Интегралы и их использование в жизни

Размещено на http://www.allbest.ru/

Государственное профессиональное образовательное учреждение

Тульской области

«Тульский государственный машиностроительный колледж

имени Никиты Демидова»

(ГПОУ ТО «ТГМК им.Н.Демидова»)

Реферат на тему

«Интегралы и их использование в жизни»

Выполнил:

студент группы 1921, Гырдилиник А.С

Проверил:

преподаватель математики, Платонова О.В

Тула, 2023



Введение

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа. Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.

Понятие интеграл является одним из важнейших понятий математического анализа. Из определения данного понятия следует, что интеграл - это сумма числа бесконечно малых слагаемых. Элементы интегрального исчисления широко используются во многих аспектах астрономии, биологии, медицине, а также при строительстве различных сооружений. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и так далее.

Первоначально, использование интегралов Френеля применялось при вычислении интенсивности электромагнитного поля в среде, где свет огибает непрозрачные объекты. Относительно недавно они начали использоваться при проектировании автомобильных и железных дорог и их переходных зон кривизны. Но в данном реферате я обращу внимание на использование интегралов в архитектуре и строительстве.



История интегралов

Интеграл (от. Integer - целое число) - одно из важнейших понятий математики, возникшее, с одной стороны, в связи с необходимостью нахождения функции по их производным (например, найти функцию, представляющую путь, по которому движется движущаяся точка, по скорости этой точки), и с другой стороны, площадь, объем, длина дуги, временной интервал для измерения работы сил за определенный промежуток времени и т.д.

Древний интеграл. Интегрирование можно проследить до Древнего Египта примерно в 1800 году до н.э., и московский математический папирус показывает знание объемной формулы усеченной пирамиды. Первым известным методом вычисления интеграла является метод истощения Евдокса (около 370 г. до н.э.), который пытался найти площадь и объем путем деления их на бесконечное число частей, где площадь или объем уже известны. Этот метод был подхвачен и разработан Архимедом и использовался для вычисления площади параболы и аппроксимации площади окружности. Аналогичный метод был независимо разработан в Китае в 3 веке Лю Хуэем, который использовал их для определения площади круга. Затем этот метод был использован Джу Чонгши для определения объема шара.

Следующий важный шаг в вычислении интеграла был сделан в Ираке в XI веке математиком Ибн аль-Хайсамом (известным в Европе как Альхазен), в своей работе "Измерение параболического тела" он пришел к уравнению 4 степеней. Чтобы решить эту проблему, он выполняет эквивалент вычисления определенного интеграла для нахождения объема параболоида. Используя математическую индукцию, он смог обобщить результаты вычисления интегралов от многочленов до порядка 4. Таким образом, он был близок к нахождению общей формулы для интегралов от многочленов, но он не касался многочленов более 4 степеней.

Следующий значительный прогресс в вычислении интегралов появляется только в XVI веке. В работах Кавальери с его неделимыми методами и в работах Ферма была заложена основа современных интегральных вычислений. Дальнейшие шаги были предприняты в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые представили первые намеки на взаимосвязь между интеграцией и дифференциацией.

Другие хорошо известные термины, связанные с интегральными вычислениями, появились гораздо позже. Используемое в настоящее время название "примитивные функции" заменило предыдущие "примитивные функции", введенные Лагранжем (1797). Латинское primitivus переводится как "начальный": f(X)=-f(x)DX - Начальный (или initial, или primitive) из f(x) получается из f(x) путем дифференцирования.

В современной литературе каждое примитивное множество для функции F (x) также называется неопределенным интегралом. Эта концепция была подчеркнута Лейбницем, который заметил, что все примитивные функции отличаются любой константой b, которая называется определенным интегралом (обозначение дано K.Он был введен Фурье (1768-1830), но пределы интеграла уже были указаны Эйлером).

