Математика в играх

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

«Альметьевский торгово-экономический техникум»

Контрольная работа

Математика в играх

Специальность: 38.02.02 Страховое дело (по отраслям)

Выполнила: студентка 103 группы Туманова К.Р.

Научный руководитель: Хадеева З.М.

Альметьевск, 2023

Содержание

Введение

1. Описание игр

1.1 «Ним»

1.2 Игра в кости

1.3 Крестики - нолики

1.4 Рендзю

1.5 Игра в 15

1.6 Пасьянс

2. Попробуйте поиграть

Заключение

Используемая литература

Введение

Уже с давних времен люди играли в кости, карты и другие игры, заключали пари («бились об заклад») по поводу исхода предстоящих событий. От невинных забав постепенно переходили к игре со значительными ставками. Два партнера, сражаясь в какую-нибудь интересную и увлекательную игру, получают большое творческое удовлетворение от борьбы, а подчас и эстетическое удовольствие. Ну, а победы и поражения, хитроумные замыслы и коварные ловушки соперников не мешают им оставаться друзьями. А можно ли высчитать исход игры, заранее предопределить результат?

В своей работе я попытался ответить на этот вопрос. Хочу рассказать о несложных стратегических играх, т. е. играх с полной информацией. Играя в них (разумеется, не на уроках в школе!), можно учиться логично, рассуждать и анализировать возникающие ситуации.

Для выполнения работы я изучил литературу (много раз посетил школьную и городскую библиотеку), подобрал материал, выбрал задачи, которые подходили мне для работы, подбирал их однотипности, анализировал сходство в логическом решении. Я узнал много интересного об истории и происхождении игр, узнал новые математические понятия. Невозможно представить себе объем издания, содержащего все существующие на свете игры, называемые настольными, логическими, занимательными, интеллектуальными, математическими. Оказывается, существует целая «теория игр». Ею занимались известные учёные: С.Лойд, А. Сокольский, А. Носовский.

1. Описание

1.1 Игра «Ним»

Несколько столетий тому назад была распространена игра в «Ним». Двое играющих клали три кучки камней или бобов. Каждый игрок мог при своём ходе выбрать сколько угодно камней из одной кучки. Выигрывал тот, кто взял последний камень. Если в двух кучках камней поровну, то выигрывает начинающий: он берёт всю третью кучку, а когда второй игрок возьмёт несколько камней из другой оставшейся кучки.

А как играть, если во всех кучках разное число камней? Оказывается, здесь ответ даёт двоичная система счисления. Запишем в этой системе число камней в каждой кучке. Посмотрим теперь, сколько единиц в каждом разряде. Например, если числа камней в кучках равны соответственно 3, 4 и 6, то эти числа в двоичной системе записываются так: 11, 100, 110. В разряде сотен у нас единицы (у второго и третьего числа), в разряде десятков тоже две, а в разряде единиц лишь одна единица (у первого числа). Назовём комбинацию чисел выигрывающей, если в каждом разряде чётное число единиц (то есть либо их нет совсем, либо равно две). Искусство игры в «Ним» состоит в том, чтобы передавать противнику каждый раз такую выигрывающую комбинацию. Например, если числа камней в кучках равны 3, 4 и 6, то надо исправить лишь положение дел в разряде единиц. Для этого берём один камень из первой кучки и передаём противнику комбинацию 2, 4, 6. В двоичной системе она записывается так: 10, 100, 110. Теперь в разрядах сотен и десятков по две единицы, а в разряде единиц ни одной единицы. Значит, это комбинация, выигрывающая.

Партнёр не может перейти от выигрывающей комбинации к другой выигрывающей и обязательно своим ходом нарушает равновесие единиц. Тогда вы своим ходом восстанавливаете это равновесие и снова передаёте ему выигрывающую комбинацию. Например, если, получив комбинации. 2, 4, 6 партнёр возьмёт один камень из третьей кучки, то получится 2, 4, 5, или в двоичной системе счисления: 10, 100, 101. Беря теперь один камень из первой кучки, получаем комбинацию 1, 4, 5, то есть 1, 100, 101, которая снова выигрывающая. И так идёт игра, пока вы не дойдёте до выигрывающей комбинации 0, 0, 0, то есть пока вы не возьмёте последний камень.

Разумеется, переводить во время игры в уме числа двоичную систему счисления довольно сложно. Поэтому запоминают выигрывающие комбинации чисел, которые надо передавать партнёру. Лучше человека играет в «Ним» электронные вычислительные машины. И на многих выставках можно наблюдать, как люди безуспешно сражаются с машинами, на которых перевод чисел двоичную систему счисления и подбор удачного хода никакого труда не составляет.

1.2 Игра в кости

В кости (так издавна называли кубики с точками по бокам) играли не только на Востоке - чуть ли не во всех странах мира. Чаще всего играли двумя костями: каждый из партнёров бросал кубики на стол или на специальный поднос; выигрывал тот, у кого сумма очков оказывалась больше.

Секрет выигрыша, оказывается, довольно прост. Чтобы разобраться в нём, займемся несложной арифметикой.

