Основные свойства гармонических функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Дагестанский государственный университет»

Факультет математики и компьютерных наук

Кафедра дифференциальных уравнений и функционального анализа

Курсовая работа

Основные свойства гармонических функций

Автор: студентка 3 курса ФМиКН

заочного платного обучения

Абакарова Азиза Абдуллаховна

Научный руководитель:

к.ф-м.н., доц. Каф. ДУиФА

Рагимханов В.Р.

Махачкала 2022

Содержание

Введение

1. Понятие гармонической функции

2. Свойства гармонических функций (продолжение)

3. Задача Дирихле

Заключение

Литература

Приложения

Введение

Развитие теории функций комплексного переменного позволило создать новые методы решения важнейших практических задач из различных разделов математического естествознания.

В этой работе я рассмотрю основные физические представления, связанные с теорией функций комплексного переменного, и простейшие приложения этой теории. Изложение я начну с теории гармонических функций двух переменных, тесно связанных с потенциалами плоских векторных полей, основных - краевых задач теории гармонических и аналитических функций и затем на основе развитой теории изложу основные вопросы приложений.

гармонический функция экстремум теорема

1. Понятие гармонической функции

Гармонической в области функцией называется действительная функция двух действительных переменных, обладающая в этой области, непрерывными вторыми частными производными и удовлетворяющая дифференциальному уравнению

( - символ дифференциального оператора). Это уравнение обычно называют уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782 г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике и другим разделам математической физики. Заметим, что в силу линейности уравнения Лапласа -любая линейная комбинация гармонических функций с действительными постоянными коэффициентами снова является гармонической функцией.

Как мы увидим в последующих разделах курсовой работы, потенциалы важнейших векторных полей, рассматривающихся в физике, являются гармоническими функциями, и любую гармоническую функцию можно представлять физически как потенциал некоторого поля. Поэтому и в общем случае гармонические функции часто называют потенциалами, а теорию гармонических функций - теорией потенциала.

Свойства гармонических функций.

Выясним связь между понятиями аналитических и гармонических функций. Эта связь выражается в следующих двух простых теоремах:

Теорема 1. Действительная и мнимая части произвольной функции однозначной и аналитической в области , являются в этой области гармоническими функциями.

Доказательство непосредственно вытекает из условий Коши - Римана

(1)

В самом деле, так как аналитические функции обладают производными всех порядков, то уравнения (1) можно дифференцировать по и . Дифференцируя первое из них по , а второе по пользуясь теоремой о равенстве смешанных производных, находим:

Откуда

Для функции доказательство аналогично.

Две гармонические в области функции и , связанные условиями Коши -- Римана, называются сопряженными.

Теорема 2. Для всякой функции , гармонической в односвязной области , можно найти, сопряженную с ней гармоническую функцию .

В самом деле, рассмотрим интеграл

,

где - фиксированная, а - переменная точка области . В силу уравнения Лапласа , этот интеграл не зависит от пути интегрирования и является функцией только точки ; обозначим эту функцию . Имеем, пользуясь свойствами криволинейных интегралов

(можем брать интеграл от до по горизонтальному отрезку, на котором ); аналогично, . Следовательно, в является искомой функцией, сопряженной с функцией . Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций, сопряженных с , дает формула

(2)

где С -- произвольная (действительная) постоянная.

Заметим, что в многосвязной области интеграл (2)

определяет многозначную функцию. Он может принимать различные значения вдоль двух путей и соединяющих точки и , если эти пути нельзя деформировать друг в друга, оставаясь в области (т. е. если внутри области, ограниченной и имеются точки, не принадлежащие к ).

Очевидно, можно утверждать, что в многосвязной области общая формула для значений функции , определяемой интегралом (2), имеет вид

(3)

где -- произвольные целые числа и -- интегралы вдоль замкнутых контуров , каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы :

(4)

Постоянные называются периодами интеграла (2), или циклическими постоянными.

Если в некоторой области лежащей в , можно выделить однозначную и непрерывную ветвь функции , определяемой формулой (3), то эта ветвь, очевидно, является гармонической функцией, сопряженной с . Поэтому функцию считают многозначной гармонической функцией. Заметим, что частные производные этой функции однозначны:

, ;

это вытекает из формулы (3).