A=f(x)dx

В этом способе используется Евдокс, например, если площадь 2 кругов обрабатывается как квадрат их диаметра, а объем конуса равен 1/3 объема цилиндра с таким же основанием и высотой.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) Доказано, что площадь окружности меньше площади любого правильного многоугольника, описанного вблизи нее, но больше площади вписанного.2) Было доказано, что удвоение неограниченного числа сторон приводит к нулю разницу в площади этих многоугольников.3) Чтобы вычислить площадь окружности, остается найти значение, при котором отношение площади правильного многоугольника стремится бесконечно удваивать число его сторон.

Используя методы истощения, многие другие хитроумные соображения (включая модели механики), Архимед решил множество проблем. Он дал оценку числу p в (3.10/71<P<3.1/7) и нашел объем шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т.д. Сам Архимед оценил эти результаты: в соответствии с его пожеланиями, гробница Архимеда была украшена шаром, вырезанным в форме цилиндра (Архимед был самым знаменитым из всех).ЃA

Архимед предвосхитил многие идеи интегральных вычислений. (Добавим, что на самом деле первая теорема о пределах была доказана им.Но потребовалось более полутора тысяч лет, чтобы эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня математического анализа.

Математики XVII века, получившие много новых результатов, изучали работы Архимеда. Активно использовался и другой метод - неделимый метод, который также имел место в Древней Греции (в основном он связан с атомистическим взглядом Демокрита). Например, они представили себе изогнутую трапецию (рис. 1). Как показано на рисунке 1, а) состоит из вертикальных сегментов длиной F и (x), тем не менее им приписываются области, равные бесконечно малым значениям F(x)dx. Согласно этому пониманию, требуемая площадь считается равной сумме.

S=е f(x)dx

a<x<b

Бесконечно малая площадь бесконечно большого числа. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные члены этой суммы равны нулю, но особый вид нуля, добавленный к бесконечному числу, дает четко определенную положительную сумму. На таких теперь, по крайней мере, сомнительных основаниях, И.Е., И.Кеплер (1571-1630) в своей книге "Новая астрономия".

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б. Римана (1826-1866), французского математика Г. Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (188 4-1974), советским математиком А.Я. Хинчинчиным (1894-1959).

Определение и свойства интеграла

Если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где CОR.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается т f(x)dx.

т f(x)dx = F(x)+C, где F(x) - некоторая первообразная на промежутке J.f - подынтегральная функция, f(x) - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования, C - постоянная интегрирования

Свойства неопределенного интеграла.

(т f(x)dx) ў = т f(x)dx,

т f(x)dx = F(x)+C, где F ў(x) = f(x)

(т f(x)dx) ў= (F(x)+C) ў= f(x)

т f ў(x)dx = f(x)+C - из определения.

т k f (x)dx = k т fў(x)dx

если k - постоянная и F ў(x)=f(x),

т k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k т fў(x)dx

т ( f(x)+g(x)+...+h(x) )dx = т f(x)dx + т g(x)dx +...+ т h(x)dx

т ( f(x)+g(x)+...+h(x) )dx = т [F ў(x)+G ў(x)+...+H ў(x)]dx = т [F(x)+G(x)+...+H(x)] ўdx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C= т f(x)dx + т g(x)dx +...+ т h(x)dx, где C=C1+C2+C3+...+Cn.

Интеграция

Табличный метод.

Способ замены.

Возможно (но не всегда) применить этот метод, если подынтегральное выражение не является табличным интегралом. Чтобы сделать это, вам нужно сделать следующее:

Разделите подынтегральное выражение на 2 множителя;

Показывает 1 из множителей для новой переменной;

Выразите второй множитель через новую переменную;

Создайте интеграл, найдите его значение и выполните обратную подстановку.

Примечание: Для новых переменных рекомендуется указать функцию, связанную с остальной частью выражения.

Примеры:

1. т xЦ(3x2-1)dx;

Пусть 3x2-1=t (tі0), возьмем производную от обеих частей:

6xdx = dt

xdx=dt/6

у dt 1 1 у 1 1 t 2 2 1 ---Ш

ф- t 2 = - ф t 2dt = - --- + C = -Ц 3x2-1 +C

х 6 6 х 6 3 9

т sin x cos 3x dx = т - t3dt = - - + C

Пусть cos x = t

- sin x dx = dt

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке  задана непрерывная неотрицательная функция  . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу - осью Ох, слева и справа - прямыми x = a и x = b (рис. 2).