Бросая одну кость, можно получить одно, два, три, четыре, пять или шесть очков. Каждое число очков будет выпадать - в среднем - одинаково частою Можно сказать, что все шесть вариантов равновозможны. Говорят, что каждый вариант осуществляется - в среднем - в шестой части всех бросаний. Иначе, вероятность получения, скажем, пяти очков при одном бросание кости составляет 1/6. Такую же вероятность имеет и получение другого числа очков. Эти события равновероятны.

Возьмем теперь две кости. Бросая их, получим 36 (или 6х6) вариантов. Возможные при этом суммы очков показывает таблица.

Возможные суммы очков при бросании двух костей
2-я кость	1-я кость
	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Легко заметить, что два очка получается лишь в одном варианте (1+1), а, например, 8 очков - в пяти вариантах: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2.

Значит, 8 очков будет выпадать в среднем в 5 раз чаще, чем 2 очка. Можно сказать, что вероятность получения при одном бросании пару костей двух очков составляет 1/36. Это можно записать так:

Р(2) = 1/36,

где Р - первая буква французского слова probabilite - вероятность.

Рассматривая таблицу, можно также найти:

Р(3) = 2/36; Р(4) = 3/36; Р(5) = 4/36; Р(6) = 5/36;

Р(7) = 6/36; Р(8) =5/36; Р(9) = 4/36; Р(10) = 3/36;

Р(11) = 2/36 и, наконец, Р(12) = 1/36.

Может ли на двух костях оказаться 13 очков? Нет, не может, поэтому Р(13) = 0.

Вообще вероятность невозможного события равна нулю; точно так же вероятность события, которые неминуемо должно произойти, считается раной единице. Взойдёт ли завтра в Москве солнце? Да, обязательно, хотя можно проспать этот момент или не заметить его из-за облаков, таким образом, Р (завтра в Москве взойдёт солнце) = 1.

Продолжу рассуждения. При бросании трёх костей получается

6 х 6 х 6 = 6 = 216 вариантов. В каждом из них мы насчитываем от 3 до 18 очков. На 3 очка получается лишь в одном варианте:

1+1+1 = 3

5 очков можно получить шестью способами (в шести вариантах): 1+1+3 = 5, 1+3+1 =5, 3+1+1 =5, 1+2+2 =5, 2+1+2 = 5, 2+2+1 =5.

Для 10 очков существует 27 вариантов. Значит, в среднем 10 очков будет выпадать в 27 раз чаще, чем 3 очка. Столь же часто может выпадать 11 очков; в 50 вариантах (из 216) оказывается 9 или 12 очков, немногим меньше вариантов для 8 или 13. Часто люди играли на деньги, можно строго доказать, что ставить рубль при этих условиях игры невыгодно. Конечно, кто-то может случайно выбросить 3 очка (или 18), но это будет чрезвычайно редким событием. При многократной игре в выигрыше всегда останутся организаторы игры.

1.3 Крестики - нолики

Самая простая игра - крестики-нолики на доске 3 х 3. Партнёры по очереди ставят на поля квадрата крестики и нолики, и выигрывает тот, кто первым выстроит три своих знака в ряд. Разумеется, игра длится не более девяти ходов. Если никому из игроков не удается добиться цели, партия заканчивается вничью.

Интересно, что даже на таком простом примере можно проиллюстрировать многие важные понятия математической теории игр. Игра «3 в ряд» относится к категории конечных, переборных, стратегических игр двух лиц с полной информацией. Будем обозначать вершинами (точками) возникающие в процессе игры «позиции» (расположения крестиков и ноликов). Пусть начинают крестики. Соединим начальную вершину (пустая доска) с теми девятью, которые отвечают первому ходу крестиков. Каждую из них соединим с восемью вершинами, отвечающими ходам ноликов, и т. д. В результате мы получаем дерево игры (дерево перебора). Начальная вершина - корень дерева, максимальная длина ветви (глубина перебора) в данном случае равна девяти. Проанализировав дерево при помощи так называемой минимаксимальной процедуры, мы математически точно определим, как должна закончиться партия при наилучших действиях обеих сторон.

Все перечисленные термины легко переносятся на большинство игр, с точки зрения теории игр крестики-нолики ничем не отличаются от шахмат, разве что глубиной перебора.

Рис. 1.1.1 Крестики-нолики

В шахматах дерево столь велико, что нет никаких надежд на его полный анализ, даже с помощью ЭВМ. В таких случаях полное дерево перебора заменяют усеченным, и «точная» игра превращается в «приближенную».

Конечно, для анализа крестиков-ноликов «3 в ряд» можно обойтись без специальных методов, больше часа он не займет. Легко обнаружить, что при правильной игре обоих партнёров партия заканчивается вничью. Ее исход решается уже на первом ходу. У крестиков три принципиальных начала - занять угол, центр или боковую клетку доски. Самый опасный дебют крестиков - в угловую клетку (а1 на рис.1) Из восьми возможных ответов правильным для ноликов является лишь ход в центре доски. После этого ничья достигается без труда. Предположим, что нолики сыграли иначе: на a1 ответили b1. Тогда следует а3, единственный ответ а2, на что решает c3 с вилкой, то есть с двойной угрозой b2 или b3 (рис. 1 а) Следующим ходом крестики ставят третий знак и выигрывают. Вилкой заканчивается партия и в других вариантах.

