Математика для економістів

Размещено на http://allbest.ru

Частина 2

Тема 6. Функції від багатьох змінних

1. Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня.

2. Частинні похідні. Повний диференціал.

3. Знаходження екстремуму функції від багатьох змінних.

6.1. Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня

На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної x, а від багатьох аргументів x₁,…,x_n.

Означення. Множина значень {x₁,…,x_n}, за яких вираз f(x₁,…,x_n) має зміст, називається областю визначення функції від n змінних y = f(x₁,…,x_n).

Приклади.

1. Функція від двох змінних z=3x+5xy+y². Область визначення цієї функції - всі пари дійсних чисел (x;y).

2. Функція від чотирьох змінних y=2x₁+3x₂-x₃+7x₄.

3. Функція від трьох змінних V=V(a,b,c)=abc. Об'єм паралелепіпеда є функцією від довжин його сторін.

4. Функція від двох змінних Q=F(K,L). Обсяг випущеної продукції Q є функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої праці L. Областю визначення цієї функції є множина {K0; L0}.

5. Область визначення функції визначається з нерівності 100-x²-y²0, тобто x²+y²10². Це круг з центром у початку координат і радіусом r = 10.

Функція від двох змінних (аргументів) f(x,y) представляє собою деяку поверхню в трьохвимірному просторі. Зокрема, графіком функції є верхня половина сфери (рис. 6.1).

Рис. 6.1.

Функції від двох змінних геометрично зображають також за допомогою ліній рівня (ліній однакового рівня, ізоліній).

Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z=f(x,y) називається множина точок площин OXY таких, що f(x,y)=const=C.

Прикладом ізоліній є паралелі та меридіани.

Приклади.

1. Побудуємо лінії однакового рівня функції . При C=0 маємо тобто x²+y²=10² (коло з радіусом r=10, рис.6.2).

При C=6 отримуємо тобто x²+y²=8² . Отже лінією рівня, яка відповідає константі C=6, є коло з радіусом r = 8.

При C=8 отримуємо ізолінію (неявну функцію y від x) x²+y²=6².

2. Для випуску продукції Q використовують ресурси x₁ та x₂. Виробнича функція має вигляд Q=10x₁+20x₂ (ресурси повністю взаємозамінні, наприклад, цвяхи та шурупи).

Зобразити ізолінії для Q=Q(x₁,x₂) (лінії однакової кількості (quantity) продукції, ізокванти ).

Очевидно, що при C=60 ізолінія (ізокванта) - це відрізок прямої 10x₁+20x₂=60, а при C=40 - відрізок прямої 10x₁+20x₂=40 (рис. 6.3).

3. Виробнича функція має вигляд Q=min{10x_1,20x₂} (ресурси повністю взаємодоповнюючі, наприклад, калійні та азотні добрива).

Тоді в точках (x₁=2, x₂=1), (x₁=4, x₂=1), (x₁=2, x₂=3) значення Q=40. У точках (x₁=4; x₂=2) та (x₁=4; x₂=4) випуск набуває значення Q=80. На рис. 6.4 зображені лінії однакового рівня (ізокванти) для кількості продукції Q.

Зазначимо, що в другому та третьому прикладах зобразити функцію Q=Q(x₁,x₂) геометрично в тривимірному просторі дуже складно.

4. Випуск продукції Q, як функцію від вкладеного капіталу K та кількості затраченої праці L, задається формулою Q=K^0.6L^0.4 (часткова взаємозамінність і часткова взаємодоповнюваність ресурсів).

На рис. 6.5 зображено лінії однакового значення Q (тобто, графіки неявних функцій K^0.6L^0.4=10 та K^0.6L^0.4=20):

У тривимірному просторі функція Q=K^0.6L^0.4 є поверхнею, що зображена на рис. 6.6.

5. Розглянемо виробничу функцію Кобба-Дугласа вигляду Q=KL^1- (0<<1) і побудуємо лінії однакового рівня для різних значень параметрів та C.

При =0,5 та C=2 маємо 2 = K^0.5L^0.5 , звідки K= 2L^-1.

При =0,3 та C=1 отримуємо 1 = K^0.3L^0.7 , звідки K= 2L^-7/3.

На рис. 6.7 зображені лінії однакового рівня за даних значень та C.

6. Нехай виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд Q=KL (0<,<1). На рис. 6.8,а та 6.8,б показані тривимірні зображення цієї функції (та лінії однакового рівня) для випадків +<1 та +>1, відповідно.

6.2. Частинні похідні. Повний диференціал

Означення. Нехай задано функцію z=f(x,y) і нехай деяку точку з області визначення цієї функції (x,y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а аргумент y - приріст dy, то вираз dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) називають повним приростом функції f(x,y) .

Означення. Функція f(x,y) називається неперервною у точці (x_0,y₀), якщо

.

Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на випадок функції від n (n>2) змінних.

Означення. Величини d_xz=f(x+dx,y)-f(x,y) та d_yz=f(x,y+dy)-f(x,y) називаються частинними приростами функції f(x,y) .

Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом x називається границя

(6.1)

Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y визначаєють аналогічно.

Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення :

f_x(x,y); z_x; ;

f_y(x,y); z_y; .

Частинні похідні та задають напрями дотичних до поверхні z = f(x,y). Варто пригадати, що звичайна похідна f(x) = задає напрям дотичної до кривої y = f(x).

Приклади

1. Нехай

Тоді

2. Нехай Q=K^0.6L^0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні

(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і праці).

3. Побудуємо другі частинні похідні від функції Q=K^0.6L^0.4 .

(Граничний випуск продукції спадає зі збільшенням як затрат капіталу, так і затрат праці).

4. Знайдемо змішані частинні похідні другого порядку :

Теорема: Якщо функція z = f(x,y) та її похідні z_x , z_y , z_xy і z_yx неперервні в точці (x,y) та деякому околі цієї точки, то z_xy = z_{yx .}

Означення. Повним диференціалом dz від функції z =f(x,y) називають суму її частинних диференціалів:

(6.2)

Приклад.

Тоді

Поняття повного диференціала має ряд застосувань. По-перше, величина dz є приростом (по z) дотичної площини до поверхні z =f(x,y), аналогічно до того, як диференціал dy від функції f(x) є приростом ординати дотичної до кривої y = f(x) (рис. 6.9,а - б).

По-друге, за допомогою диференціала можна оцінити похибку функції від багатьох змінних, якщо відомі похибки аргументів:

,

де - похибки аргументів.

По-третє, з використанням диференціала можна знаходити похідні від функцій, заданих неявно.

Приклад.

Нехай та . Потрібно оцінити похибку функції .

Маємо

Отже,

Нехай потрібно знайти похідну у тому випадку, коли функція задана неявно у вигляді . Узявши від функції F(x,y) повний диференціал, отримуємо

звідки .

Приклад.

Знайти похідну якщо

Маємо

звідки .

За допомогою неявних похідних в економіці визначають граничні норми (частки, квоти, rate) заміни.

Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=10x₁+15x₂, де x₁ та x₂ -затрати ресурсів (факторів виробництва). Потрібно знайти граничну норму технологічної заміни ресурсу x₂ на ресурс x₁ (під граничною нормою технологічної заміни ресурсу x₂ на ресурс x₁ в економіці розуміють додаткову кількість ресурсу x₁, яка компенсує зменшення ресурсу x₂ на одиницю). Очевидно, що ця гранична норма (MRTS) технологічної заміни в неперервному випадку є похідною від змінної x₁ за змінною x₂ за умови сталого випуску Q:

.

Отже, у разі зменшення кількості ресурсу x₂ на одиницю та одночасного збільшення ресурсу x₁ на 1,5 одиниці випуск Q залишиться не змінниться (рис. 6.10).

Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=K^0,6L^0,4 (функція Кобба-Дугласа). Гранична норма (частка) технологічної заміни праці капіталом у цьому випадку с

.

Як бачимо із останньої формули, значення MRTS (marginal rate of technological substitution) для функції Кобба-Дугласа залежить від співвідношення K/L.

6.3 Знаходження екстремуму функції від багатьох змінних

Означення. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо існує окіл точки такий, що для всіх точок цього околу виконується нерівність (відповідно ).

За аналогією із функцією від однієї змінної, для функції від двох змінних маємо такі необхідні умови екстремуму:

(6.3)

Як і раніше, ці умови не обов'язково є достатніми.

Отже, відшукання екстремумів функції від багатьох змінних полягає в тому, що потрібно побудувати систему рівнянь

,

розв'язати її, знайшовши критичні (стаціонарні) точки , які надалі треба перевірити на наявність максимуму чи мінімуму.

Означення.

Вектор (6.4)

називається градієнтом функції .

Очевидно, що градієнт задає напрям найшвидшого зростання функції .

Очевидно також, що необхідну умову екстремуму можна записати так: .

Розглянемо достатні умови екстремуму для випадку функції від багатьох змінних.

Теорема (без доведення).

Нехай функція визначена в деякому околі точки і f_x(x₀,y₀)= f_y(x₀,y₀)=0. Нехай A= f_xx(x₀,y₀), B = f_xy(x₀,y₀) та C = f_yy(x₀,y₀) неперервні. Тоді при = AC-B² > 0 у точці (x₀,y₀) функція має екстремум (при A<0 - максимум, при A>0 - мінімум ).

При = AC-B²<0 екстремуму немає (перегин, сідлова точка, тощо).

Зазначимо, що невиконання достатніх умов не означає того, що екстремуму немає.