Рис. 2

Определенный интеграл  от неотрицательной функции  с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции  , слева и справа - отрезками прямых  и  , снизу - отрезком  оси Ох.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция  непрерывна на отрезке  и  - какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

, (2)

которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность  принято записывать следующим образом:

,

где символ называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную  для подынтегральной функции  ; на втором - находится разность  значений этой первообразной на концах отрезка  .

Применение в физике

Работа силы

(A=FScos, cos 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

d(m2/2) = Fds

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds - перемещение частицы за время dt. Величина

dA=Fds

называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f-непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S1(a) в S2(b). Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков, одинаковой длины

x = (b - a)/n.

Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) -непрерывна, то при малом [a;x1] работа силы на этом отрезке равна

f(a)(x1-a).

Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2-x1), на n-ом отрезке --

f(xn-1)(b-xn-1).

Следовательно работа на [a;b] равна:

А An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn-1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n b

А = lim [(b-a)/n] ( f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (по определению)

n a

В геометрии

Объём -- количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1дм, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле -- объём тела.

Аксиомы объёма:

Объём -- это неотрицательная величина.

Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма:



выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

определим границы расположения тела относительно ОХ;

введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка [a;b] поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.

разобьем отрезок [a;b] на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

n

x0,

SkSk+1,

а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n называется интегралом

V = S(x)dx,



где S(x) - сечение плоскости, проходящей через выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

1) Выбрать удобным способом ось ОХ.

2) Определить границы расположения этого тела относительно оси.

3) Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4) Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.

5) Составить интеграл.

6) Вычислив интеграл, найти объем.

Применение интеграла в строительстве и архитектуре

Меняющиеся взгляды общества, тенденции моды, динамика развития технологий связывают развитие архитектурного пространства как системы саморегулирования. Система, которая может молниеносно реагировать на меняющиеся требования общества и технологические достижения, так что в архитектуре создается впечатление целостного пространства.

Процесс интеграции в определенной сфере пытается обобщиться на методы и теории единой комплексной модели, которая, отвергая грубое единство, доказала свою корректность в конкретном контексте. Архитектурный целостный каркас пространства

Предметом процесса интеграции в архитектуре является не только внутренняя архитектурная среда и принципы лепки, но и то, как все эти компоненты влияют на композицию тематического пространственного каркаса здания из-за условий функциональной насыщенности, социального контекста и адаптивности.

Возникает проблема с методами и средствами, которые могут быть использованы для построения функционально-пространственной модели интегрального пространства. Решение предлагается нам целым классом современных многопрофильных зданий, или, скорее, универсальных многофункциональных комплексов.

В продолжение исследования обратимся к основным принципам организации пространства, которые все чаще используются в современных зарубежных многофункциональных комплексах.

- Доминирующей задачей пространственной организации нового здания является разделение его на функциональные "слои" на каждом этаже.

Система позволяет посетителям-людям минимизировать психологический стресс, вызванный монотонным пребыванием, чередуя функции разных комнат. Информационная среда также побуждает его к более разнообразной деятельности в этом пространстве.

- Существенными особенностями этого принципа также можно отметить формирование большого внутреннего пространства для человека за счет плавно перетекающего объема, с учетом цветовых, геометрических и структурных решений, разумной планировки, буферных зон, например, введение озелененных растительных стен, устройства мини-ландшафтов.

Интерьер реализован как динамичное пространство, которое взаимодействует с людьми, прислушивается к меняющимся потребностям и удовлетворяет их. интеграл френеля геометрический электромагнитное поле

Отсюда следующее основополагающее качество интегральных пространств - коммуникативность.

