научно-исследовательский проект можно использовать:

1)на уроках алгебры в 7-9 классах;

2) для индивидуального изучения понятия темы «модуль числа»;

3) групповых и факультативных занятиях;

4) для подготовки к экзаменам.

Мой научно-исследовательский проект будет полезен в работе:

Ученикам, студентам и учителям.

Чем?

Он поможет отыскать новые пути совершенствования обычного урока.

Список использованных источников информации

1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. «Алгебра 9 класс».

2. Виленкин Н.Я. «Функции в природе и технике» - М. Просвещение, 1985.

3. Гельфанд И.М. и др. «Функции и графики» - М. Наука, 1973.

4. Садыкина И. «Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля » - Математика № 33, 2004.

5. Пичурин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры» - М. Просвещение, 1999.

6. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. И.Л. Никольская - М. Просвещение, 1991.

7. Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki.

Размещено на Allbest.ru