Теорему 2 можно, очевидно, сформулировать так:

Теорема 2'. Любую гармоническую в области функцию можно рассматривать как действительную или мнимую часть некоторой аналитической функции ; эта последняя определяется с точностью до постоянного слагаемого, соответственно мнимого или действительного.

Не исключаем случая многосвязных областей, поэтому аналитическая функция может оказаться многозначной.

Пример. Подсчет частных производных показывает, что функция

является гармонической в кольце . Интеграл (2) имеет вид

и представляет в кольце бесконечнозначную функцию. Соответствующая аналитическая функция

Теорема 3. Любая гармоническая функция является аналитической функцией своих аргументов и , т. е. в окрестности каждой точки области она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося ряда

(5)

В самом деле, по теореме 2' можно рассматривать как действительную часть функции , однозначной и аналитической в некоторой окрестности точки . Пусть в этой окрестности

 (6)

где . Действительная часть общего члена ряда (6)

(7)

по абсолютной величине не превосходит

,

а так как по теореме Абеля ряд (6) абсолютно сходится в любом круге , т. е. ряд сходится при , то и ряд с общим членом (7) будет абсолютно сходиться при . Этот ряд и представляет собой ряд для . После перегруппировки его членов (что законно в силу доказанной абсолютной сходимости), получаем требуемый ряд (5).

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что гармонические функции обладают частными производными всех порядков.

Основываясь на теореме 3, можно получить практически удобный способ восстановления аналитической функции по известной действительной части . Элементарно преобразуя выражение (7) общего члена ряд для , получаем представление этой функции в окрестности точки :



Этот ряд, по теореме Абеля, сходится и для комплексных значений и , достаточно близких к и , поэтому в нем можно положить , , где -- точка, достаточно близкая к , и получим

Заменяя здесь через , после простых преобразований получаем окончательную формулу:

(8)

Формула (8) получена для точек , близких к , но по теореме единственности, очевидно, сохраняет силу во всей области определения , ибо в этой области обе части (8) являются аналитическими функциями .

В частности, если аналитична в начале координат, то можно положить , и формула (8) принимает особенно простой вид:

Приведем несколько примеров применения формул (8) в (9);

Пример 1.

 , (формула (9)).

Пример 2.

, (формула (8), =1)

Пример 3.

, (формула (8), )

Во всех трех формулах С -- чисто мнимая постоянная.

Перейдем к рассмотрению свойств гармонических функций. На основании теорем 1 и 2 эти свойства легко получаются из соответствующих свойств аналитических функций. Для удобства писать вместо .

Теорема 4 (о среднем). Если функция непрерывна - в замкнутом круге радиуса с центром в точке и гармонична внутри, этого круга, то

(10)

Теорема 5. Отличная от постоянной гармоническая функция не может достигать экстремума во внутренней точке области определения.

Теорему достаточно доказать для случая максимума, ибо точка минимума гармонической функции является точкой максимума функции - , также гармонической. Предполагая противное, предположим, что гармоническая функция достигает максимума во внутренней точке области. В окрестности точки , построим однозначную аналитическую функцию такую, что . Функция аналитична и не постоянна, а ее модуль , по нашему предположению, достигает максимума во внутренней точке области . Это противоречит принципу максимума, и теорема доказана.

Теорема 6. Если гармоническая во всей открытой плоскости функция ограничена хотя бы сверху, или снизу, то она постоянна.

В самом деле, пусть ограничена сверху: . Построим аналитическую во всей открытой плоскости функцию такую, что . По условию теоремы все значения функции лежат в полуплоскости , следовательно, функция постоянна, а значит, постоянна и .

Следующие две теоремы устанавливают характер линий уровня гармонических функций, т. е. совокупностей точек, для которых .

Теорема 7. Если отличная от постоянной гармоническая функция имеет замкнутую линию уровня , то внутри линии находится хотя бы одна особая точка этой функции.