Немного отвлечемся и рассмотрим следующую игру. На девяти карточках записаны девять слов: рыба, клин, нить, небо, сок, бусы, рот, сеть, река. Двое по очереди берут со стола карточки, и выигрывает тот, у кого первого окажутся три слова, имеющие общую букву. Это игра принципиально не отличается от обычных крестиков- ноликов. Составим следующую таблицу:

Фактически мы расположили наши девять слов на полях доски 3 х 3. Любые три слова, стоящие в одной строке, одном столбце или на одной большой диагонали таблицы, имеют общую букву. В то же время у других троек слов общих букв нет. Таким образом, для выигрыша достаточно взять три карточки со словами, расположенными на нашей доске-таблице вдоль одной линии. И значит, если вы хорошо играете в крестики- нолики, то, составив мысленно эту таблицу, станете непобедимым и в игре со словами. Конечно, и здесь при правильном выборе карточек партия всегда будет заканчиваться вничью.

Таким образом, как говорят математики, две рассмотренные игры - крестики- нолики и словесная - изоморфны, то есть между их правилами можно установить такое соответствие, что игры ничем не будут отличаться друг от друга.

Изоморфизм - очень важное математическое понятие, позволяющее при изучении одних объектов переходить к другим, уже исследованным.

Добавим теперь к обычной доске 3 х 3 всего одно поле - d1(рис. 1б). Чем завершится игра в этом случае? На такой доске крестики быстро одерживают победу. Решает ход с1. Если же они займут поле b2, то, как мы знаем, они проигрывают на обычной доске 3 х 3 (дело обойдётся без дополнительного поля). Если же они займут поле b2, то после b1 неизбежен следующий ход крестиков на а1 или d1 (рис. 1б).

Итак, существует доска из 10 полей, на которой крестики форсированно одерживает победу. Но это не рекорд. На доске из семи клеток, представляющей собой два ряда 4 1, пересекающийся в одной из своих внутренних клеток (рис.1в), выигрыш достигается уже на третьем ходу. Первый крестик ставится на пересечении рядов, второй - на одно из соседних внутренних полей, после чего нолики беззащитны. Нетрудно убедиться, что, какова бы ни была доска с числом клеток, меньшим семи, результат игры будет ничейный.

Вернёмся к крестикам - ноликам на доске 3 х 3. Кажется забавным, но на ней можно играть в поддавки! Тому, кто первым выставит ряд из трёх своих знаков, засчитывается поражение. В отличие от «прямой» игры в «обратной» инициатива принадлежит ноликам. Впрочем, у крестиков имеется надежная ничейная стратегия - на первом ходу они должны занять центр и далее симметрично повторять ходы партнёра.

а) б) в)

Рис 2.1.1. Примеры игры

Следующий вариант крестиков - ноликов свидетельствует о том, что даже такая маленькая доска, как 3 х 3, может служить неиссякаемым источником для изобретателей игр. От обычных правил отличие только в том, что каждый игрок при своём ходе может по желанию поставить либо крестик, либо нолик. Побеждает тот, кто первым закончит ряд из трёх одинаковых знаков, причём безразлично каких.

В обычной игре, да и в поддавках, если партнёры не делают грубых ошибок, партия заканчивается вничью. В данном же варианте побеждает начинающий. Первым ходом он занимает центр, поле b2, например, как обычно, ставит на нём крестик (рис. 2а). Второй игрок может занять либо угловое поле, либо лежащее на стороне доски, и, чтобы не проиграть сразу, он должен поставить нолик. Если выбрано угловое поле а1, то первый игрок рисует нолик в противоположной вершине с3, и куда бы теперь противник ни поставил крестик или нолик, он своим следующим ходом заканчивает соответственно ряд из крестиков или ноликов. Если второй игрок занимает первым ходом боковое поле а2, то первый ставит нолик на одной линии с двумя имеющимися знаками, то есть на поле с2. У второго игрока нет ничего лучшего, чем поставить еще один нолик на b1, и после ответного, четвёртого нолика на b3 он вынужден сдаться (рис. 2 а)

Вот ещё один вариант игры на доске 3 х 3. Партнёры по очереди ставят на доску три своих крестика и нолика, после чего новые знаки уже не рисуются. Если за это время никто не выстроил три знака в ряд, игра продолжается. Теперь на каждом ходу игроки могут переставить один свой знак на соседнее поле по вертикали или горизонтали. Выигрывает вновь тот, кто раньше выстроит три знака в ряд.

Как и в предыдущей игре, право первого хода является здесь решающим. Начинающий должен поставить свой крестик в центр доски. Если теперь нолик поставлен в углу, например, на поле а3, то первый игрок ставит крестик на b1. Ответ вынужден - b3. На это следует с3, ответ опять единственный - а1. Дебют партии закончен (рис.2 б). Двумя следующими ходами первый игрок переставляет крестики с b2 на с2 и с b1 на с1 и выигрывает партию. Если на первом ходу второй игрок займёт боковое поле, например b3, то первый играет а1, второй отвечает с3, тогда первый идёт а3, а противник а2.Все знаки выставлены теперь первый игрок переставляет крестик с а1 сначала на b1, а затем на с1 и берёт верх.

