Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Елабужский институт (филиал)

Выпускная квалификационная работа

Элементы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Елабуга - 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
• 1.1 Интегральные кривые однородного уравнения первого порядка
• 1.2 Интегральные кривые уравнения
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Как известно, качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений изучает свойства решений дифференциальных уравнений без нахождения самих решений.

В настоящее время геометрическая теория дифференциальных уравнений сильно разветвилась. Из нее выделилась гамильтонова механика, вместе с новой ветвью -- теорией КАМ; многомерная теория динамических систем, называемая также дифференциальной динамикой; теория бифуркаций; голоморфная динамика, изучающая итерации рациональных отображений сферы Римана на себя; уравнения на поверхностях; теория релаксационных колебаний; качественная теория дифференциальных уравнений на плоскости, вещественной и комплексной.

Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены в конце XIX века великими математиками А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым.

В работе рассматривается алгоритм построения интегральных кривых однородного уравнения общего вида

. (1)

Данный алгоритм применяется к задаче построения интегральных кривых хорошо известного уравнения, являющегося частным случаем уравнения (1)

,

которое было исследовано А. Пуанкаре другим методом. Кроме того, изложенный алгоритм применяется и к более сложной задаче анализа поведения интегральных кривых уравнения

.

Для данного уравнения приведена детальная классификация возможных типов поведения интегральных кривых.

Цель исследования: интегральные кривые однородного уравнения первого порядка.

Задачи:

- изучить алгоритм нахождения интегральных кривых однородных уравнений первого порядка;

- изучить свойства Интегральные кривые уравнения

.

Объект исследования: обыкновенные дифференциальные уравнения.

Предмет исследования: Интегральные кривые однородного уравнения первого порядка.

Методы исследования. Используются общие методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Изложены некоторые вопросы элементов качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Значимость работы: решены задачи интегральных кривых однородного уравнения первого порядка;

Структура и объём работы. ВКР состоит из введения, одной главы, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 51 странице, включая формулы. Список литературы содержит 14 наименований.

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1 Интегральные кривые однородного уравнения первого порядка

Рассмотрим здесь общее однородное уравнение

(1)

и проведём анализ интегральных кривых элементарными методами качественной теории однородных дифференциальных уравнений. Относительно функции будем предполагать, что соответствующее ей поле направлений на плоскости (х, у) непрерывно и дифференцируемо всюду, кроме начала координат.

1. Уравнение (1) не меняется при преобразовании подобия , , поэтому преобразование подобия переводит всякую интегральную кривую снова в интегральную кривую.

Изоклины уравнения (1) суть прямые (2). Назовём изоклину инвариантной, если она сама является решением уравнения (1), или, что то же самое, если для удовлетворяется уравнение

(2)

Очевидно, что задача определения всех инвариантных кривых равносильна задаче вычисления всех вещественных корней уравнения (2) (включая возможное значение ).

Пусть -- угол между положительными направлениями оси и направлением некоторого луча, исходящего из начала координат (все углы измеряются от первой из указанных прямых до второй), и -- угол между направлением луча и направлением касательных к интегральным кривым, пересекающим этот луч. Если не различать значения и , то функция в силу наших предположений о функции будет непрерывной и дифференцируемой функцией угла . Инвариантные лучи характеризуются тем, что для них и . Если в некотором секторе нет инвариантных прямых, то в силу непрерывности можно указать константы так, что во всём этом секторе будет выполнены неравенства

(3)

2. Рассмотрим сначала случай, когда уравнение (2) не имеет ни одного вещественного корня.

В этом случае неравенства (3) имеют место для всех значений . Пусть P -- некоторая точка на фиксированной интегральной кривой Г, -- полярные координаты этой точки. Обозначим через и спирали, проходящие через точку Р и образующие с каждым лучом постоянный угол, равный соответственно и . Интегральная кривая Г идёт между этими спиралями и в дальнейшем, по мере увеличения , не сможет пересечь ни одну из них. После одного оборота вокруг начала координат спирали и пересекут луч соответственно в точках и ; интегральная кривая Г, располагаясь между спиралями, пересечёт луч в некоторой точке на отрезке . Так как подобное преобразование плоскости переводит интегральную кривую снова в интегральную кривую, то следующий виток интегральной кривой Г может быть получен подобным преобразованием уже построенного витка, переводящим точку Р в точку P₁. Повторяя указанные подобные преобразования, мы построим полностью интегральную кривую Г. Она оказывается, вообще говоря, спиралью; эта спираль разворачивается, если , или сворачивается, если . Если же точка P₁ оказалась совпавшей с точкой Р, , кривая Г становится замкнутой; все остальные интегральные кривые также замкнуты, поскольку они получаются из кривой Г преобразованием подобия. В последнем частном случае начало координат есть особая точка, называемая центром, в общем случае -- фокусом. Можно указать аналитический критерий, позволяющий отличить фокус от центра. Именно, если записать уравнение (1) в полярных координатах , мы получим:

(4)

Интегрируя соотношение (4) в пределах от до и используя периодичность F, мы получаем:

. (5)

Последний интеграл можно вычислить, как только дано уравнение (4). Если этот интеграл положителен, то , и мы имеем дело с разворачивающейся спиралью; если он отрицателен, то , и спираль -- сворачивающаяся; если же интеграл равен нулю, то , и интегральные кривые замкнуты.