В самом деле, в противном случае функция , непрерывная в замкнутой области, ограниченной линией уровня, должна достигать своего наибольшего значения и наименьшего значения . По теореме 5 точки и должны лежать на границе области, т. е. на линии уровня; следовательно, , и функция постоянна.

Теорема 8. Любая достаточно малая окрестность точки линии уровня разбивается этой линией на четное число секторов, в которых попеременно принимает значения, большие и меньшие .

Функция равна нулю в точке ; подобрав к ней сопряженную функцию так, чтобы , получим аналитическую функцию , также равную нулю в точке . Обозначим через порядок этого нуля, тогда в окрестности точки имеем

и, следовательно,

(11)

где положено , и -- некоторые постоянные и означает малую порядка выше при . Отсюда видно, что для достаточно малых при изменении от 0 до разность обращается в нуль 2 раз, меняя при этом знак. Теорема доказана.

Точно так же доказывается, что линия уровня сопряженной с гармонической функции , проходящая через точку , в окрестности этой точки распадается на ветвей, касающихся в биссектрис секторов, о которых идет речь в теореме 8. Из теоремы 8 вытекает, что линия уровня гармонической функции может иметь лишь простые точки или кратные точки с различными касательными - случаи изолированных точек, концевых точек или точек возврата исключаются.

Для дальнейшего рассмотрения полезно отметить следующее предложение, обратное теореме о среднем:

Теорема 9. Если функция непрерывна в области D и в любой точке для достаточно малых :



- то функция гармонична в D.

Доказательство этой теоремы основано на теореме существования гармонической функции, принимающей на границе односвязной области заданные значения.

Пусть -- произвольная точка и -- замкнутая односвязная область, принадлежащая и содержащая точку внутри. По цитированной теореме построим гармоническую функцию , принимающую на границе области те же значения, что и функция , и обозначим .

По построению и условиям доказываемой теоремы функция непрерывна в и равна нулю на границе этой области. Кроме того, значение в центре любого круга, принадлежащего , равно среднему арифметическому ее значений на окружности этого круга, так как этим свойством обладают обе функции и : первая по условию, а вторая по теореме о среднем. Отсюда вытекает, что функция не может достигать экстремума во внутренних точках ; доказательство этого предложения опирается лишь на непрерывность функции и теорему о среднем. Но так как непрерывная в замкнутой области функция должна достигать своих экстремальных значений, то она достигает их на границе . А так как на границе всюду , то и максимальное и минимальное значения равны нулю, а следовательно, и всюду в . Это означает, что всюду в функция совпадает с гармонической функцией и, в частности, гармонична в точке . Так как -- произвольная точка , то теорема доказана.

Теорема 10. Пусть задана последовательность функций , , гармонические в области и непрерывных в . Если ряд равномерно сходится на границе , то он равномерно сходится и внутри , причем его сумма является гармонической в функцией.

Из принципа экстремума вытекает равномерная сходимость ряда внутри . В самом деле, по известному признаку сходимости Коши из равномерной сходимости ряда на границе области следует, что для любого найдется целое число такое, что для любого и любого целого положительного и всех точек границы

.

Так как сумма, стоящая под знаком модуля, гармонична, то по принципу экстремума и для всех точек области

Но по тому же принципу Коши отсюда вытекает равномерная сходимость ряда . Остается показать, что сумма этого ряда -- гармоническая функция. Для этого воспользуемся теоремами 9 и 4. Для любого достаточно малого имеем:

(почленное интегрирование ряда законно в силу его равномерной сходимости). По теореме 4 интегралы справа равны , следовательно,

и по теореме 9 функция и (г) гармонична в точке г. Теорема доказана, так как -- произвольная точка области .

Приведем две теоремы, которые выражают, что свойство функции быть гармонической не нарушается при аналитическом преобразовании независимого переменного.

Теорема 11. Если функция гармонична в области и - аналитическая в некоторой области функция, значения которой лежат в , то сложная функция гармонична в .

В самом деле, построим (быть может, многозначную) аналитическую функцию, для которой . Функция , очевидно, аналитическая в области и, следовательно, гармонична в этой области.