Если договориться, чтобы начинающий не занимал первым ходом центральное поле, то при правильной игре обоих партнёров ни один из них не сможет добиться цели, партия закончится вничью.

Конечно, в последней игре вместо крестиков и ноликов удобнее пользоваться белыми и чёрными шашками. Эту игру можно рассматривать как вступление в класс игр, представляющих собой гибрид крестиков - ноликов и шашек. На доске 4 х 4 такая игра называется так - тиль. Здесь каждая сторона имеет по четыре шашки (рис 2 в). Игроки по очереди передвигают их на одну клетку по вертикали и горизонтали, и кто первым расположит три шашки в ряд, тот и выигрывает. С помощью ЭВМ доказано, что игра так - тиль ничейная, то есть при точной игре ни одному из партнёров не удаётся поставить три шашки в ряд.

Дальнейшим обобщением двух последних игр является «мельница», одна из самых древних в истории человечества игр. На рис. 3 изображено несколько «мельниц». Первоначальная форма доски (а) до сих пор остаётся самой популярной. В этом варианте, называемой простой мельницей, у каждой стороны по девять шашек. В мельнице - улитке (б) число шашек увеличивается до 12, а в шестиугольной (в) у противников по 13 шашек.

Известны также мельница - паутинка, мельница - сетка, пятиугольная мельница и др.

Рис 3.1.1 Мельницы.

Во всех разновидностях игры правила одинаковые. Партия состоит из трёх этапов. Первый этап (дебют) заключатся в расстановке шашек. Игроки по очереди ставят свои шашки на любые свободные поля доски. Три шашки одного цвета, выставленные в ряд, образуют фигуру, называемую мельницей. Построив её, игрок снимает с доски любую шашку противника. Если одним ходом удалось соорудить две мельницы, то с доски снимаются две шашки.

Второй этап (миттельшпиль) начинается после расстановки всех шашек. Теперь партнёры по очереди передвигают их вдоль линий на соседние поля. Цель прежняя - выстроить мельницу и снять с доски шашку противника.

Третий этап (эндшпиль) наступает, когда у одного из игроков остаётся три шашки. Теперь он получает право при очередном ходе переставить любую из них на произвольное свободное поле доски, не обращая внимания на линии, соединяющие поля. Сооружая мельницу своими тремя шашками, он снимает шашку партнёра, который ходит по обычным правилам до тех пор, пока у него тоже не останется три шашки.

Побеждает тот, кто сумеет довести число шашек противника до двух, лишая его возможности построить мельницу. Партия может закончиться и раньше, если в какой-то момент один из партнёров не в состоянии сделать ход, то есть все его шашки зажаты. Если у обоих партнёров осталось мало шашек (например, по три) и ни один из них уже не может соорудить мельницу, партия заканчивается вничью. Заметим, что запрещается дважды использовать одну и ту же мельницу. Занимать шашками три данных поля доски можно сколько угодно раз, но шашка противника снимается только при первом построении мельницы.

Игра болотуду, несколько напоминающая мельницу, ведётся на прямоугольной доске 6 х 5. У каждого из партнёров 12 шашек. Они по очереди выставляют их на доску (за один ход ставятся сразу две шашки). В отличие от мельницы здесь запрещается ставить три в ряд, и дебют развивается более спокойно. Второй этап тот же, что и в мельнице. Шашки передвигаются по вертикалям и горизонталям, и при построении трёх в ряд снимается одна шашка противника - та, которая примыкает к этой тройке слева или справа. Одной и той же тройкой разрешается пользоваться сколько угодно раз. Если у игрока осталось две шашки, партия в болотуду заканчивается его поражением. Третий «мельничный» этап в игре отсутствует. При повторении ходов партия признается ничейной.

В классических крестиках - ноликах, как только один из партнеров завершит ряд из трёх знаков, партия сразу кончается. Для тех, кто сочтёт это слишком скучным, придумана иная игра. На доске 6 х 6 партнёры по-прежнему по очереди ставят свои знаки (или шашки) и за образование тройки по вертикали или горизонтали всякий раз получают по очку. Каждое поле доски учитывается лишь дважды - по вертикали и по горизонтали. Выигрывает тот, кто наберёт больше очков. В данном случае игра завершается при полном заполнении доски.

До сих пор рассматривались крестики-нолики на плоских досках, однако известно немало вариантов и трёхмерных игр. Простейшим обобщением служит игра на кубе 3 х 3 х 3. Игроки по очереди отмечают по одному кубику 1 х 1, и выигрывает снова тот, кто первым поставит три своих знака вдоль одной прямой. Стоит ли говорить, что начинающий побеждает здесь без всякого труда. Любопытно, что в объёмной игре в отличие от плоской ничьей вообще не может быть, даже если обе стороны стремятся к этому. Действительно, если в кубе 3 х 3 х 3 отметить 14 любых единичных кубиков (именно столько ходов имеется у крестиков в процессе игры), то хотя бы один вертикальный, горизонтальный или диагональный ряд будет состоять целиком из крестиков.