Приклад. Знайти екстремум функції z = x³+y³-3xy.

Маємо

Розв'язуємо систему ,

звідки знаходимо дві критичні (стаціонарні) точки: M₀=(0,0) та M₁(1,1).

Обчислюємо другі частинні похідні:

; ; .

У точці M₀=(0,0) маємо: A=0, B= -3, C=0, отже, AC-B² = -9<0, тобто екстремуму немає.

У точці M₁(1,1) маємо: A=6, B= -3, C=6, отже, AC-B²=27>0,

A=6>0.

Функція z = z(x,y) має мінімум у точці (1,1) .

Розглянемо, накінець, достатні умови існування екстремуму функції від n (n>2) змінних y=f(x₁…x_n).

Знаходимо всі можливі другі частинні похідні і будуємо матрицю (матрицю Гессе).

.

Означення. Матриця H=H(x₁…x_n) називається додатно визначеною в точці () , якщо визначники M₁>0, M₂>0,…, M_n>0, де

M₁ = ;

;

…………………………. (6.5)

.

Означення. Матриця H=H(x₁…x_n) називається від'ємно визначеною, якщо M₁>0, M₂<0, M₃>0,…,(-1)ⁿM_n>0.

У темі 1 сформульовано теорему про те, що матриця є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є додатними.

Правильно й таке: матриця є від'ємно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є від'ємними.

Теорема .

Нехай функція z = f(x₁…x_n) визначена в околі точки () і .

Тоді в разі додатної визначеності матриці Гессе (A>0, AC-B²>0, …) в точці () функція z = f(x₁…x_n) має мінімум, а в разі від'ємної (A<0, AC-B²>0, …) - максимум.

Зазначимо, що задача відшукання найбільшого і найменшого значення функції від багатьох змінних у деякій замкнутій області відрізняється від задачі знаходження екстремумів. Спеціальні методи вивчають в курсі “Математичне програмування”.

Тема 7. Інтегральне числення

Первісна функція та невизначений інтеграл.

Визначений інтеграл.

Використання поняття визначеного інтегралу в економіці.

7.1. Первісна функція та невизначений інтеграл

Задачею диференціального числення було знаходження похідної від заданої функції y=f(x). Задача інтегрального числення протилежна: потрібно визначити функцію, похідна від якої відома.

Означення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо f(x)=F(x).

Приклад. Для функції y=3x² первісними є функції F(x)=x³; F(x)=x³+5; F(x)=x³-6,3 тощо.

Означення. Невизначеним інтегралом від функції f(x) називається сукупність усіх первісних цієї функції.

Використовується позначення

,

де f(x)dx - підінтегральний вираз, а C - стала інтегрування.

З геометричного погляду невизначений інтеграл - це сукупність (сім'я) ліній F(x)+C (рис. 7.1).

Наведемо таблицю основних інтегралів. Доведення кожної рівності полягає у її диференціюванні.

(n-1) , у тому числі

;

;

;

;

, у тому числі ;

;

;

;

;

, у тому числі ;

, у тому числі ;

.

Приклади.

1) . Справді, ;

2) ;

3).

Із означення невизначеного інтеграла випливають такі властивості інтегрування:

1) ;

2);

3) (метод заміни змінних, метод підстановки);

4) (інтегрування частинами).

Приклади.

Знайти . Виконуємо заміну (підстановку) x/4=t.

Тоді dx=4dt, отже,

2. Знайти . Виконуємо заміну 2x=t, звідки 2dx=dt. Тепер

3. Знайти . При заміні x=t³-1 маємо x+1=t³ , dx=3t²dt і далі

Знайти (заміна 4x=t).

Знайти (заміна 6x-5=t).

Інтегрування частинами потребує певних навиків. Розглянемо цей спосіб на прикладах.

Приклади.

1. Знайти інтеграл . Позначимо вираз lnx через u, а вираз x³dx через dv. Знаходимо du та v:

Отже,

.

Знайти . Позначимо u=x, dv=e^2xdx. Звідси du=dx, v=(1/2)e^2x. Тоді

.

Для інтегрування раціональних дробів, тригонометричних виразів тощо, використовуєть спеціальні прийоми. Розглянемо два приклади відшукання невизначених інтегралів від раціональних дробів.

Приклади.

1) ;

.

В економіці часто застосовують такі функції, як y=lnx та y=1-e^-x. Інтеграли від цих функцій :

;

(перевірка виконується диференціюванням).

Зазначимо, що не всі інтеграли можна виразити через елементарні функції. Так, наприклад, інтеграли та існують, проте через елементарні функції не виражаються.

7.2 Визначений інтеграл

Розглянемо неперервну функцію f(x) на відрізку [a,b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин:

x₀=a, x₁=a+h,…, x_i=a+ih,…,x_n=a+nh=b,

де .