Вторая теорема выражает свойство интеграла от нормальной производной гармонической функции:

Теорема 12. Если функция гармонична в односвязной области и непрерывна вместе со своими частными производными в , то

, (12)

где С -- граница области и обозначает производную в направлении нормали к С, а -- дифференциал дуги.

Построим в сопряженную к гармоническую функцию ; она однозначна в силу односвязности . Условия Коши -- Римана можно записать в виде

, (13)

где - обозначает производную в направлении касательной к некоторой кривой, а - производную в направлении нормали к ней (так, что вращение от вектора к происходит против часовой стрелки). В силу непрерывности частных производных, а следовательно, и их комбинаций и , равенство (13) имеет место и на границе С области . Поэтому вдоль замкнутого контура С

в силу однозначности функции .

2. Свойства гармонических функций (продолжение)

Рассмотрим вопросы об особых точках, теоремах единственности и аналитическом продолжении гармонических функций. Начнем с изучения поведения однозначной гармонической функции в окрестности ее изолированной особой точки. Пусть функция и однозначна и гармонична в окрестности точки . Обозначим через Г циклическую постоянную гармонической функции , сопряженной с в этой окрестности. Так как приращение любой ветви функции при обходе в положительном направлении замкнутого контура, окружающего точку , равно iГ, а приращение при том же обходе любой ветви равно , то функция

будет в окрестности распадаться на совокупность однозначных аналитических функций, значения которых в любой фиксированной точке отличаются друг от друга на целое кратное iГ. Поэтому функция является однозначной аналитической, и получаем представление однозначной гармонической, функции в окрестности изолированной особой точки :

(14)

Представление того же типа справедливо и в случае Г=0, ибо в этом случае однозначна функция и, положив , мы найдем:

 (15)

На формулах (14) и (15) основывается классификация изолированных особых точек однозначных гармонических функций. Возможные случаи поведения таких функций в окрестности особых точек исчерпывают следующие три теоремы:

Теорема 1. Если ограничена в окрестности точки , то существует ; положив , мы получаем функцию, гармоническую и в точке (устранимая особая точка).

В самом деле, в этом случае функция в выражении (14) или (15) имеет, в точке устранимую особенность, т. е. существует ; этот предел, очевидно, отличен от нуля -- отсюда и следует утверждение.

Теорема 2. Если стремится к бесконечности при , то в окрестности, точки она допускает представление вида

(16)

где - некоторая постоянная, а - гармоническая в точке функция (полюс).

Действительно, в этом случае функция может иметь в точке лишь полюс или нуль (если ), следовательно, ее можно представить в виде,

где - положительное или отрицательное число и - аналитическая в точке функция, причем . Подставляя это в выражение (14) или (15), получаем искомое представление (16).

Справедлива теорема.

Теорема 3. Если и не стремится при ни к какому пределу, то она имеет в точке полную неопределенность: для любого действительного можно найти последовательное точек , для которой (существенно особая точка).

В самом деле, в этом случае может иметь в лишь существенно особую точку, и утверждение является непосредственным следствием теоремы Ю. В. Сохоцкого.

Пример:

,

Все сказанное относится и к бесконечно удаленной точке, только окрестность надо заменить окрестностью и представление (16) представлением

Гармоничность функции в бесконечности означает, что является устранимой особой точкой этой функции.

Мы не рассматриваем особые точки многозначного характера (примером такой точки является точка для функции , а также неизолированные особые точки.

Перейдем к вопросу о теоремах единственности для гармонических функций. Внутренняя теорема единственности теории аналитических функций не переносится полностью на гармонические функции, ибо гармонические функции, совпадающие на линиях, вовсе не обязаны совпадать в области. Действительно, гармонические функции принимают каждое свое значение на некоторых линиях (линиях уровня) и, следовательно, совпадают с постоянными на линиях, не будучи постоянными в области. Справедлива, однако, такая

Теорема 4. Если две функции, гармонические в области , совпадают в какой-либо области , лежащей в , то они совпадают и во всей области .