3. Рассмотрим теперь случай, когда уравнение (2) имеет вещественный корень . Графически этот корень можно определить как абсциссу точки пересечения кривой и биссектрисы в осях . Естественно, что поведение интегральных в малом секторе зависит от поведения функции в соответствующем интервале оси . Мы рассмотрим следующие три случая:

Об исключительных случаях ( = 0, 1 или ) будет сказано ниже. Удобнее от осей перейти к осям , где . В то время как величины k и p меняются от до , углы меняются от до . Функция перейдёт в некоторую функцию; при этом производная преобразуется следующим образом:

. (7)

В частности, на биссектрисе, где , если ,

.

Следовательно, три случая (6) на графике (k,p) соответствуют таким же трём случаям на графике :

за исключением только точки .

Если на плоскости (х, у) произвести поворот поля направлений на угол , то функция изменится некоторым сложным образом. Но, оказывается, что функция преобразуется при этом весьма просто; именно она перейдёт в следующую функцию :

, (9)

так что график функций получается сдвигом графика вдоль обеих осей на величину - (или, что то же самое, сдвигом вдоль биссектрисы на величину ). Докажем формулу (9). Введём функцию и рассмотрим преобразованную функцию ; из геометрического смысла функции как угла между направлением изоклины и направлением интегральных кривых непосредственно вытекает, что

,

откуда

или

,

что и требовалось доказать.

Совершим такой поворот осей, чтобы интересующий нас инвариантный луч совместился с положительным направлением на оси . Это отвечает такому сдвигу графика вдоль биссектрисы, при котором рассматриваемая точка пересечения его с биссектрисой попадает в начало координат. Так как при параллельном переносе значения производных не изменяются, то случаи (8) приводятся к следующим



Рассмотрим случай (10.1). На изоклинах с достаточно малым мы имеем : интегральные кривые образуют положительный угол с направлением изоклины.

Рис. 1. Параболический луч 1-го рода. Рис. 2. Параболический луч 2-го рода.

Это означает, что при интегральные кривые приближаются к началу координат и их касательные стремятся совместиться с осью ; на изоклинах с -- симметричная картина (рис. 1). В этом случае инвариантный луч называется параболическим лучом 1-го рода.

В случае (10.2) на изоклинах мы имеем : интегральные кривые образуют отрицательный угол с направлением изоклины и положительный угол с направлением оси х. Это означает, что при интегральные кривые удаляются от начала координат и от оси х, а их касательные стремятся стать параллельными на оси х ; на изоклинах с -- симметричная картина (рис. 2). Инвариантный луч называется в этом случае параболическим лучом 2-го рода.

В случае (10.3) на изоклинах и : интегральные кривые образуют отрицательный угол с осью х. При интегральные кривые удаляются от начала координат и приближаются к оси х; касательные к ним, поворачиваясь, стремятся стать параллельными оси х; симметричная картина на изоклинах с (рис. 3) . Луч называется в этом случае гиперболическим лучом.

Рис. 3. Гиперболический луч.

Чтобы включить в эту схему также и случай инвариантного луча с , перейдём в формуле (7) к пределу при ; так как, очевидно,

,

то

.

Это означает, что при случай (6.1) переходит в случай (8.2) и, далее, в (10.2), а случай (6.2) -- в случаи (8.1) и (10.1). Случай (6.3) остаётся, как и ранее, соответствующим случаям (8.3) и (10.3).

Заметим, что во всех предыдущих рассмотрениях мы использовали значение производной только для уточнения поведения функции в окрестности точки . Если заранее известно это поведение, то нет необходимости в вычислении производной. С другой стороны, это обстоятельство даёт возможность включить в наше исследование и особые случаи (0, 1 или ). Действительно, пусть, например, , и о функции нам известно, что при . В таком случае справа от точки кривая будет вести себя так же, как в случае (6.1), и мы будем иметь для параболический тип 1-го рода; слева от точки кривая будет вести себя, как в случае (6.2), и мы получим параболический тип 2-го рода.

Поэтому в особых случаях будем относить понятие типа не к самому инвариантному лучу, а к той или иной его стороне.

Аналогично можно установить поведение интегральных кривых и в других особых случаях. Результаты, которые получаются из таких же элементарно-геометрических соображений, могут быть сведены в таблицу:

Тип луча	Условие со стороны	Условие со стороны
Гиперболический
Параболический 1-го рода
Параболический 2-го рода

Для условия гиперболического луча должны быть заменены следующими: со стороны , со стороны . Условия параболических лучей остаются без изменений.