Означення. Сума називається інтегральною сумою, а границя

(7.1)

- визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a,b] і позначається через .

Геометричний сенс визначеного інтеграла.

Нехай функція f(x) для всіх значень аргументу x[a,b] є додатною. Тоді інтегральна сума представляє собою сумарну площу прямокутників S₁,…,S_i,…,S_n (рис. 7.2). Визначений інтеграл у цьому випадку дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої кривими y=0, x=a, x=b та y=f(x).

Теорема.

Визначений інтеграл від функції f(x) на відрізку [a,b] дорівнює приросту первісної на цьому відрізку:

(7.2)

Останню формулу називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Зазначимо, що в деяких підручниках визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a,b] називать приріст первісної F(b)-F(a) на цьому відрізку. Виходячи з такого означення доводяться теорему про те, що визначений інтеграл дорівнює границі інтегральних сум.

Приклади.

1) ;

2) ;

3) (заміна x+1=t)

;

знайти площу фігури, обмежену графіком функції , віссю абсцис та прямими x=1 , x=9 (рис. 7.3).

.

Невласні інтеграли.

На практиці трапляються визначені інтеграли, задані на нескінченному інтервалі (та визначені інтеграли від необмеженої функції). Такі інтеграли називають невласними. Невласний інтеграл обчислюється за допомогою границі.

Приклади.

Інтеграл, заданий на нескінченному інтервалі (рис. 7.4):

;

Інтеграл від необмеженої функції (рис. 7.5):

.

7.3 . Використання поняття визначеного інтегралу в економіці

7.3.1. Визначення загального обсягу випущеної продукції

Нехай деяка фірма випускає один вид продукції, використовуючи один ресурс. Виробнича функція фірми має вигляд q=q(x), де x - затрати ресурсу, а q - обсяг випуску. Затрати ресурсу x є функцією від часу t, наприклад, x=x(t).

Тоді загальний обсяг продукції Q за час від T₀ до T₁ обчислюється за допомогою визначеного інтегралу

.

При , x(t)=100e^0,2t, T₀=0 та T₁=5 (років) загальний обсяг випущеної за п'ять років продукції

7.3.2. Визначення коефіцієнта Джинні

Нехай y=y(x) - частка (доля) приватного капіталу деякої країни, яка перебуває у власності групи людей, що становлять частку (долю) x населення цієї країни.

Наприклад, у тому випадку, коли 30% населення володіє 10% капіталу, 60% населеня 35% капіталу, і 85% 60% капіталу, маємо таке:

y(0,3)=0,1;

y(0,6)=0,35;

y(0,85)=0,6.

Очевидно, що завжди y(0)=0 та y(1)=1.

На рис. 7.6 зображена відповідна крива (крива Лоренца).

Очевидно, що у разі абсолютно рівномірного розподілу багатства в країні крива Лоренца є бісектрисою прямого кута (прямою y = x). Зі збільшенням нерівності збільшується площа між кривою y=y(x) та прямою y = x. Числове значення цієї площі K (0<K<1/2) називають коефіцієнтом Джинні.

Приклад. Крива Лоренца деякої країни має вигляд .Знайти коефіцієнт Джинні цієї країни.

Із визначення коефіцієнта Джинні випливає, що для кривої Лоренца

Для кривої Лоренца y=x² маємо такий коефіцієнт Джинні:

.

7.3.3. Обчислення дисконтованого значення грошових потоків

Як відомо з теми 3, теперішню вартість майбутніх грошей обчислюють за формулою

,

де r - ставка відсотка.

Останню формулу для невеликих значень можна записати у вигляді

,

оскільки ln(1+r)r (справді, ln1,03=0,0296; ln1,05=0,0488; ln1,08=0,077 )

Нехай деяка фірма здійснює потік інвестицій FV₁, FV₂,…, FV_n в моменти часу t₁, t₂,…,t_n=T. Тоді дисконтована (чиста) теперішня вартість NPV потоку інвестицій представляє собою суму

У тому випадку, коли окремі інвестиції роблять невеликими порціями досить часто (всі _i =t_i-t_i-1 -малі, де t₀=0; i=1,…,n), NPV можна вважати інтегральною сумою, яка в неперервному випадку ( n; всі _i0; послідовність значень FV₁=FV(t₁), FV₂=FV(t₂),…, FV_n=FV(T) описує деяка функція FV(t), 0tT ) перетворюється в інтеграл

.

Приклад. Нехай потік інвестицій задає функція FV(t)=100-10t . Ставка відсотка r=10% (r=0,1). Довжина періоду інвестування T=5 (років). Визначити дисконтовану теперішню вартість потоку (рис.7.7,б):

Для порівняння визначимо недисконтовану вартість цього потоку (рис 7.7,а):

.