Действительно, разность таких функций гармонична и тождественно равна нулю в области . Построим в области (быть может, многозначную) аналитическую функцию такую, что . В области , сопряженная с гармоническая функция должна быть постоянной, ибо в силу условий Коши -- Римана в этой области

,

Следовательно, постоянна в , а значит, и во всей области . Но тогда постоянна в и равна там, следовательно, нулю (ибо она равна нулю в ). Теорема доказана.

Граничная теорема единственности теории аналитических функций, выражающая, что функция, аналитическая в области, определяется своими значениями на границе, переносится на гармонические функции. Для гармонических функций эта теорема является непосредственным следствием принципа экстремума (теорема 5 предыдущего пункта). Чтобы получить ее в достаточно общих для практики предложениях, предварительно докажем обобщенный принцип экстремума:

Теорема 5. Если гармоническая и ограниченная в области функция принимает на границе С этой области значения , кусочно-непрерывные с конечным числом точек разрыва первого рода, то значения внутри заключены между максимальным и минимальным ее граничными значениями (значения в точках разрыва не учитываются).

Пусть на С, а -- точки разрыва и --диаметр области , т. е. максимум расстояния между двумя точками из . Зафиксируем произвольное положительное число и рассмотрим функцию

, (17)

Функция , очевидно, гармонична в области , везде больше и непрерывна в всюду, кроме точек , при приближении к которым она стремится к +. На каждой точки , как из центра, опишем круг достаточно малого радиуса и обозначим через область, получаемую из области удалением всех таких кругов.

Функция неотрицательна на общей части границ и , а при достаточно малых и на окружностях , ибо функция по условию ограничена, а при значения на окружностях неограниченно возрастают. Отсюда на основании обычного принципа экстремума заключаем, что в любой точке из , а следовательно,

к в любой точке из , функция не отрицательна. Но так как при фиксированном и функция , то отсюда вытекает, что в любой точке имеем . Но по теореме 5 предыдущего пункта функция не может принимать внутри значения, равного ее максимальному значению М, следовательно, всюду в имеет место строгое неравенство .

Аналогично доказывается, что всюду в справедливо неравенство , где на С.

Замечание. Для неограниченных функций теорема не имеет места. Например, функция

 (18)

гармонична в круге , равна нулю всюду на окружности этого круга, кроме точки , и тем не менее внутри круга отлична от нуля.

Теперь легко доказывается граничная теорема единственности, о которой говорили выше:

Теорема 6. Пусть на границе С области задана функция кусочно непрерывная с конечным числом точек разрыва первого рода . Существует не более одной функции , гармонической и ограниченной в области , которая в точках границы принимает заданные значения .

В самом деле, пусть существуют две функции и удовлетворяющие условиям теоремы. Их разность

гармонична в области , ограничена и принимает значения, равные нулю во всех граничных точках . По теореме 5 все значения внутри заключены между максимальным и минимальным ее значением в точках , т. е. равны нулю. Теорема доказана.

Заметим, что в теореме 6 область может содержать бесконечно удаленную точку внутри или на границе. Для неограниченных функций теорема, конечно, неверна. Например, в случае круга ; и нулевых (всюду, кроме ) граничных значений существуют две гармонические функции, принимающие заданные значения -- функция (5) и .

В заключение выясним вопрос об аналитической продолжении гармонических функций. Принцип непрерывного продолжения не переносится на гармонические функции. Например, пусть в верхнем единичном полукруге, в нижнем; тогда на отрезке (--1, 1), однако функция , равная в верхнем полукруге и в нижнем, не является гармонической, ибо в точках диаметра она не имеет производной. Однако принципы симметрии в аналитического продолжения остаются в силе:

Теорема 7 (принцип симметрии). Пусть функция гармонична в области граница которой содержит отрезок действительной оси, и равна нулю на этом отрезке. Тогда функция

(19)

гармонична в области , симметричной с относительно действительной оси, и дает аналитическое продолжение функции в .

Действительно, гармоничность в области очевидна. Она следует из условия (6), записанного в виде , ибо отсюда

, .

Остается показать, что функция

гармонична в области . Функция непрерывна в и ее значение в любой точке равно среднему арифметическому значений на окружности достаточно малого радиуса с центром в . Для точек областей и это следует из гармоничности и , а для точек отрезка , где , - из соображений симметрии. Но тогда по теореме 9 предыдущего пункта функция гармонична в .