Еще одно качество интегральных пространств - способность к адаптации («adaptivity» - самоорганизация, способность системы приспосабливаться к различным условиям окружающей среды или запросам общества). Развитие технологий меняет представление потребителя о комфорте, качестве и функциональности здания, потому обеспечение максимальной эксплуатационной автономности, легкого демонтажа, замены и реконструкции инженерных элементов здания дает возможность избежать быстрого устаревания, потери финансовой и социальной привлекательности, а также не позволяет утратить архитектурному объекту статуса уникальности. Таким образом, под адаптируемым интегральным пространством понимается его способность получать новые качества для реорганизации или приближения своей структуры к оптимальной.

Обобщив вышеизложенное, сформулируем термин интегрального пространства в архитектуре. Под «интегральным пространством» в архитектуре подразумевается саморегулирующаяся система, образованная внутренними и внешними формами путем комплексного подхода, отвечающая пяти основополагающим качествам: уникальности, многофункциональности, коммуникативности, устойчивости и адаптивности.

Возникает вопрос о том, каким образом построить данную систему - систему интегрального пространства. Опираясь на комплексность, приведем ряд компонентов, которые могут формировать структуру интегрального пространства.

Компоненты интегрального пространства

Форма. Физические свойства пространства путем выбора структурной системы внутреннего пространства: внешние конструктивные элементы, встроенный объем, утопленное пространство со световой шахтой, пространство, необходимое в качестве нового типологического элемента атриума. Превосходство компонентов внутренней конструкции над выбором конструктивного фундамента "тела" здания.

Компоненты городского планирования. Влияние ситуации в городе на формирование структуры целостного пространства и формирование всего здания в целом. Характерные градостроительные линии, оси, направления, т.е. возможность перетекания в интерьер, конструктивные элементы, мотивы формирования фасадных решений из перетекания городского фундамента.

Общение. Развитие целостного пространства как горизонтального, вертикального транспортного пути, а также возможность организации "сложного" транзита в контексте городского планирования, функциональных особенностей, смысловых компонентов.

Семантические компоненты. Это означает включение психофизических свойств в структуру целостного пространства (например, особенности цветовой гаммы интерьера и фасада, технические особенности пространства для разных категорий людей с ограниченными возможностями: светильники для малоподвижных групп, здоровые ориентиры для слепых и т.д.).).

Социокультурный компонент. Дифференциация пространства в связи с социокультурными требованиями общества и времени, с учетом конструктивных элементов социальных отношений, функционального содержания и необходимого пространства.

Энергоэффективность. Внедрение энергоэффективных инженерных технологий в структуру интегрированного пространства. Формирование архитектурного объема здания с учетом меньших теплопотерь, увеличения естественного освещения, улучшения воздухообмена.

Искусственная среда. Формирование архитектурной среды целостного пространства искусственных помещений: обустройство зимних садов, пересечений крытых улиц, озеленение крыш и фасадов, организация архитектуры и ландшафта. Внедрение методов и различных композиционных приемов для интеграции природных элементов и антропогенной среды.

Условия внешней среды. В дополнение к компонентам городского планирования, незаменимое пространство формируется с учетом условий экстремальной среды, как естественной (северная, особенно южная), так и антропогенной природы. В искусственном слое, помимо физических (ограничения застройки, санитарно-защитные зоны, исторические районы, недоступные и т.д.), можно выделить экстремальные социальные параметры, связанные с проблемами социальных, политических и экономических отношений.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение интегралов занимает важное место в процессе изучения математики в общеобразовательной школе и очень важно, чтобы элементы истории при преподавании были актуальными, познавательными и развивающими.

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления.

Методы математического анализа активно развивались в XVIII столетии. А строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке.

Выше были приведены основные теоретические сведения: определение и свойства интегралов, что очень важно для преобразования интегральных уравнений и других, связанных с ним.

Анализируя, дополняя, внедряя те или иные компоненты интегрального пространства в универсальные многофункциональные комплексы, можно решить задачу проектирования современных уникальных зданий, модернизируя структурную организацию и архитектурную выразительность этих объектов

Применение интегралов довольно широко и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.

В наше интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках, и без него сейчас никуда, соответственно базовые знание в этой сфере необходимы.

Размещено на Allbest.ru

...