7.3.4. Розрахунок надлишку виробника та надлишку споживача

З курсу мікроекономіки відомо, що в умовах досконалої конкуренції ринкова (рівноважна) ціна на кожен товар відповідає точці перетину кривої попиту D=D(Q) та кривої пропозиції S=S(Q) (рис. 7.8).

Кожна точка (P;Q) на кривій попиту визначає кількість товару Q, який був би проданий за ціни P. Незважаючи на те, що на ринку весь товар реально продають за ціною P, деяка i^-та (i=1,…,n) частина споживачів згідна була б купити свою частку товару Q_i, заплативши і дещо вищу ціну P_i>P (щоправда, за ціни P_i всього буде продано тільки Q_i одиниць товару). Отже, кожна i^-та частина споживачів завдяки ринковому механізмові виграє в ціні на (P_i-P)Q_i . Вважаючи, що за деякої досить високої ціни P₀ товар не купуватимуть взагалі, маємо такий загальний виграш (надлишок) усіх споживачів:

,

де i=1 відповідає ціні P₀ , а i=n _ ціні P.

Очевидно, що в неперервному випадку надлишок (виграш) споживачів дорівнює площі S₁ фігури P₀E P (рис.7.8).

Кожна точка (Q;P) на кривій пропозиції визначає кількість товару Q, яка була б продана на ринку за ціни P. Оскільки деяка j-^та (j=1,…,m) частина виробників згідна виробляти та постачати на ринок частку товару Q_j і за ціни P_j<P (однак не нижчою від P₀), то завдяки ринковому механізму (який визначив ціну P) загальний надлишок (виграш) усіх виробників дорівнює (де j=1 відповідає ціні P₀ , а j=m _ ціні P)

,

тобто площі S₂ фігури PEP₀ (див. рис. 7.8).

Приклад. В умовах досконалої конкуренції крива попиту має вигляд D(Q)=(Q-10)²+200, а крива пропозиції - S(Q)=Q²+100. Знайти загальний надлишок споживача та загальний надлишок виробника, якщо максимальна ціна споживача - 225 одиниць, а виробника - 125 одиниць.

Точку рівноваги знаходимо з рівняння

D(Q)= S(Q);

(Q-10)²+200=Q²+100;

Q=10;

P=200.

Цінам P₀=225 та P₀=125 відповідає мінімальна кількість товару в обсязі Q₀=5.

Надлишок (виграш) споживача дорівнює площі фігури S₁, тобто його обчисдюють за допомогою визначеного інтеграла

.

Надлишок (виграш) виробника дорівнює площі фігури S₂, тобто знаходиться зи допомогою визначеного інтеграла

.

7.3.5. Дослідження функцій густини розподілу ймовірностей

У курсі “Теорія ймовірності і математична статистика” буде з'ясовано, що ймовірність потрапляння неперервної випадкової величини x в інтервал [a;b] дорівнює інтегралу , де f(x) - диференціальна функція (функція густини) розподілу ймовірностей величини x.

Знайдемо невласні інтеграли від деяких таких функцій.

Диференціальна функція (густина) рівномірного розподілу ймовірностей (рис. 7.9,а) дорівнює

.

Диференціальна функція (густина) показникового розподілу ймовірностей (рис. 7.9,б) f(x)=kxe^-kxдорівнює

.

Диференціальна функція (густина) нормального закону (закону Гауса) розподілу (рис. 7.9,в) .

За допомогою спеціальних методів можна показати, що

;

; .



Ці інтеграли широко застосовуються в курсі “Економетрія”.

Тема 8. Диференціальні рівняння

1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними змінними.

2. Лінійні диференціальні рівняння.

3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці.

8.1 Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними змінними

Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються диференціальними рівняннями.

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних порядків:

F(x,y,y,y,…)=0

Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння.

Приклади.

1. Диференціальне рівняння другого порядку y+2y-3y=x²+1 .

2. Диференціальне рівняння третього порядку y=cos(x).

Означення. Розв'язком диференціального рівняння називають функцію, яка в разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність.

Приклади.

1. Розв'язками диференціального рівняня першого порядку y=3x² є функції y=x³, y=x³+10, y=x³-3.5,…

Отже, загальний розв'язок цього рівняння має вигляд y=x³+C, де C - довільна стала.

2. Загальним розв'язком рівняння другого порядку y=sin(x) є сім'я функцій (кривих) y= -sin(x)+C₁x+C₂, де C₁ та C₂ - довільні сталі. Частковими ж розв'язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10, y= _ sin(x)+2x+1 тощо.

Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних), наприклад:

u_x(x,y)+u_y(x,y)=2u(x,y)+x+y

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна y(x):

F(x,y,y)=0 (8.1)

Розглянемо деякі способи розв'язування таких рівнянь.