Теорема 8 (принцип аналитического продолжения). Если функция гармонична в области , граница которой содержит аналитическую дугу и значения на этой дуге образуют действительную аналитическую функцию параметра, то можно аналитически продолжить через дугу .

Пусть сначала представляет собой отрезок действительной оси . Так как действительная функция по условию аналитична на , то она может быть аналитически продолжена в комплексную область. Обозначим это продолжение через - это (комплексная) аналитическая функция в окрестности отрезка и ее действительная часть -- гармоническая в функция, равная на отрезке . По теореме 7 разность можно аналитически продолжить за отрезок, именно в область, симметричную с пересечением областей и относительно отрезка . Так как уже определена в этой области, то такое продолжение даст и аналитическое продолжение функции в ту же область. Для нашего частного случая теорема доказана.

Переходя к общему случаю, предположим, что дуга задана параметрическим уравнением , где - аналитическая на отрезке действительной оси функция и . По условию функция также аналитична на этом отрезке. Продолжим функцию в комплексную область значений , содержащую отрезок ; комплексные значения обозначим через , а полученное продолжение через . Функция гармонична с одной стороны отрезка и на самом отрезке, где , принимает аналитические значения . Следовательно, по доказанному частному случаю, продолжается через отрезок и, возвращаясь к переменной , мы получим аналитическое продолжение функции через кривую . Теорема доказана.

В заключение отметим, что при заданных областях и и заданном общем участке их границы аналитическое продолжение гармонической функции через в определяется единственным образом. Это следует из теоремы 4, примененной к областям. и

3. Задача Дирихле

Совокупность гармонических функции - это совокупность всех решений уравнения Лапласа

, (1)

которое является одним из простейших дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Подобно тому как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так и для полного определения решения уравнения Лапласа требуются дополнительные условия. Для уравнения Лапласа они формулируются в виде так называемых краевых условий, т. е. заданных соотношений, которым должно удовлетворять искомое решение на границе области.

Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой гармонической функции в каждой точке границы области. Таким образом, приходим к первой краевой задаче, или задаче Дирихле:

Найти гармоническую в области и непрерывную в функцию , которая на границе принимает заданные непрерывные значения .

К задаче Дирихле приводится, например, отыскание температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе области. К ней, как мы увидим ниже, сводятся и краевые задачи других типов.

В приложениях условие непрерывности граничных значении является слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную задачу Дирихле:

На границе С области задана функция , непрерывная всюду, кроме конечного числа точек , где она имеет точки разрыва первого рода. Найти гармоническую и ограниченную в области функцию , принимающую значения во всех точках непрерывности этой функции .

Теорему 6 предыдущего пункта можно теперь формулировать как теорему единственности решения обобщенной задачи Дирихле.

Теорема 1. В данной области при заданной граничной функции существует не более одного решения обобщенной задачи Дирихле.

Решение обобщенной задачи Дирихле с помощью одного приёма можно свести к решению обычной задачи; для простоты ограничимся случаем односвязных областей. Обозначим через и предельные значения граничной функции при , стремящейся к точке вдоль С соответственно в положительном и отрицательном направлениях, через мы обозначим скачок в точке . Для общности предположим, что является угловой точкой контура С и через и обозначим углы между осью и касательными к С в точке (рис. 1); пусть еще (если не является угловой точкой, то ). Возьмем функцию

,

где обозначает надлежащим образом выбранную ветвь, аргумента. Эта функция, очевидно, гармонична в области и непрерывна в всюду, кроме точки . Если по пути, касательная к которому в точке составляет с осью угол (значение заключено между и ), то эта функция стремится к пределу . При переходе по кривой С в положительном направлении через точку функция , испытывает, следовательно, скачок

.

Пусть теперь будет решение обобщенной задачи Дирихле при заданных граничных значениях . Рассмотрим функцию

(2)

она гармонична в области и непрерывна в . В самом деле, и все функции гармоничны в . Далее, предельные значения при равны

(3)

и функция остается непрерывной при переходе через каждую точку , ибо при построении мы вычитаем из функции имеющей скачок в точке , функцию , имеющую тот же скачок, а остальные члены суммы (3) непрерывны в этой точке.