Намного интереснее игра на кубической доске 3 х 3 х 3, в которой выигрывает тот, кто первым занимает два пересекающийся ряда. Кубик, стоящий на пересечении двух таких рядов, разрешается отмечать лишь в последнюю очередь. Поскольку занятие центра куба приводит к простой победе, этот ход можно делать только в двух случаях: если он победно завершает игру или мешает противнику выиграть следующим ходом.

1.4 Рэндзю

С незапамятных времён существует увлекательная шашечная игра рэндзю, которая почти не отличается от крестиков-ноликов «5 в ряд» и вместе с тем представляет собой один из самых популярных видов спорта в Японии и других странах. Игра имеет древнюю историю (по свидетельству летописцев, на рубеже XVII - XVIII веков в Японии в рэндзю играли, чуть ли не все от мала до велика), многочисленную литературу, свои клубы, чемпионаты и т. д. Короче говоря, такая невинная игра, как крестики-нолики, представляет собой весьма серьёзное занятие!

Чем же отличаются шашки рэндзю от крестиков-ноликов «5 ряд»? Для игры нужна доска с 14 вертикалями горизонталями (поля можно не раскрашивать) и шашки - белые и чёрные. Шашки ставят не на сами поля, как в большинстве игр, а на пересечения линий, образующих их (см. рисунок)4 фактически игра идёт на доска 15 х 15. Пересечения линий называются пунктами. Число шашек ничем не ограничено (хотя больше 225 не понадобиться).

Рис.4.1.1 Рэндзю.

Игру начинают черные (как в реверси) ходом в центр доски. Обе стороны ставят шашки по очереди, и цель игры - построить в ряд из пяти своих шашек (по горизонтали, вертикали и диагонали), образуя «нитку жемчуга» (так переводиться с японского слово рэндзю). Пока все, как в крестиках-ноликах «5 ряд». Белые и черные шашки заменяют два вида знаков, а ограниченность доски столь важна. Дополнительные правила связаны с некоторыми запретами для черных (начинающей стороны). Но прежде чем их сформулировать, введем ряд несложных определений, уточняющих термины, используемые ранее интуитивно.

Расположение пяти шашек одного цвета подряд есть пятёрка (по шахматному мат!). Цель игры, как мы знаем, как раз и состоит в том, чтобы построить пятёрку. Ряд из четырех шашек, который может быть одним ходом превращен в пятерку, мы называем четверкой (шах). Если она может быть достроена до пяти с двух сторон, это открытая четверка (рис.4а, пункт Б). Тройка - ряд из трёх шашек, который можно одним ходом достроить до открытой четверки (полушах). Тройки бывают двух видов - сплошные (В) и с интервалом (Г). Построение одной неоткрытой четверки или тройки не так опасно. Но если очередным ходом игрок образует две или большее число четверок, троек (шахов, полушахов) или их комбинаций (пересекающихся в пункте появления шашки), противник попадает в трудное положение, и единственная надежда связана с немедленной контратакой. Такие ходы называются вилками (вилкой называют также и саму ситуацию, возникшую на доске).

Теперь, наконец, можно указать запреты, введённые в рэндзю по сравнению с игрой «5 в ряд». Черным (начинающей стороне) запрещается создание одним ходом любых вилок, содержащих две и большее число троек или две или большее число четверок, а также построение длинного ряда из шести или большего числа шашек. Образование одной из таких вилок называется фолом. Важно отметить, что вилка, состоящая из двух рядов, один из которых - четверка, а другой - тройка, не запрещена, как и вилки, возникающие на доске в тот момент, когда черные объявляют мат (завершают построение пятерки). Для белых запрещенных ходов нет, а длинный ряд, как и пятерка, приносит им победу.

Если ни одна пятерка уже не может возникнуть на доске (при этом не обязательно должны быть выставлены все шашки), то партия заканчивается вничью. Мирно могут разойтись партнёры и раньше, если сочтут, что ничья неизбежна. В процессе игры каждый соперник имеет право пропускать ходы. Черные прибегают к этому из-за опасности фола, а белые - чтобы сохранить такую опасность для черных. Если оба игрока один за другим отказываются выставить шашку, то партия автоматически признаётся ничейной. Этим правила рэндзю полностью исчерпываются.

В качестве иллюстрации запрещенных ходов обратимся снова к рис. 65а. Белые грозят поставить пятую шашку в пункт А, и черные не могут спастись, так как, занимая этот пункт, образуют запрещенный ряд из шести шашек (фол). Не могут черные предотвратить возникновение пятерки и на других участках доски. Занимая пункт Е, они образуют вилку 4 х 4 (две четверки), пункт Ж - вилку 3 х 3(две тройки), пункт З - вилку 4 х 4 х 3. Поскольку черным не запрещена вилка 4 х 3 (шах-полушах) - при её образовании нет ни двух троек, ни двух четверок, - ход в пункт Д им разрешен. [4]

Рассмотрим рис. 4б. На нем показаны положения, которые лишь напоминают фолы 3 х 3. однако три шашки по горизонтали (пункт А 0 блокированы белой шашкой и не превращаются в открытую четверку, то есть это не тройка. Один из пересекающихся в пункте Б диагональных рядов может стать лишь шестеркой; ход в пункт В не является фолом 3 х 3, поскольку черные не угрожают поставить шашку в пункт Х (в этом случае они наталкиваются на фол 4 х 4); наконец, достраивая пятерку ходом Г, черные выигрывают - возникающие запрещенные вилки и длинные ряды уже не имеют значения. Итак, на рис. 4б в расположении черных имеется любой из ходов А, Б, В, Г.