4. Результаты п. 3 дают возможность строить интегральные кривые в малых секторах, окружающих инвариантные лучи. Вне этих секторов мы можем воспользоваться методом п. 2 и получить, что интегральные кривые имеют вид дуг спиралей, пересекающих изоклины под ненулевым углом, и во всяком случае не уходят в бесконечность и не входят в начало координат.

5. Применим построенную теорию для анализа кривых уравнения Пуанкаре

,

где детерминант

.

Здесь

и для определения инвариантных прямых мы должны рассмотреть уравнение

.

Его корни определяются по формуле

.

Условием отсутствия инвариантных прямых служит неравенство

;

в силу п. 2 мы получаем в этом случае фокус или центр. При получаем две инвариантные прямые, при -- одну инвариантную прямую (при уравнение приводится к виду ; все прямые инвариантны). Производная

имеет постоянный знак для всех значений k . Поэтому при обе инвариантные прямые -- гиперболические; особая точка в начале координат называется седлом (рис. 4).

Рис. 4. Седло. Рис. 5. Узел.



Рис.6. Вырожденный узел.

Кривая в общем случае представляет собой гиперболу с асимптотами, параллельными осям координат. Если , то -- возрастающая функция. Биссектриса при пересекает гиперболу в двух точках, причём, очевидно для одной из этих точек больше чем 1, а для другой -- меньше чем 1; поэтому одна из соответствующих прямых будет параболической 1-го рода, а вторая -- параболической 2-го рода, особая точка в начале координат есть узел (рис. 5). Если и, то гипербола касается биссектрисы; если же но гипербола превращается в прямую, параллельную биссектрисе (и касающуюся, следовательно, биссектрисы в бесконечности).

В обоих этих случаях исследуемая линия располагается по одну сторону от биссектрисы. В соответствии со сказанным в п. 3 единственная инвариантная прямая будет параболической 1-го рода с одной стороны и 2-го рода с другой сторон (вырожденный узел, рис. 6).

Все полученные результаты сводятся в следующую таблицу:

	фокус или центр
	узел	седло
	вырожденный узел

6. Данный метод позволяет исследовать и другие классы однородных уравнений. Рассмотрим, например, уравнение вида

Здесь ; инвариантные прямые определяются уравнением , которое имеет корни .

Производная для инвариантных прямых принимает следующие значения: Применяя результаты п. 4, получаем следующие четыре основных типа расположения интегральных кривых (рис. 7).

Рис. 7.

В заключение остановимся ещё на одном вопросе, связанном с расположением интегральных кривых однородного уравнения. Назовём сектором часть плоскости, ограниченную двумя инвариантными лучами и не содержащую внутри себя других инвариантных лучей. Взятый сектор назовём нормальным в двух случаях: 1) если оба ограничивающих инвариантных луча имеют со стороны сектора гиперболический тип; 2) если один из ограничивающих лучей имеет со стороны сектора параболический тип 1-го рода, а второй -- 2-го рода. Сектор, не являющийся нормальным, назовём анормальным. Например, для уравнения п. 5 всякий сектор нормален.

Можно указать аналитические условия, обеспечивающие нормальный характер сектора . Таковыми являются, например, следующие условия:

(А) При

(В) При конечна.

Действительно, из условия (А) вытекает, что оба луча, ограничивающих сектор, имеют со стороны сектора гиперболический тип (см.п. 3). Из условия же (В) вытекает выполнение одного из двух следующих фактов:

(В₁) При при

(В₂) При при .

Каждый из них, в силу результатов п. 3, приводит к утверждению, что сектор нормален; именно в случае (В₁) луч -- параболический 2-го рода, луч -- параболический 1-го рода; в случае (В₂) луч -- параболический 1-го рода, луч -- параболический 2-го рода.

Уравнение, рассмотренное в п. 6, как видно из чертежей, может допускать и нормальные, и анормальные секторы.

Рассмотрим более общее уравнение

(11)

причём предположим, что дробь, стоящая в правой части равенства (11), не может быть существенно сокращена (т.е. числитель и знаменатель не имеют общих множителей выше нулевой степени). Для определения инвариантных прямых здесь получается уравнение 3-й степени

.

Допустим, что уравнение имеет три различных вещественных корня. Тогда уравнение (11) имеет три различных инвариантных прямых. Покажем, что среди трёх различных секторов, ограниченных этими инвариантными прямыми (не считая зеркально симметричных) имеется по крайней мере один нормальный сектор.