Означення. Диференціальне рівняння вигляду

f₁(x)₂(y)dx+f₂(x)₁(y)dy=0 (8.2)

називається рівнянням з розділеними змінними.

Приклади.

1. Розв'язати диференціальне рівняння .

Виконуємо ділення на вираз , розділивши тим самим змінні:

Почленно інтегруємо:

,

застосовуючи послідовно заміни 1-x²=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2) та
1-y²=u (звідки -2ydy=du; ydy=(-du)/2):

;

;

;

;

.

Отримано загальний розв'язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння, який є неявною функцією.

2. Розв'язати диференціальне рівняння y=7^x+y .

Розділяємо змінні:

;

.

Інтегруємо праву та ліву частини:

.

Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні значення), матимемо:

-7^y=7^x+C .

Отже, загальним розв'язком диференціального рівняння є неявна функція (що залажить від сталої C)

7^y+7^x=C .

Розв'язати диференціальне рівняння

;

;

arctgy=arctgx+C .

Отримано загальний розв'язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв'язку у вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо:

arctgy=arctgx+arctgC.

Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо:

.

(загальний розв'язок, записаний у явному вигляді).

8.2. Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

y=a(x)y=0 (8.3)

Таке рівняння розв'язують як рівняння із розділеними змінними:

;

;

;

;

- загальний розв'язок.

Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

y+a(x)y=b(x) (8.4)

Одним із методів його розв'язування є шукання розв'язку у вигляді

.

Приклад. Розв'язати лінійне (неоднорідне) рівняння

.

Розв'язок однорідного рівняння y+2xy=0 має вигляд

.

Розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

,

де C(x) функція від x .

Знайдемо похідну від цього виразу: ,

і підставимо відшукані значення y та y в початкове рівняння:

;

С(x)=2x ;

dC(x)=2xdx ;

C(x)=x²+C .

Отримуємо загальний розв'язок

.

Приклад. Розв'язати лінійне рівняння першого порядку 2xy-y=3x².

Загальним розв'язком однорідного рівняння є сім'я функцій (або, іншими словами, функція, яка залежить від сталої C)

.

Знаходимо загальний розв'язок початкового рівняння у вигляді . Тоді .

Підставляючи y та y в рівняння, маємо

Отже, загальний розв'язок неоднорідного рівняння є таким: .

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами - це рівняння вигляду

y + py + qy=0 , (8.5)

де p та q - сталі величини.

З метою розв'язування таких рівнянь будують характеристичне рівняння

²+p+q=0

Доведено, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння має два різні дійсні корені ₁ та ₂ , загальний розв'язок диференціального рівняння такий:

,

де C₁ та C₂ - довільні сталі.

У випадку кратних дійсних коренів ₁=₂= характеристичного рівняння загальний розв'язок диференціального рівняння має вигляд

Приклад. Розв'язати рівняння y+2y-15y=0.

Будуємо характеристичне рівняння ²+2-15=0, звідки ₁=3; ₂=-5.

Отже, загальний розв'язок є такий:

Приклад. Розв'язати рівняння y+2y+y=0.

Будуємо характеристичне рівняння ²+2+1=0, звідки ₁=₂=-1.

Отже, загальний розв'язок:: .

8.3 Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці

Задачею Коші називається задача знаходження часткового розв'язку диференціального рівняння. Для рівнянь першого порядку задача полягає у знаходженні такої функції, яка

задовольняє рівнянню F(x,y,y)=0;

проходить через точку (x₀;y₀).

Приклад. Розв'язати задачу Коші

.

Знаходимо загальний розв'язок диференціального рівняння з розділеними змінними:

;

arctgy=lnx+lnC ;

y=tg(ln(Cx)) .

На основі початкової умови y(1)=0 визначаємо конкретне значення константи C:

0=tg(ln(C1)) ;

C=1 .

Таким чином, розв'язком задачі Коші є функція y=tg(lnx).

Приклад. Розв'язати задачу Коші

.

Знаходимо загальний розв'язок:

(заміна y²=t 2ydy=dt ydy=dt/2);

lnx=(-1/2)ln(1+y²) + lnC;

;

;

x²(1+y²)=C.

Визначаємо сталу C, виходячи з початкових умов:
1²(1+2²)=C, звідки C=5.

Розв'язок задачі Коші, отже, такий: x²(1+y²)=5.

Ріст при постійному темпі приросту.

Нехай в початковий момент часу t₀=0 кількість населеня деякої країни становить P₀. Нехай темп приросту кількості цього населення є сталим (зазначимо, що приріст може бути як додатнім, так і від'ємним) і дорівнює величині T.

Нагадавши, що темп приросту функції y=y(t) обчислюється за формулою , приходимо до такої задачі Коші:

Розділяємо змінні і знаходимо загальний розв'язок:

;

lny=Tt+lnC ;

y=Ce^Tt .