Таким образом, действительно, решение обобщенной задачи Дирихле можно представить как сумму функции , решающей задачу Дирихле с непрерывными граничными значениями

и функции

(4)

По теореме 1 найденное решение единственно.

Из формулы (4) вытекает следующая теорема, выясняющая поведение обобщенного решения в окрестности точек .

Теорема 2. При приближении к точке разрыва граничной функции вдоль различных путей решение обобщенной задачи Дирихле может стремиться к любому пределу, заключенному между и .

Действительно, пусть вдоль пути, касательная к которому в точке составляет с осью угол . Из формулы (4) следует, что при этом стремится к пределу

(5)

где -- предельное значение суммы и всех функций , кроме , не зависящее от способа приближения к точке .

В частности, приближаясь к точке вдоль кривой в отрицательном направлении, получим так что формулу (5) можно переписать в виде

Отсюда и следует утверждение теоремы 2 (см. рис. 1)

Перейдем к решению задачи Дирихле для произвольной односвязной области , причем сначала рассмотрим случай, когда представляет собой единичный круг . Для этого случая решение основывается на следующей лемме:

Лемма. Пусть действительная функция , где

, , , ,

1) непрерывна и неотрицательна,

2) для любого

(6)

3) при (- любая точка окружности) и функция стремится к нулю, причем равномерно относительно .

Тогда для любой действительной функции , кусочно непрерывной с точками разрыва первого рода, в любой точке ее непрерывности существует предел

(7)

Для доказательства прежде всего воспользуемся условием 2) и представим разность между интегралом в левой части (7) и его предполагаемым пределом в виде

Зададимся числом и, пользуясь непрерывностью в точке , выберем так, чтобы при было (рис. 2). Имеем

где интегралы берутся по тем дугам единичной окружности, для аргументов точек которых выполнены соответствующие неравенства. Применяя к первому из них известную из анализа теорему о среднем**) и снова пользуясь условиями 1) и 2), получим

(8)

Теперь предположим, что , тогда для всех значений из интервала будем иметь и в силу условия 3) найдется такое число , что для этих и выполняется неравенство . Таким образом, для всех из области, заштрихованной на рис. 98 (для которых, ) будем иметь

(9)

где М - максимум на окружности. Объединяя полученные неравенства (8) и (9), найдем, что для всех из заштрихованной области , и лемма доказана.

Перейдем к решений задачи Дирихле для круга. Для этого отметим, что функцию леммы можно подучить, геометрически как действительную часть конформного отображения круга на правую полуплоскость :

(10)

В самом деле, справедливость свойств 1) и 3) для нее очевидна, а 2) получается отделением действительных частей равенства

которое просто доказывается по теореме о вычетах (функция при имеет в единичном круге два полюса: с вычетом -1 и с вычетом 2; при равенство тривиально).

Теперь уже нетрудно доказать, что решение обобщенной задачи, Дирихле для единичного круга дает интеграл (С. Пуассон»)

, () (11)

В самом деле, функция , определяемая интегралом (11),

является действительной частью функции

, (12)

которая аналитична в единичном круге; следовательно, гармонична в единичном круге. Она ограничена, ибо из (11) следует



где М -- максимум на окружности (мы воспользовались свойством 2) функция (10)). Наконец, по предыдущей лемме, при , стремящемся к любой точке непрерывности , функция стремится к , что и требуется.

Теперь нетрудно доказать разрешимость обобщенной задачи Дирихле и для произвольной односвязной области.

Теорема 3. Для любой односвязной области и любой кусочно непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции решение обобщенной задачи Дирихле существует.

В самом деле, по основной теореме существует конформное отображение области на единичный круг . Заданные на границе кусочно непрерывные значения переходят в кусочно непрерывные на единичной окружности значения , где - функция, обратная к .

По этим граничным значениям с помощью интеграла Пуассона (11) можно построить гармоническую в круге функцию .