Для доказательства произведём аффинное преобразование координат, переводящее три заданные инвариантные прямые в прямые Так как степень однородного многочлена не меняется при аффинном преобразовании, то в новых координатах уравнение (11) будет иметь тот же вид, с другими коэффициентами a, b, c, d, e, f; более точно, новые коэффициенты будут удовлетворять условиям

При кривая является параболой с вертикальной осью (, так как при в соответствующем уравнении

числитель и множитель правой части имели бы общий множитель х). Производная всюду конечна и обращается в нуль только в одной точке; поэтому, если из трёх промежутков взять тот, в котором не обращается в нуль, то соответствующий сектор заведомо будет нормальным в силу критерия (А) или (В). При

и кривая представляет собою гиперболу с одной вертикальной и одной наклонной асимптотами. Производная самое большее 2 раза обращается в нуль; два корня уравнения , если они cуществуют, располагаются во всяком случае по разные стороны от единственного корня уравнения :

.

Если хотя бы один из промежутков не содержит ни одной из величин , то соответствующий сектор нормален в силу критерия (А) или (В). Нам остаётся рассмотреть случай . Если при этом в промежутке , то соответствующий сектор опять-таки нормален по критерию (А) . Покажем, что ничего иного и не может быть. Действительно, поскольку функция не обращается в нуль при она не может изменять знак в этом промежутке (при переходе через значение меняет знак , но не ); следовательно, нам остаётся рассмотреть случай при . В этом случае кривая , начинаясь в точке( 0, 0), при изменении от 0 до , уходит неограниченно вверх , и затем, при с противоположного конца асимптоты поднимается до точки (1,1). Но в таком случае всякая прямая с отрицательным угловым коэффициентом А заведомо пересекается с кривой в области . Наклонная асимптота рассматриваемой гиперболы не пересекает саму эту гиперболу, и, следовательно, имеет положительный угловой коэффициент. Но отсюда следует, что производная вообще не обращается в нуль. Точки , таким образом, не существуют, что приводит к противоречию с предположением. Наше утверждение, таким образом, доказано.

Заметим, что в общем случае нельзя утверждать о наличии двух нормальных секторов, что видно хотя бы на чертежах к п. 6.

7. Рассмотрим некоторые задачи, связанные с построением интегральных кривых уравнений вида .

Пример 1.

Вывести условие, необходимое и достаточное для того, чтобы все решения однородного уравнения изображались замкнутыми кривыми, окружающими начало координат.

Решение

1) Если у нас , то уравнение примет вид: . Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая это уравнение, получим

Значит, в качестве интегральных кривых имеем все полупрямые, примыкающие к началу координат. Так как по условию задачи решения однородного уравнения должны изображаться замкнутыми кривыми, то получаем, что .

2) Полупрямые и тоже не могут являться интегральными кривыми (по условию задачи). Следовательно, .

3) Для дальнейшего исследования перейдем к полярным координатам

Тогда имеем:

Учитывая, что уравнение примет вид:

,

Поделим обе части равенства на :

Пусть интегральные кривые заданы в полярных координатах, и положим для , для .

Так как всякая кривая, полученная из интегральной кривой однородного уравнения при помощи преобразования подобия с центром подобия в начале координат, является также интегральной кривой, то в случае замкнутой интегральной кривой должно быть равным (в противном случае, наша интегральная кривая не сомкнется). Кроме того, ввиду симметрии интегральной кривой .

Проинтегрируем (12), используя замену . Тогда из условия следует

. Отсюда, используя подстановку

,

.

Так как по условию задачи у нас должно равняться , получим

Итак,

1) (решения вида не удовлетворяют условию задачи)

2)

3)

Пример 2.

Пусть -- корень уравнения Показать, что:

1) если , то ни одно решение уравнения не касается прямой в начале координат;

2) если , то этой прямой касается бесконечно много решений.

Решение. Рассматривается уравнение

.

Положим . Тогда . Уравнение (13) перепишется в виде

Разделяя в (14) переменные получим

Учитывая условие задачи, что -- корень уравнения имеем

Следовательно

.

Возьмем интегралы от обеих частей уравнения (15):

,

Рассмотрим 2 случая

1) Тогда

а при .

Но, , поэтому

Таким образом, получаем:

Равенство (16) невозможно. Следовательно, интегральная кривая не может касаться прямой при

2) Тогда при (см. (17)).

Значит, любая интегральная кривая при касается прямой

.

Пример 3.

Пусть требуется представить поведение интегральных кривых уравнения:

Решение.

Воспользуемся методом, изложенным в данном параграфе.

Уравнение (18) -- уравнение Пуанкаре, где и детерминант

Для определения инвариантных прямых рассмотрим уравнение:

Его корни вычисляются по формуле:

Значит .

Так как получаем две инвариантные прямые. Кроме того, Значит, обе инвариантные прямые -- гиперболические, особая точка в начале координат является седлом.

Пример 4.

Доказать, что интегральные кривые уравнения

пересекают прямую под углом .

Решение.