Оскільки при t=0 величина y(0)=P₀ , то P₀=Ce^T0 =C і далі

y(t)=P₀ e^Tt (розв'язок задачі Коші).

Знайдена функція y(t)=P₀e^Tt дозволяє прогнозувати кількість населення в довільний момент часу. Наприклад, при річному темпі приросту T = -2% (темпі спаду в розмірі 2%) через t=25 (років) кількість населення становитиме P₀ e^-0,0225 = P₀ e^-0,5 0,607P₀.

Зазначимо, що ця ж функція y(t)=P₀e^Tt описує динаміку росту цін при постійному темпі інфляції.

Ріст при спадному темпі приросту.

Нехай деяка фірма починає випускати на продаж новий товар. Нехай на момент часу t₀=0 на ринку вдалося продати y(t₀)=y(0)=y₀ одиниць товару. Позначимо через y(t) кількість проданого товару в довільний момент часу t і поставимо задачу визначення (прогнозування) цієї величини y(t).

В теорії маркетингу досліджено, що темп приросту T_y кількості проданого товару лінійно спадає в залежності від обсягу y продажу цього товару. Нехай темп приросту (спаду) T_y залежно від величини y є такою лінійною функцією: T_y = b-ay.

Отже, для для знаходження функції y=y(t) потрібно розв'язати задачу Коші:

.

Розв'язуємо дифренціальне рівняння

;

(дріб розкладено на суму

дробів та ) ;

;

;

;

(отримано загальний розв'язок) .

При конкретному значенні y(0)=y₀ отримуємо конкретну криву (функцію) вигляду . Цю функцію (логістичну функцію, рис. 8.1) було розглянуто в темі 4. Вона описує динаміку кількості y проданого товару залежно від часу t. Відщукання конкретних параметрів , та - завдання дисципліни “Економетрія”.

Попит при постійній еластичності.

Нехай Q - розмір попиту на деякий товар залежно від його ціни p. Нехай Q(p₀)=Q₀ . Нехай еластичність попиту за ціною E^Q_p=E є сталою на деякому інтервалі. Для побудови функції попиту Q=Q(p) зі сталою еластичністю розв'язуємо задачу Коші (оскільки еластичність E^Q_p обчислюються за допомогою похідної: E^Q_p=Q(p/Q) ):

;

;

;

Q=Cp^E .

З урахуванням початкових умов отримуємо явний вигляд функції попиту

.

Зокрема, при еластичності E = -1 (збільшення ціни на 1% приводить до зменшення попиту на 1%) попит залежно від ціни описує функція

, тобто обернена функція.

Корисність при постійній схильності до ризику.

Схильність особи до ризику (дисципліна “Економічний ризик”) r(x) залежно від кількості багатства x обчислюють за формулою , де U(x) - функція корисності цієї особи. Побудуємо функцію корисності для особи зі сталою (незалежною від x ) схильністю до ризику r(x)=r (як звичайно, r<0).

Потрібно розв'язати диференціальне рівняння r(x)= за умов U(0)=0, U(0)=k.

Маємо задачу Коші

,

тобто лінійне однорідне рівняння другого порядку U-rU=0.

Будуємо характеристичне рівняння ²-r=0, коренями якого є числа ₁ = 0 та ₂ = r.

Отримуємо загальний розв'язок:

U(x)=C₁e^0x+C₂e^rx =C₁+C₂ e^rx .

Враховуючи першу початкову умову U(0)=0, маємо C₁= -C₂, отже

U(x)=C-C e^rx .

Друга початкова умова U(0)=k дає

- Cre^r0 =k, звідки C=(-k)/r .

Отже, функція корисності клієнта має вигляд

Зокрема, при r = -0,2 та k=1

= 5-5e^-0,2x .

Рис. 8.2.

Отже, у разі сталої схильності до ризику r = -0,2 (незалежно від кількості багатства x) функція корисності клієнта має вигляд U(x)=5-5e^-0,2x (рис. 8.2).

функція інтегральне числення економіка диференціальні рівняння

Тема 9. Числові та степеневі ряди

1. Числові ряди

2. Степеневі ряди

9.1 . Числові ряди

У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.

Наприклад, для суми S=1-1+1-1+1-1+… згідно з асоціативним законом маємо S=(1-1)+(1-1)+… та S=1-(1-1)-(1-1)-… . Отже, для нескінченних сум асоціативний (сполучний) закон додавання не виконується.

Означення. Нехай задано нескінчену послідовність {a_n}=a₁,a₂,…,a_n,… .

Тоді вираз a₁+a₂+…+a_n+…=

називають числовим рядом, а доданок a_n - загальним членом цього ряду.

Розглянемо часткові суми числового ряду:

S₁=a₁ ;

S₂=a₁+a₂ ;

…………..