Как уже говорилось, шашки рэндзю популярны во многих странах. У нас же созданы спортивные секции, проводятся соревнования. Полувековой опыт современных рэндзю показал, что введение фолов примерно уравнивает шансы сторон, более того, это правило тактически обогащает игру, придает ей неповторимую красоту и изящество. Существенно, что непобедимость черных уже не удается доказать методами симметрии, поскольку рэндзю не обладает этим свойством.

Отметим, что придумано немало модификаций рэндзю, но ни одна из них не получила такого широкого распространения. Вот некоторые варианты игры.

Гомоку - обычные крестики-нолики 5 в ряд», но играют в них обычными шашками на доске 15 х 15. Вместо фолов потребуем, чтобы второй ход черных был сделан вне центрального квадрата 5 х 5. Такая игра носит название «гомоку с запретным центральным квадратом. В «гомоку с общим центральным полем» тоже играют без фолов на доске 15 х 15 (5 в ряд), но самая первая, центральная шашка все время как бы меняет цвет, при ходе черных считается черной, а при ходе белых - белой.

В антирэндзю (доска 15 х 15) фол возникает только при построении открытой четверки, а в «старом рэндзю» (доска 19 х 19) - лишь при вилке 3 х 3. В гомокунарабе (доска 15 х 15) обоим соперникам запрещена вилка 3 х 3; каждому дается по 35 шашек, и если черные, использовав все шашки, не построят пятерки, им засчитывается поражение.

Игра пента больше других отличается от рэндзю. Доска 15 х 15, фолы отсутствуют, а дополнительное правило (распространяемое на обоих партнеров) заключается в том, что, закрывая две неприятельские шашки с двух сторон, игрок снимает их с доски, объявляя «добычей». Партию выигрывает тот, кто первым построит пятерку, либо (новшество!) первым захватит пять «добыч».

Вернемся к традиционным шашкам рэндзю. Они имеют достаточно разработанную теорию (как в шахматах, лучше исследованы дебюты), содержат немало стратегических и тактических приемов (позиционная и комбинационная игра).

Рис.5.1.1 Позиции и компинации.

Поскольку перед нами лишь фрагменты настоящей доски, для ориентации, куда можно двигаться, черная шашка, сделавшая первый ход, всюду помечена белой точкой.

Задачи эти составили А. Сокольский и чемпион мира по переписке А. Носовский. В каждой из них выигрыш, форсированный; в задачах 2 и 3 начинают и выигрывают белые, а в остальных - черные. Решения приведены на рис.67, снабдим их краткими комментариями (нумерация ходов в рэндзю сплошная, а на рисунках номера ставятся прямо на шашках). [2]

Первая задача самая простая. Ходом 1 черные строят тройку и, как бы партнер ни закрыл ее, ходом 3 создают победную вилку 4 х 3. Во второй задаче белые при помощи полушахов 1 и 3 подготовили решающую атаку. Черные при любых ответах вынуждены будут занять пункты 2 и 4, после чего пункт Х становится запретным для них(фол 3 х 3). Теперь белые беспрепятственно строят свою пятерку. Подобный метод выигрыша рэндзисты называют кратко: выигрыш фолом.

В третьей задаче белые опять выигрывают, подготавливая фол черных ходами 1, 3 и 5 (вынуждая их занять пункты 2, 4 и 6). Запретных пунктов тут два - Х и У, оба они фолы 3 х 3. После хода белых 7 черные не могут занять ни один из них, а положение безнадежно.

Рис. 6.1.1 Способы компинации.

В четвертой задаче ход 2 - сильнейшая защита; он превращает тройку черных, построенную ходом 1, в псевдотройку (она не может стать открытой четверкой). Но белые вынуждены капитулировать из-за победной вилки 4 х 3, которая была подготовлена полушахами 3 и 5.

Пятая задача иллюстрирует весьма полезный прием: даже атакуя, нельзя забывать о защите. Если бы черные не сделали промежуточный ход 1, а сразу пошли в пункт 3, белые перехватили бы инициативу и выиграли на шахах, подготовив черным фол 3 х 3 в пункте Х. В шестой задаче ходом 4 белые защищаются от прямолинейной угрозы (если ход 4 в пункте 2, то ход 5 в пункте 7, то есть вилка 4 х 3). После ходов 4 и 5 эта угроза нейтрализована, так как ход 9 в пункт 10 может привести лишь к запрещенному для черных длинному ряду. Но у черных все же находится выигрыш. Ходом 11 они подключают шашки «верхнего фланга» и выигрывают вилкой 4 х 3.