Для однородного уравнения легко вычислить тангенс угла, под которым интегральные кривые пересекают луч . Пусть -- точка пересечения некоторой интегральной кривой с прямой и -- величина угла между касательной, проведенной к интегральной кривой в точке , и осью абсцисс. Тогда угол между касательной к интегральной кривой и прямой равен -; поэтому

.

Точка лежит на прямой ; следовательно,

.

Таким образом, . Запишем исходное уравнение в виде

.

Для этого уравнения

.

Значит, . Тангенс угла пересечения интегральных кривых исходного уравнения с прямой вычислим по выведенной формуле:

.

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Пример 5.

Построить приближенно интегральные кривые уравнения

,

не решая его.

Решение.

При решении предыдущей задачи была выведена формула для определения тангенса угла между лучом и пересекающей его интегральной кривой однородного уравнения . Эта формула применяется для приближенного построения интегральных кривых однородного уравнения. Так как интегральные кривые однородного уравнения пересекают луч под одним и тем же углом, то, исследуя знак выражения в зависимости от , можно приближенно определить поведение интегральных кривых уравнения .

Запишем уравнение решаемой задачи в виде ; получим , . Тангенс угла пересечения интегральной кривой с лучом определяется формулой

.

Исходное уравнение не изменится, если в нем заменить на или на . Таким образом, интегральные кривые должны быть расположены симметрично относительно осей абсцисс и ординат. Поэтому достаточно построить их в I квадранте координатной системы, т.е. исследовать формулу (19) только для . Для указанных значений при и при , причем при ; значит интегральные кривые пересекают ось абсцисс под прямым углом.

Рис. 8. Рис. 9.

Если , то ; следовательно, луч , является интегральной кривой. Рассмотрев еще несколько значений , получим достаточную информацию для приближенного построения интегральных кривых исходного уравнения (рис. 8).

Пример 6.

Построить приближенно интегральные кривые уравнения

,

не решая его.

Решение.

Данное уравнение определено в области .

Рассмотрим это уравнение при , переписав его в виде

.

В данном случае

, .

Поэтому интегральные кривые пересекают луч , под углом , для которого

.

Из этой формулы видно, что лучи и , (при и ) являются интегральными кривыми исходного уравнения. Исследуя функцию

на промежутках (--1,0) и (0,+), нетрудно построить другие интегральные кривые исходного уравнения (рис. 9) .

Пусть , тогда

, ,

и интегральные кривые пересекают луч , под углом таким, что

.

Лучи и , () являются интегральными кривыми исходного уравнения. Остальные интегральные кривые построим, исследуя функцию

на промежутках (--1, 0 ) и (0, +).

Отметим, что выражение, стоящее в знаменателе функции , может обращаться в нуль при :

, , .

Исследуя функцию (или графически), легко установить, что уравнение имеет один положительный корень . Следовательно, луч , интегральные кривые исходного уравнения пересекают под прямым углом. Вычислив при необходимости значение функции еще в нескольких точках , получим достаточную информацию для приближенного построения интегральных кривых исходного уравнения при (рис.10). поведение интегральных кривых на всей плоскости показано на рис.11.

Рис. 10. Рис. 11.

1.2 Интегральные кривые уравнения

В предыдущем параграфе указан общий способ построения интегральных кривых однородного уравнения первого порядка

.

Пользуясь этим способом, мы дадим здесь полное описание всех типов расположения интегральнх кривых уравнения

(1)

с несократимой дробью в правой части равенства.

1. Как и в общем случае угловые коэффициенты инвариантных прямых уравнения (1) определяются как вещественные корни уравнения , которое в данном случае имеет вид

. (2)

Следовательно, мы должны решить уравнение третьей степени

.

Кубическое уравнение имеет, по крайней мере , один вещественный корень, поэтому уравнение (1) имеет не менее одной инвариантной прямой.

Поведение интегральных кривых около инвариантного луча, как показано в п. 1.1, определяется из таблицы 1.

Таблица 1

Тип луча	Условие со стороны	Условие со стороны
араболический 1-го рода
Параболический 2-го рода
Гиперболический

В некоторых случаях уже в значение производной даёт возможность определить тип инвариантного луча , а именно, для

1) Если то инвариантный луч с обеих сторон гиперболический,

2) Если то инвариантный луч с обеих сторон параболический второго рода,

3) Если то инвариантный луч с обеих сторон параболический первого рода.

Для значение производной соответствует параболическому лучу второго рода.

В дальнейшем будем считать, что ось направлена по инвариантной прямой, чего всегда можно добиться поворотом осей (известно, что при любом аффинном преобразовании координат, в частности при повороте, вид уравнения (1) не изменяется.

Наличие корня у уравнения (2) соответствует тому, что у уравнения (1) коэффициент обращается в нуль, и следовательно, оно принимает вид

(3)

Можно считать, что , так как в противном случае правую часть можно было бы сократить на .

В зависимости от значения рассмотрим две существенно различные возможности.

