Размещено на http://www.allbest.ru/

РЕСПУБЛИКА УЗБЕКИСТАН МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНОГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

НАВОИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Контрольная работа

Тема: «Применение рядов в приближенных вычислениях»

Навоий-2023

План

1. Постановка задачи. Ряд Тейлора

2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

3. Разложение в степенные ряды основных элементарных функций

4. Применение рядов в приближенных вычислениях

Заключение

Список литературы

1. Постановка задачи. Ряд Тейлора

В теории функциональных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функции в ряд.

Таким образом, ставится задача: по заданной функции требуется найти такой степенной ряд

,

который на некотором интервале сходился и его сумма была равна , т.е.

= ..

Эта задача называется задачей разложения функции в степенной ряд.

Необходимым условием разложимости функции в степенной ряд является её дифференцируемость бесконечное число раз - это следует из свойств сходящихся степенных рядов. Такое условие выполняется, как правило, для элементарных функций в их области определения.

Итак, предположим, что функция имеет производные любого порядка. Можно ли её разложить в степенной ряд, если можно, то как найти этот ряд? Проще решается вторая часть задачи, с неё и начнем.

Допустим, что функцию можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в интервале, содержащем точку х₀:

= .. (*)

где а₀,а₁,а₂,,...,а_п,... - неопределенные (пока) коэффициенты.

Положим в равенстве (*) значение х = х₀, тогда получим

.

Продифференцируем степенной ряд (*) почленно

= ..

и полагая здесь х = х₀, получим

.

При следующем дифференцировании получим ряд

= ..

полагая х = х₀, получим, откуда .

После п -кратного дифференцирования получим

Полагая в последнем равенстве х = х₀, получим , откуда

Итак, коэффициенты найдены

, , , …, ,….,

подставляя которые в ряд (*), получим

Полученный ряд называется рядом Тейлора для функции .

Таким образом, мы установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (х - х₀), то это разложение единственно и полученный ряд обязательно является рядом Тейлора.

Заметим, что ряд Тейлора можно получить для любой функции, имеющей производные любого порядка в точке х = х₀. Но это еще не означает, что между функцией и полученным рядом можно поставить знак равенства, т.е. что сумма ряда равна исходной функции. Во-первых, такое равенство может иметь смысл только в области сходимости, а полученный для функции ряд Тейлора может и расходиться, во-вторых, если ряд Тейлора будет сходиться, то его сумма может не совпадать с исходной функцией.

2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

Сформулируем утверждение, с помощью которого будет решена поставленная задача.

Если функция в некоторой окрестности точки х₀ имеет производные до (n+1)-го порядка включительно, то в этой окрестности имеет место формула Тейлора

где R_n(х)-остаточный член формулы Тейлора - имеет вид (форма Лагранжа)

где точка о лежит между х и х₀.

Отметим, что между рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется различие: формула Тейлора представляет собой конечную сумму, т.е. п - фиксированное число.

Напомним, что сумма ряда S(x) может быть определена как предел функциональной последовательности частичных сумм S_п(x) на некотором промежутке Х:

.

Согласно этому, разложить функцию в ряд Тейлора означает найти такой ряд, что для любого х X

Запишем формулу Тейлора в виде, где

.

Заметим, что определяет ту ошибку, которую мы получаем, заменяй функцию f(x) многочленом S_n(x).

Если , то , т.е. функция разлагается в ряд Тейлора. И наоборот, если , то .

Тем самым мы доказали критерий разложимости функции в ряд Тейлора.

Для того, чтобы в некотором промежутке функция f(х) разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке , где R_n(x) - остаточный член ряда Тейлора.

С помощью сформулированного критерия можно получить достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Если в некоторой окрестности точки х₀ абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом М ? 0, т.е.

, то в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора.

Из вышеизложенного следует алгоритм разложения функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х₀:

1. Находим производные функции f(x):

f(x), f'(x), f”(x), f'”(x), f⁽ⁿ⁾ (x),…

2. Вычисляем значение функции и значения её производных в точке х₀

f(x₀), f'(x₀), f”(x₀), f'”(x₀), f⁽ⁿ⁾ (x₀),…

3. Формально записываем ряд Тейлора и находим область сходимости полученного степенного ряда.

4. Проверяем выполнение достаточных условий, т.е. устанавливаем, для каких х из области сходимости, остаточный член R_n(x) стремится к нулю при или .

Разложение функций в ряд Тейлора по данному алгоритму называют разложением функции в ряд Тейлора по определению или непосредственным разложением.

3. Разложение в степенные ряды основных элементарных функций

Частный случай ряда Тейлора при х₀ =0

называемся рядом Маклорена для функции f(x).

Найдем разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.

Пример

Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение.

Для решения задачи будем использовать алгоритм, сформулированный выше. Так как требуется разложить функцию в ряд Маклорена, следовательно, будем искать разложение в окрестности точки х₀ = 0.

Найдем значение функции в точке х₀ =0, производные функции до п -го порядка и их значения при х₀ = 0:

Запишем формально ряд Маклорена по формуле

,

получим

.

Заметим, что получили рад по нечетным степеням, так как коэффициенты при четных степенях (когда п - четное число) равны нулю.

Найдем область сходимости полученного ряда, для этого составим ряд из абсолютных величин членов ряда:

и применим к нему признак Д'Аламбера.

Так как величина предела не зависит от х и меньше единицы при любом х, то ряд сходится при всех значения, значит, область сходимости ряда х (-,+).

Проверим выполнение достаточных условий. Очевидно, что

для п = 0,1,2,... и для любых х,

значит, функция разлагается в свой ряд Маклорена на всей числовой оси, т.е.

при х (-,+).