1.5 Игра в 15

Эту игру более ста лет назад изобрел знаменитый англичанин Сэм Лойд, большой знаток головоломок. Устроена она так: в плоской квадратной коробочке лежат 15 квадратных шашек с номерами от 1 до 15. Один квадратик свободен, что позволяет передвигать остальные по коробочке, не вынимая их. Задача игрока - расставить шашки по порядку. Игра быстро захватила современников Лойда. Повальное увлечение игрой в 15 привело к тому, что ею всерьёз заинтересовались математики. Наконец, в 1879 году была опубликована математическая теория этой игры.

Чтобы немного разобраться, когда головоломка поддаётся решению, а когда нет, сыграем для начала не в 15, а в 3.

1	2
3

Рис.7.1.1 Такен.

Немного погоняв шашки по коробочке, можно убедиться, что из конфигурации 123 получаются лишь 231 и 312, но никогда не получится 132. Переставить местами две шашки не удаётся. Оказывается, здесь и «зарыта собака». В конфигурации 123 царит порядок: числа стоят «по старшинству». В конфигурации 231 порядок нарушен «дважды»: 2 больше 1 и 3 больше 1, но они стоят впереди единицы. Точно так же и в расположении 312 сразу два нарушения: 3 больше и 1, и 2, но стоит впереди них. Выходит, конфигурация шашек с чётным числом нарушений порядка при передвижении по коробке не теряет чётности (0 - тоже чётное число)! Что же касается расположения 132, где нарушение порядка одно, подвигав шашки, вы убедитесь, что и нечётность числа нарушений сохраняется.

Это верно не только для игры в 3, но и для игры Лойда. Если число нарушений порядка шашек четно, головоломку можно привести в требуемый вид, придётся, правда, повозиться; если же оно нечетно, можно не трудиться - всё равно решения не получится. Выходит, есть два принципиально различных расположения шашек, которые нельзя перевести одно в другое, сколько ни старайся. [1]

Итак, игра в 15 потеряла свою привлекательность, как только был раскрыт её секрет. Но вот вам еще одна похожая головоломка, придуманная В. Красноуховым совсем недавно. Здесь не 15, а только 12 шашек, но коробочка не просто квадратная: места двух шашек заняты (заклеены), так сказать, навечно. Решить её куда труднее, чем головоломку Лойда. Что же касается теории, то она есть: дело по-прежнему в «четности количества беспорядков» Исход игры зависит не от каких-либо случайностей, не от находчивости, как в других играх, а от чисто математических факторов, предопределяющих его с безусловной достоверностью.

1.6 Пасьянс

Всем известны игры в карты, но среди множества карточных игр следует выделить «Пасьянс». Что общего у карточной игры и математики? Оказывается, раскладывание пасьянсов - дело, требующее не только времени, но и смекалки, анализа расположения карт, поисков наилучшего хода в складывающейся ситуации. Это занятие долгое время было одним из способов отдыха, сочетающегося с размышлениями, при отсутствии партнёров для других игр. Пасьянсов было придумано великое множество. Среди них были очень сложные пасьянсы, где перед каждым ходом нужно было перебрать множество вариантов очередного хода, чтобы из них выбрать лучший. А были и совсем простые пасьянсы, требующие лишь внимательности. Эти простые пасьянсы послужили основой для нескольких математических задач.

Пасьянс, о котором пойдет речь, очень прост. Карты раскладываются одна за другой в цепочку из закрытой колоды. Если в процессе раскладывания оказывается две карты одной масти, лежащие рядом или через одну, то первая из них выбрасывается. Если после такой операции окажется еще две карты одной масти, лежащие рядом или через одну, то вновь выбрасывается та карта, которая была выложена раньше и т.д.

Если после того, как все карты выложены, в цепочке осталось лишь четыре карты разных мастей, то пасьянс считается сошедшимся. Если же осталось больше четырёх карт, то они собираются в стопку и перемешиваются специальным способом: снимается верхняя карта, на неё кладется следующая, снизу в эту стопку кладётся карта, оказавшаяся теперь вверху в первой стопке, а следующая за ней кладется сверху новой стопки. Так, одна за другой, карты из первой стопки перейдут во вторую: сверху - снизу - сверху - снизу - … [3]

После этого карты из этой стопки вновь раскладываются по прежним правилам. Если в этот раз останется лишь четыре карты в цепочке, то пасьянс сошелся, а если нет, то ещё раз перемешивают карты по описанным правилам и вновь раскладывают. Если теперь осталось лишь четыре карты, то пасьянс сошелся, а если больше, то одни игроки считают его несошедшимся, а другие продолжают перемешивать и раскладывать карты до тех пор, пока либо после очередной раскладки останется лишь четыре карты, либо они убедятся, что при данном раскладе этот пасьянс никогда не закончится.

Этот пасьянс действительно прост. Единственное, что требуется от игрока - внимательность при раскладывании, чтобы не пропустить возможности в очередной раз выбросить карту из цепочки.

А теперь приступим к математической задаче. Предположим, что вы начали раскладывать этот пасьянс, и в цепочке оказалось, скажем, половина карт колоды. Требуется доказать, что используя остальные карту, их можно так подкладывать дальше, что в конце концов в цепочке останется лишь четыре карты разных мастей.