Тогда функция

(13)

будет гармонической в области . Она ограничена вместе с , и при , стремящемся к точке непрерывности заданной функции , стремится к значению , ибо при этом точка стремится к точке непрерывности функции . Таким образом, функция (13) дает решение обобщенной задачи Дирихле для области , и теорема (3) доказана.

Если граница С области не имеет бесконечных ветвей и обладает непрерывной кривизной, то решение обобщенной задачи Дирихле можно выразить замкнутой формулой. Для получения этой формулы фиксируем произвольную точку области и обозначим через

, (14)

функцию, реализующую отображение на единичный круг . Переходя, как при доказательстве теоремы 3, к плоскости , мы можем представать решение задачи Дирихле с помощью интеграла Пуассона. В частности, пользуясь обозначениями, введенными в этом доказательстве, в центре круга получим

(15)

где и элемент длины окружности

В рассматриваемых условиях, функция (14) обладает непрерывной производной па границе и, следовательно,

где -- элемент длины С, соответствующий . Обозначим через элемент внутренней нормали к С и через - соответствующий ему элемент радиуса окружности ; тогда будем иметь . Так как на С, то можно написать

 и

где означает производную в направлении внутренней нормали к С. Подставляя это в найденное выше выражение для , находим, что

(16)

Теперь остается в формуле (15) возвратиться к переменной . Учитывая нормировку (14), по которой точке соответствует , и соотношение (16), получаем

(17)

Функция

(18)

называется функцией Грина для области , она, очевидно, гармонична всюду в , кроме точки , где имеет полюс. Вводя в (17) эту функцию и заменяя на , получаем искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле.

(19)

( - производная в направлении внутренней нормали).

Формула Грина выражает решение задачи Дирихле для некоторой области через логарифм конформного отображения на единичный круг, т. е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. Оказывается и обратно, если для некоторой области известно решение задачи Дирихле, то можно построить конформное отображение этой области на единичный круг.

В самом деле, по основной теореме такое отображение , существует. Предположим сначала, что мы знаем это отображение, и рассмотрим функцию,

,

Она, очевидно, аналитична и отлична от нуля всюду в области (функция лишь при , а в силу конформности отображения). Поэтому функция гармонична в области . Ее значения на границе С этой области

не зависят от вида функции , ибо на С.

Предположим теперь, что функция неизвестна. По заданным граничным значениям гармонической функции мы можем однозначным образом восстановить значения внутри (задача Дирихле). Затем с помощью интегрирования восстанавливаем сопряженную гармоническую функцию ; она находится с точностью до постоянного слагаемого . Таким образом, находим функцию , а затем и искомое конформное отображение

(20)

Оно определяется с точностью до поворота, что соответствует принятым условиям нормировки.

Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны; они сводятся друг к другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.

Задача отображения области на полосу :

, , ,

еще более просто сводится к обобщенной задаче Дирихле. Мы находим гармоническую функцию по условиям, что на дуге границы С и на остальной части С, затем находим сопряженную к ней функцию , удовлетворяющую условию . Функция и есть искомая.

 Заключение

В этой работе я рассмотрела основные физические представления, связанные с теорией гармонических функций, и простейшие приложения этой теории. Изложила теорию гармонических функций двух переменных, тесно связанных с потенциалами плоских векторных полей и их основные свойства, также привела примеры.

 Литература

1. Александров Л.А. Аналитические функции комплексного переменного / Соболев А.А. - М. Либерия, 1999. - 315с.

2. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / В.В. Шабат.- М.: Научный мир, 1978.- 456с.

3. Леонтьева Т.А. Лекции по теории функций комплексного переменного / Т.А. Леонтьева. - М.: Научный мир, 2004.- 120с.

4. Лунц Г.Л. Функции комплексного переменного / Л.Э. Эльсгольц. - Иркутск: Изд-во Лань, 2002.-170с.

5. Свешников А.Г. Теория функций комплексного переменного / А.Н. Тихонов. - М.: Наука, 1967. - 256с.

Приложения

рис. 1

рис. 2

рис. 3



рис. 4

Размещено на Allbest.ru

...