а) При функция в системе координат изображается гиперболой, уравнение которой можно написать в виде

где

Эта гипербола имеет одну вертикальную асимптоту и одну наклонную асимптоту

Производная имеет следующее выражение:

б) При функция изображается параболой с вертикальной осью. В этом случае в силу условий

Производная имеет вид

Если парабола обращена ветвями вверх, если -- ветвями вниз.

2. Рассмотрим случай, когда инвариантная прямая единственная. Это означает, что уравнение

не имеет конечных вещественных корней.

Так как при этом то при возникают основные возможности, показанные на рис. 12.

Рис. 12.

Кроме основных, остаётся рассмотреть один особый случай или . Покажем, что нового расположения интегральных кривых мы здесь не получим.

Действительно, в этом случае наклонная асимптота гиперболы параллельна биссектрисе; а так как на конечном расстоянии гипербола по условию не пересекает биссектрисы, то асимптота совпадает с биссектрисой (т. е. что легко можно показать и выкладкой).

При этом возможно одно из двух

а) при и при

б) наоборот, при и при

Первый случай осуществляется при , второй -- при . В самом деле, если при

то

и, следовательно,

откуда

Аналогично из неравенства (при ) вытекает

Таблица 1 показывает, что в первом случае картина расположения интегральных кривых будет такой же, как на рис. 12 (3),а во втором случае, как на рис.12 (2).

При возможны два подслучая: парабола обращена раствором вверх и парабола обращена раствором вниз

Достаточно рассматривать один из них, например первый, так как преобразованию отвечает в плоскости (), очевидно, зеркальное отражение относительно оси которое не может привести к существенно новому расположению интегральных кривых.

В первом подслучае, которым ограничимся, таблица 1 приводит нас к расположению интегральных кривых, показанному на рис. 13.



Рис. 13.

3. Рассмотрим случай, когда имеется ещё, по крайней мере, одна инвариантная прямая.

Аффинным преобразованием координат всегда эту прямую можно направить по оси . Это означает, что в уравнении (3) коэффициент будет равен нулю.

Третий корень уравнения (1) в этом случае становится равным

При этом числитель и знаменатель одновременно не обращаются в нуль, ибо в противном случае уравнение можно было бы сократить на

Если ни число , ни число не равны нулю, то у нас имеется три инвариантных прямых. Если же одно из них обращается в нуль, то остаются две инвариантные прямые и одна из которых будет двукратной.

Рассмотрим сначала этот последний случай. Без ограничения общности можно считать, что двукратная инвариантная прямая есть ось (этого всегда можно добиться поворотом осей), т.е. и, следовательно, .

При этом , так как в противном случае мы имели бы в уравнении (3) и правую часть можно было бы сократить на .

В этом случае наклонная асимптота гиперболы имеет уравнение т.е. параллельна биссектрисе, но заведомо с ней не совпадает. Мы уже выше отметили, что зеркальному отражению в плоскости относительно оси отвечает в плоскости преобразование Всякая прямая переходит при этом преобразование в прямую или . Поэтому без ограничения общности можно считать, что асимптота гиперболы находится над биссектрисой, т.е.

При мы имеем что определяет поведение кривых в окрестности оси В окрестности оси поведение кривых определяется значением и мы получаем четыре случая (5, 6, 7, 8) (рис. 14).

Рис. 14.

4. Рассмотрим случай, когда уравнение (3) допускает три инвариантные прямые.

Дополнительное аффинное преобразование, не меняющее осей и , переведёт третью инвариантную прямую в положение прямой =.

Это приводит к следующим дополнительным соотношениям между коэффициентами уравнения (1), кроме уже известных соотношений

: (4)

Как показано в п 1.1, уравнение

если оно имеет три различных инвариантных прямых, обладает, по крайней мере, одним нормальным сектором.

Исходя из этого результата, мы покажем, что для расположения интегральных кривых в этом случае имеется восемь различных возможностей.

Рассмотрим сначала уравнение (3) при

Значения при в этом случае следующие:

.

Так как то

При этом так как иначе вертикальная асимптота имела бы уравнение что несовместимо с наличием при точки пересечения гиперболы с биссектрисой. Одновременное же обращение в нуль величин невозможно в силу (4).

Во всех случаях будем считать, что нормальным является сектор чего всегда можно добиться аффинным преобразованием.

Положим, что нормальный сектор -- параболический. Можно считать, что параболическое приближение происходит вдоль оси , а параболическое удаление -- вдоль биссектрисы. Этого всегда можно добиться дополнительным зеркальным отражением.

Таким образом,

 (7)

Если оставить пока в стороне случаи знаков равенства, то в зависимости от величины мы получим три случая (9-11) (рис. 15)

Рис. 15.

Если сектор гиперболический, то

(8)

Если оставить пока в стороне случаи знаков равенства, то в зависимости от величины мы получаем две возможности (12, 13) (рис. 16).

Рис. 16.