В рассмотренном примере для определения коэффициентов разложения функции в степенной ряд в окрестности точки х₀=0 мы последовательно дифференцировали функцию до тех пор, пока не смогли вывести формулу для п-ой производной, и находили значения производных в данной точке. Затем выясняли, для каких х выполняются достаточные условия разложимости функции в ряд. Часто эти шаги приводят к громоздким вычислениям. Эти трудности иногда можно обойти, используя утверждение о том, что полученное любым способом разложение функции в степенной ряд будет её разложением в ряд Тейлора. Поэтому, чтобы получить разложение функции в степенной ряд, можно использовать уже известные разложения элементарных функций ряд Маклорена, применяя к ним правила сложения, умножения рядов и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.

Например, разложение функции f(x)=cosx можно получить, продифференцировав почленно разложение в ряд Маклорена функции f(x) = sinx.

,

при х (-,+).

Аналогично, используя алгоритм разложения и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов, можно получить разложения в ряд Маклорена следующих элементарных функций:

при х (-,+);

,

если т?.0, или т -1, то область сходимости х (-1;1),

если -1< т<0, то область сходимости х (-1;1].

Такое разложение называется биномиальным рядом. В частности, полагая в последнем разложении т = -1, получим

, х (-1;1).

Заменяя в этом разложении х на выражение (-х), получим

, при х (-1;1).

Используя теорему об интегрировании степенных рядов и применяя её к разложению в ряд Маклорена функции, получим

при х (-1;1].

Заменяя в разложении функции переменную х на выражение и интегрирую, получим

, при х [-1;1].

Используя биномиальный ряд- разложение в ряд Маклорена функции , полагая , заменяя х на выражение и интегрируя, получим

, при х (-1;1).

4. Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, пределов функций, определенных интегралов, находят приближенные решения дифференциальных уравнений.

Остановимся на применении степенных рядов к приближенным вычислениям определенных интегралов.

Многие определенные интегралы, получающиеся при решение практических задач, не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, поскольку применение этой формулы связано с нахождением первообразной, которая не всегда выражается в элементарных функциях.

Если, однако, подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а отрезок интегрирования входит в область сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с любой заданной точностью.

Пусть требуется вычислить приближенно определенный интеграл с заданной точностью е.. Для этого необходимо:

-подынтегральную функцию разложить в степенной ряд, указав область сходимости;

-убедившись, что отрезок интегрирования [a,b] входит в область сходимости ряда, проинтегрировать обе части этого равенства, причем правую часть проинтегрировать почленно. В результате, в простейших случаях, получается знакочередующийся числовой ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, т.е. сходящийся ряд;

- в качестве приближенного значения интеграла берем значение частичной суммы S_n, число п определяется из условия, что ошибка при замене суммы ряда его частичной суммой по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов ряда.

Пример

Вычислить приближенно интеграл с точностью е=0,1.

Решение.

Данный интеграл относится к неберущимся интегралам. Однако подынтегральная функция разлагается в степенной ряд. Используем известное разложение в ряд Маклорена

при t (-,+);

Полагая t = -х², получим разложение подынтегральной функции в степенной ряд тейлор приближенный вычисление

при х (-,+);

Так как отрезок интегрирования [0;1] входит в область сходимости, то в этих пределах можно проинтегрировать обе части последнего равенства (ряд интегрируем почленно):

Получили числовой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Так как модуль четвертого члена ряда меньше заданной точности е = 0,1, т.е. , значит, членами ряда, начиная с четвертого, можно пренебречь. Таким образом, заданная точность обеспечивается первыми тремя членами ряда, т.е.

.

Пример

Вычислить приближенно интеграл с точностью е=0,0001.

Решение.

Используя биномиальное разложение функции (1+t)^m, полагая в нем и ,получим разложение подынтегральной функции в степенной ряд

при .

Так как отрезок интегрирования [0; 0,25] входит в область сходимости, то обе части последнего равенства можно проинтегрировать (правую часть почленно) по заданному отрезку, в результате получим

Заметим, что уже третий член ряда по абсолютной величине не превосходит заданной точности е = 0,0001, т.е. .

Следовательно, для обеспечения заданной точности е достаточно взять первых два члена полученного числового ряда.

.

Заключение

С помощью рядов можно вычислить значения тригономегричеких функций, логарифмов чисел, корней, определенных интегралов.

Значения тригонометрических функций (синуса и косинуса) можно вычислить с помощью их разложений в степенные ряды.

После изучения основных понятий функциональных и степенных рядов, задачи разложения функций в ряды переходим к обширной группе приложений рассматриваемой темы. К основным заданиям, которые часто встречаются на практике, относятся следующие:

- приближённое вычисление значения функции с помощью ряда;

- приближённое вычисление определённого интеграла с помощью ряда;

- нахождение частного решения ДУ приближённо с помощью ряда.

На данном уроке мы рассмотрим первую, наиболее простую задачу, для решения которой потребуются самые элементарные знания о рядах, таблица разложений функций в степенные ряды и микрокалькулятор. Как вариант, пойдёт Эксель (если умеете управляться с его функциями). Вычислительные задачи требуют повышенной концентрации внимания, поэтому к изучению статьи рекомендую подойти в хорошей физической форме и со свежей головой:

Существует 2 типа рассматриваемой задачи, с которыми мы на самом деле уже сталкивались ранее, в частности при вычислении интеграла по формуле трапеций и методом Симпсона.

Список литературы

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. Пособие для техникумов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. Шк., 1990. -495 с.: ил.

2. Воробьев Н.Н. Теория рядов. - 4 издание, перераб. и доп. - М.: «Наука», 1979. - 408 с.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. -М.: Рольф, 2000. - 256 с.: с ил.

Размещено на Allbest.ru

...