Если вы попробуете поэкспериментировать, то у вас сначала количество карт в цепочке будет оставаться прежним или близким к прежнему количеству. Нужно найти способ, с помощью которого для любого расположения карт в цепочке удастся, подкладывая специальным образом карты, получить более короткую цепочку. В таком случае мы можем дальше уменьшить и эту цепочку, потом следующую и т.д. пока в ней не останется лишь четыре карты. Получить меньше четырех карт очевидно невозможно, если в цепочке были карты всех четырех мастей, потому что новая карта имеет ту же масть, что и выброшенная. Значит, если в цепочке уже была карта некоторой масти, то карта такой же масти обязательно будет присутствовать в цепочке. [5]

Но как уменьшить количество карт в цепочке? Рассмотрим четыре последние карты в цепочке. Если среди них есть две карты одинаковой масти, то ускорить цепочку просто. Действительно, если эти две карты лежат рядом или через одну, то мы сразу можем выбросить одну из них в соответствии с правилами. Если же между ними находятся две карты, то, положив одну карту, а именно, карту, масть которой совпадает с мастью последней карты, мы последовательно выбрасываем предпоследнюю, а затем и четвертую карты. Тем самым уменьшим на единицу число карт в цепочке (положили одну, а выбросили две).

Если же четыре последние карты имеют все разные масти, то убрать четвертую карту оказывается невозможно. В этом нетрудно убедиться, если вспомнить, что нельзя уменьшить количество карт, если имеется лишь четыре карты разных мастей. Что же делать?

Попытаемся убрать пятую карту. Среди четырех последних карт карта той же масти, что и пятая карта, может быть четвертой, третьей, второй или первой с конца. В случаях, когда она четвертая или третья, пятая карта убирается сразу же по правилам пасьянса.

Если же она предпоследняя, то, положив две карты - сначала карту той масти, которую имеет третья от конца карта, а потом той масти, которую имела последняя карта, мы сможем убрать три карты: сначала ту, которая была последней, потом те, которые были третьей и пятой с конца картами.

Остался случай, когда пятая с конца карта имеет ту же масть, что и последняя карта. Но здесь мы можем, положив карту той масти, которую имеет предпоследняя карта, убрать эту карту, а ее место займет карта, бывшая последней. Число карт не увеличилось, а расположение карт теперь соответствует предыдущему случаю, с которым мы уже умеем расправляться. крестик математический изоморфизм

2. Попробуйте поиграть

Изучая игры, я пробовал играть в них сам. Некоторые игры мне очень понравились. Предлагаю поиграть в них.

· Двое игроков по очереди ставят на шахматную доску ладьи (за один ход - одну ладью), чтобы они не били друг друга. (Кто какую ладью поставил, не учитывается. Нельзя ставить ладью даже под бой своей ладьи.) Кто не может поставить ладью, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре - первый или второй?

· Аня и Таня выписывают 8-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Аня. Может ли Таня добиться, чтобы получившееся число делилось на 9?

· Играют двое. Первый пишет на доске ненулевую цифру. Второй приписывает справа к ней некоторую цифру. Затем первый приписывает слева к получившемуся числу некоторую цифру. Первый стремиться к тому, чтобы получившееся на доске трехзначное число делилось на 11, а второй хочет ему помешать. Кто выигрывает при правильной игре?

· Двое по очереди пишут цифры со старшего разряда по порядку вплоть до младшего. Начинать с нуля нельзя, а остальные цифры совершенно произвольные. Если число разделится нацело на 11, то победителем объявляется написавший последнюю цифру, а если не разделится, то победителем считается написавший предпоследнюю цифру. Кто выиграет при правильной игре, если всего должно быть написано: а) 6 цифр; б) 7 цифр?

· Еще одна разновидность крестиков-ноликов на бесконечной доске (листке клетчатой бумаги) - окружение десанта. Начинающий рисует крестик на любой клетке. Далее каждым своим ходом он ставит новый крестик на свободную клетку, соседнюю с уже ранее поставленным крестиком (у соседей общая сторона или вершина). Второму игроку разрешается на каждом ходу ставить сразу два нолика в любые две соседние клетки. Его задача - добиться, чтобы противник не смог поставить очередной крестик. Второй игрок, очевидно, всякий раз попытается вырваться из тисков.

Заключение

Таким образом, я убедился, что в основе самых разнообразных игр старинных и совсем новых, простых и сложных, популярных и менее известных в основе всех их лежит математический расчёт. Например, в игре «Ним» выигрыш зависит от двоичной системы счисления, в «крестиках и ноликах» от занятия правильной позиции, в пятнашках от количества беспорядков.

Высчитывать вариант - увлекательное полезное занятие. Прав был великий математик Г.Лейбниц: «Больше всего изобретательности люди проявляют в играх - значит, математические игры заслуживают внимания не только сами по себе, но и благодаря тому, что развивают находчивость».

Используемая литература

1. Гик Е.Я. Занимательные математические игры. Изд. «Знание», 2018 г.

2. Гик Е.Я. Шахматы и математика. Изд. «Наука», 2018 г.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Изд. «Просвещение», 2019 г.

4. Игнатьев Е.И. Математическая смекалка. Изд. «Омега», 2020 г.

5. Перельман Я.И. Живая математика. Изд. «Наука», 2022 г.

6. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике. Изд. «Просвещение», 2019г

Размещено на Allbest.ru

...