Третья мыслимая возможность в действительности не может иметь места в данном случае, так как неравенства , несовместны.

В самом деле, допустим, что выполняются неравенства

.

Если то . Далее, поэтому в силу равенства (6) т.е. откуда и мы получили противоречие.

Если , то ; далее, т.е. откуда и снова получается противоречие.

Рассмотрим случаи перехода неравенств (7) в равенства.

) Переход неравенства в равенство невозможен в силу условия (5).

) Переход в равенства неравенств исключен условиями (4) и .

) Случай, соответствующий условию невозможен. Действительно, если предположить, что могут иметь место соотношения и ,то, как следствие, мы получим:

; (А)

но в силу (6).

Отсюда или , что противоречит (А).

Остаётся рассмотреть случаи: а) и б) .

Случаи а) и б) приводят к следующему расположению интегральных кривых (14, 15) (рис.17).



Рис. 17.

Рассмотрим возможности обращения неравенств (8) в равенства.

) Неравенства несовместны.

Действительно,, но т.е. . Отсюда (А), , следовательно, , что противоречит (А).

Условия несовместимы. Действительно, предположим, что одновременно . Так как , то (A); но с другой стороны, или т.е. , что противоречит (А).

Неравенства несовместны, так как в силу (6), следовательно (А), но в то же время ,откуда , т.е. . Это противоречит (А). JJJJJJ) Неравенства также несовместны, так как в силу (6); отсюда , т.е. e и d имеют разные знаки и одновременно , т. е. d и e имеют одинаковые знаки.

Расположение интегральных кривых при условиях , как показывает построение, поучается из рис. 17 (14) с помощью аффинного поворота, переводящего каждый сектор рис. 17 (14) в соседний по часовой стрелке.

Расположение интегральных кривых при условиях также получается из рис. 17 (14) путём зеркального отражения относительно прямой .

Остаётся рассмотреть случай, когда и . Это означает, что , следовательно, в силу условия (6) имеем или далее, .

При этом получается картина интегральных кривых, показанная на рис.18 (16).

Теперь предположим, что в уравнении (3) , и парабола обращена ветвями вверх, т.е. .

Значения производных

и

в этом случае удовлетворяют условиям .

В зависимости от значения получаем три случая

1) .

Расположение интегральных кривых в этом случае может быть получено из рис. 17 (14) аффинным поворотом, переводящий каждый сектор рис. 17 (14) в соседний против часовой стрелки.

2) 0.

Расположение интегральных кривых в этом случае может быть получено из рис. 17 (15) аффинным поворотом, переводящий каждый сектор в соседний против часовой стрелки.

.

Расположение интегральных кривых в этом случае может быть получено из рис. 18 (16) аффинным поворотом, переводящим каждый сектор в соседний по часовой стрелке.

Рис. 18.

Мы рассмотрели случай, когда парабола обращена ветвями вверх.

Покажем, что при расположении параболы ветвями вниз существенного расположения интегральных кривых мы не получим.

Действительно, пусть парабола обращена ветвями вниз; тогда, и расположение интегральных кривых определяется значением , которое обозначим через А.

Рассмотрим параболу , которая получается из исходной с помощью преобразования . Очевидно, что равно значению . Как мы уже знаем, расположение интегральных кривых заменится на зеркально-симметричное относительно оси . В частности, инвариантная прямая перейдёт в инвариантную прямую . Теперь сдвинем полученную параболу вдоль биссектрисы координатного угла так, чтобы точка (--1, --1) совместилась с точкой (0,0) и соответственно точка (0, 0) с точкой (1,1). Обозначим полученную функцию . При этом расположение интегральных кривых изменится сложным образом, но так как производные при переносе не изменяются, то , и, следовательно, расположение интегральных кривых у новых инвариантных лучей будет таким же, каким оно было у старых инвариантных лучей соответственно ; характер же интегральных кривых при не изменится. В итоге получаем расположение интегральных кривых, соответствующих параболе, обращенной ветвями вверх и имеющей производную в нуле , равную значению производной .

Итак, картина интегральных кривых для параболы , обращенной ветвями вниз и имеющей значение , получается из картины интегральных кривых для параболы , обращенной ветвями вверх и имеющей значение производной . Это достигается путём аффинного поворота, оставляющего ось у неизменной и переводящего прямые соответственно в прямые , и последующего зеркального отражения относительно оси .

Поскольку расположение интегральных кривых для параболы обращённой ветвями вверх, как мы видели, отличается лишь аффинным поворотом от расположения интегральных кривых на рис. 6,7 (14-16), то расположение интегральных кривых для параболы , обращенной ветвями вниз, отличается от расположения интегральных кривых на этих чертежах также аффинным поворотом и зеркальным отражением. Прямое построение приводит к следующим выводам:

1)лПри расположение интегральных кривых получается из рис. 17(14) зеркальным отражением относительно биссектрисы и аффинным поворотом, переводящим каждый сектор в соседний против часовой стрелки.