S_n=a₁+a₂+…+a_n ;

…………….

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду

(9.1)

Приклади.

Ряд є збіжним. Його сума дорівнює 1, оскільки згідно з формулою суми геометричної прогресії .

Ряд є розбіжним, оскільки можна довести, що для будь-якого числа A знайдеться такий номер N , що .

Нехай у деякій закритій економіці частка національного продукту, яку витрачають на споживання, становить b, а частка, яку вкладають в інвестування 1-b . Нехай початкові інвестиції дорівнюють I. Тоді згідно з теорією Кейнса споживання спричинить нові інвестиції у розмірі bI . На наступному етапі матимемо інвестиції в розмірі b²I і так далі. В перспективі національний доход становитиме Y=I+bI+b²I+…=. Коефіцієнт називають мультиплікатором.

Властивості збіжних рядів

Теорема 1 (необхідна умова збіжності рядів). Якщо ряд збігається, то його загальний член прямує до нуля ().

Теорема 2. Якщо ряд збігається, то для будь-якого значення m2 збігається ряд і навпаки.

Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.

Достатні ознаки збіжності рядів

Теорема 3. Нехай задано два ряди з додатними членами (знакододатні, знакосталі ряди) та . Нехай для всіх значень індексу i виконується a_ib_i . Тоді із збіжності ряду випливає збіжність ряду .

Теорема 4 (ознака Д'Аламбера). Нехай для ряду з додатними членами існує границя .Тоді при l<1 ряд збігається, а при l>1 розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

Знаходимо границю

. Ряд збігається.

Теорема 5 (ознака Лейбніца). Нехай задано знакозмінний ряд (кожні два сусідні члени ряду мають інший знак). Тоді якщо , то ряд є збіжним.

Приклад. Ряд збігається, бо .

Для обчислення цього ряду, наприклад, з точністю до 0.01 потрібно, щоб , тобто , звідки . Отже, потрібно взяти 100 членів ряду.

Абсолютна збіжність рядів

Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , та умовно збіжним, якщо збігається ряд , а ряд розбігається.

Приклади.

Ряд є умовно збіжним, оскільки ряд розбігається.

Ряд є абсолютно збіжним.

9.2. Степеневі ряди

Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду

c₀+c₁x+c₂x²+…+c_nxⁿ+…

Приклади.

1. Степеневий ряд 1+x+x²+…+xⁿ+… Тут усі c_n=1.

2. Степеневий ряд 1-2x+3x²-4x³+5x⁴-… Тут c_n = (-1)ⁿ(n+1).

Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших - розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень |x|<R степеневий ряд є збіжним).

Приклад.

Знайти область збіжності степеневого ряду

Згідно з ознакою Д'Аламбера .

Очевидно, що при -2<x<2 . Отже, радіус збіжності нашого степеневого ряду R=2. При -2<x<2 степеневий ряд збігається. При x>2 та x<-2 цей ряд розбігається. Випадки x=2 та x=-2 потрібно досліджувати окремо.

Теорема (без доведення). Степеневий ряд в області його збіжності можна почленно диференціювати та інтегрувати.

Одним із найважливіших результатів математичного аналізу є розклад функцій у ряди.

Теорема. Нехай у деякому околі точки x₀ функція f(x) є (n+1) разів диференційовною. Тоді в цьому околі функція f(x) розкладається в такий ряд

, (9.2)

де точка належить околу точки x₀ .

Цю формулу називають формулою Тейлора. Очевидно, що коли (n+1)-^а похідна f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) обмежена, то залишковий член ряду прямує до нуля при xx₀. Отже,

.

При x₀=0 формула Тейлора перетворюється у формулу Маклорена

(9.3)

Легко бачити, що формула Маклорена є степеневим рядом. Таким чином елементарні (шкільні) функції, всі які є багато разів диференційовними, можна розкладасти в степеневі ряди.

Приклади.

Розкласти в степеневий ряд функцію f(x)=e^x.

Маємо f(x)=f(x) =f(x) =…=f⁽ⁿ⁾(x) =…=e^x . Далі f(0)=f(0)=f(0)=…

…=f⁽ⁿ⁾(0) =…=e⁰=1.

Отже,

2.

Згідно з ознакою Лейбніца () ряд збігається при будь-якому значенні x.

Оскільки (sinx)=cosx, (sinx)=-sinx, (sinx)=-cosx, (sinx)^IV=sinx, то

…=

4. Оскільки

і далі ln1 = 1, ln1 = -1!, ln1 = 2!,

то

Радіус збіжності визначаємо відповідно до ознаки Д'Аламбера:

, звідки умова |x|<1. Отже, R=1.

Формула Тейлора справджується і для функцій від багатьох змінних. Зокрема, для функції від двох змінних f(x,y) в околі точки (0;0):

...