2)оПри расположение интегральных кривых получается из рис. 17 (15) с помощью того же преобразования.

3)лПри расположение интегральных кривых получается из рис. 18 (16) зеркальным отражением относительно биссектрис.

5. В заключение приведём сводку всех результатов проведенного анализа.

Пусть дано уравнение

с несократимой дробью в правой части равенства.

Решая уравнение, находим возможные инвариантные прямые.

Случай I. Уравнение (9) имеет только одну инвариантную прямую.

Поворотом осей совмещаем эту прямую с осью. После преобразования правой части коэффициент . Уравнение имеет вид

Возможные типы расположения кривых даны на рис. 19 (1-4).

Если то при получаем случай (3) , при получаем случай (2). Кроме того, если и , то чертёж (4) следует заменить на зеркально симметричный относительно оси Ох.

Случай II. Уравнение (9) имеет две инвариантные прямые, одна из которых двукратная. Аффинным преобразованием совмещаем эти прямые с осями координат, причём двукратную прямую направляем по оси у.

В этом случае уравнение принимает вид , причем

Возможные типы расположения интегральнх кривых даны на рис. 19 (5-8).

Случай III. Уравнение (9) имеет три инвариантные прямые. Среди секторов, ограничиваемых ими, имеется, по меньшей мере, один нормальный сектор (он может быть найден с помощью критерия, приведённого в п. 7 §1). Произведём аффинное преобразование, переводящее инвариантные прямые в прямые , причём так, чтобы нормальный сектор совместился с сектором , и, в случае, если этот нормальный сектор параболический, чтобы параболическим лучом 1-го рода стал луч , а параболическим лучом 2-го рода -- луч .

После этого преобразования уравнение (19) принимает вид

,

причём

При возможные типы расположения интегральных кривых даны на рис. 19 (9-16).

Если , то новых типов расположения интегральных кривых не получается. Именно:

1) При расположение интегральных кривых получается из рис. 19 (14) аффинным преобразованием, переводящим каждый сектор в соседний против часовой стрелки.

Рис. 19.

2)дПри расположение интегральных кривых получается с помощью того же аффинного преобразования из рис. 19 (15).

3)дПри расположение интегральных кривых получается из рис. 19 (16) аффинным поворотом, переводящим каждый сектор в соседний по часовой стрелке.

4)дПри расположение интегральных кривых получается из рис. 19 (14) зеркальным отражением относительно биссектрисы и аффинным поворотом, переводящим каждый сектор в соседний против часовой стрелки.

5)дПри расположение интегральных кривых получается из рис. 19 (15) с помощью того же преобразования.

6)дПри расположение интегральных кривых получается из рис. 19 (16) зеркальным отражением относительно биссектрисы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

интегральные кривые однородное уравнение первого порядка

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, одной главы, заключения, списка использованной литературы.

В данной работе представлены решения ряда задач, характеризующих свойства однородных дифференциальных уравнений и иллюстрирующих методы построения интегральных кривых.

Материал, изложенный в работе, может служить частью специального курса по теории обыкновенных дифференциальных уравнений для студентов старших курсов физико-математического факультета. На примере изучаемых здесь однородных дифференциальных уравнений демонстрируется многообразие и сложность проблем, возникающих в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также эффективность методов качественной теории в решении указанных проблем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1) Залгаллер В.А. Теория огибающих / В.А. Залгаллер. -- М.: Наука, 1975. -- 100 с.

2) Зубов В. И. Методы А. М. Ляпунова и их применение / В. И. Зубов -- Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. -- 245 с.

3) Ильяшенко Ю. С. Качественная теория дифференциальных уравнений на плоскости. В кн.: Математические события XX века -- М.: Фазис, 2003. -- 560 с.

4) Лягина Л. С. Интегральные кривые уравнения // Успехи математических наук. -- 1951. -- Т. 6, вып. 2. -- С. 171-183.

5) Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений -- СПб.: Лань, 2003. -- 2003.

6) Миронов А.Н., Созонтова Е.А. О построении интегральных кривых однородных уравнений. - 2009. - 50 с.

7) Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений -- М.: ГИТТЛ, 1947. -- 448 с.

8) Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений -- М.: Изд-во МГУ, 1984. -- 296 с.

9) Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения -- М.: Наука, 1974. -- 331 с.

10) Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи -- М.: Высшая школа, 2006. -- 383 с.

11) Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений -- М.: ГИТТЛ, 1953. -- 468 с.

12) Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения -- М.: Наука, 1980. -- 230 с.

13) Филиппов А. Н. Сборник задач по дифференциальным уравнениям -- М.: Наука, 1985. -- 128 с.

14) Шилов Г. Е. Интегральные кривые однородного уравнения первого порядка // Успехи математических наук. -- 1950. -- Т. 5, вып. 5. -- С. 193-203.

Размещено на Allbest.ru

...