Элементарные функции и их графики
История развития представлений о функциональных зависимостях в точных и естественных науках. Формулировка определения Эйлера, Лобачевского и Дирихле. Рассмотрение основных видов функций в математике, изучение их свойств и применения, построение графиков.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.10.2023 |
| Размер файла | 627,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Элементарные функции и их графики
Содержание
Введение
Глава 1. Многообразие функций
1.1 История происхождения функций
1.2 Функция и её основные виды
1.3 Применение функций в точных и естественных науках
Глава 2. Практическая часть
Заключение
Список использованных литературных источников
Приложения
Введение
Функция - отношение между элементами, при котором изменение в одном элементе влечёт изменение в другом, это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Обозначение y=f() как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой.
Величина зависит от величины по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Актуальность проекта заключается в том, что данная работа поспособствует развитию интереса студентов к дисциплине «Математика», позволит осознать суть происходящих процессов в природе, опираясь на знания функций, а также сформирует представление о взаимосвязи математики с окружающим нас миром.
Основная цель проекта: изучить и исследовать связь функций с окружающим нас миром и деятельностью человека, установить взаимосвязь между функциями и другими науками, подготовить методические рекомендации по проведению урока, посвященному общим понятиям функций.
Задачи проекта:
1. С помощью наблюдения найти и рассмотреть примеры функций вокруг нас
2. Изучить происхождение понятия «функция»
3. Рассмотреть применение функций в различных областях науки
4. Найти функциональные зависимости в жизни человека
5. Разработать методические рекомендации
Предмет исследования: математические функции
Объект исследования: функции в окружающем нас мире
Период исследования: октябрь 2022 - февраль 2023гг.
Теоретическая основа: «Математика. Функции и их графики» Н.В. Бурмистрова
Объем и структура индивидуального проекта: введение, 3 главы, заключение, 12 использованных информационных источников.
Глава 1. Многообразие функций
1.1 История происхождения функций
Идея функциональной зависимости восходит из глубокой древности. Вавилонские ученые (приблизительно 4-5тыс. лет назад) установили, что площадь круга является функцией от его радиуса. Примерами табличного задания функции служат астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений.
Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт. Они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Само слово «функция» (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 г. Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году Леонард Эйлер. Наконец, общее определение функции было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год) [3].
К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879 год), а после появления теории множеств Дедекинд (1887 год) и Пеано (1911 год) сформулировали современное универсальное определение.
Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле, неоднократно предлагалось и до него. Вот определение Дирихле (1837 год): у есть функция переменной х, если каждому значению х соответствует совершенно определённое значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже просто словами.
В учебных изданиях в наше время понятие функции звучит следующим образом: «Функция - это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества» [5]. Если сравнить формулировку термина 19 века и нашего времени, можно заметить, что математический язык стал более простым и понятным для людей любого возраста.
1.2 Функция и её основные виды
Всего в математике существует 14 видов функций, но в данной проектной работе мы рассмотрим 5 основных:
1. Линейная функция
(Приложение 1)
Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности. Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной. В случаях линейные функции называются однородными (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от - неоднородных линейных функций. k и - это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или другие. [3]
Область определения функции - множество всех действительных чисел. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел. График линейной функции - прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида , достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y [9].
2. Квадратичная функция
(Приложение 2)
Графиком квадратичной функции является парабола. Многие свойства графика квадратичной функции так или иначе связаны с вершиной параболы, которая во многом определяет положение и внешний вид графика. Действительные числа , в и с в общей записи квадратичной функции называются её коэффициентами.
При этом коэффициент принято называть старшим, а коэффициент c - свободным. Изменение каждого из коэффициентов приводит к определённым трансформациям параболы.
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = при любых значениях остальных коэффициентов. При увеличении старшего коэффициента график сужается, при уменьшении - расширяется. [9]
3. Дробная функция
(Приложение 3)
Данный график функции называют гиперболой. Гипербола имеет две ветви, которые расположены в первом и третьем квадратах, если k<0, и во втором и четвертом квадрантах, если k>0. Это зависит от знака числа k. График функции симметричен относительно начала координат (0;0). Поэтому функцию еще называют - обратная пропорциональность. Областью определения функции является вся числовая ось за исключением точки x = 0, в которой знаменатель обращается в нуль. [6]
4. Показательная функция
(приложение 4)
У степенной функции y = показатель степени постоянен, а основание степени меняется. Функция, у которой постоянно основание степени, а меняется ее показатель, называется показательной. Графиком функции является кривая, которую называют экспонентой. Этим словом принято называть и саму функцию. При a>1 экспонента возрастает. При 0<a<1 экспонента убывает. В обоих случаях экспонента выпуклая вниз. [6]
5. Функция синусоида
(Приложение 5)
Кривая данной функции называется синусоидой. Областью определения являются множество R всех действительных чисел. Функция у = sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел. Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от 1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством 1<у<1.
При х = + 2kр функция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = + 2kр наименьшие значения, равные 1. Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат), а также она периодична с периодом 2р [1].
1.3 Применение функций в точных и естественных науках
Линейная функция:
Применение линейной функции прослеживается практически во всех сферах нашей жизни. Примеры линейной функции в жизни:
· Расчет в магазине за купленные товары
Все мы совершаем покупки, чтобы удовлетворить свои потребности. Чем больше мы купим вещей, тем больше мы заплатим за покупку.
· Потребление электроэнергии
Каждый человек на планете пользуется различными электроприборами, потребляющими энергию. Чем дольше мы используем электроприборы, тем больше потребляем энергии, соответственно платим больше. Эта зависимость выражается формулой П=к*N, где к - стоимость одного киловатт/час, N - количество часов.
· В экономике
Люди получают зарплату, также оплачивая подоходный налог. Чем больше начисленная зарплата, тем больше величина подоходного налога. Данные величины связаны следующей формулой: ПН=0,13*D (ПН - величина подоходного налога, D - величина дохода).
· Потребление пищи
Всем необходимо есть, чтобы у нас были силы и энергия для работы. Эту энергию мы получаем из еды. Чем больше мы съедим, тем больше энергии получим
· Движение физического тела с постоянной скоростью
Всем нам периодически приходится быть участниками движения. Расстояние при движении с постоянной скоростью зависит от времени движения, чем дольше мы находимся в пути, тем большее расстояние пройдем. Данные величины связаны следующей формулой: S=vt (v - скорость движения, t - время движения). [10]
Во всех приведенных примерах мы наблюдаем линейную функцию. Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими линейную функцию.
Квадратичная функция: математика функция график эйлер
Функция графически изображается параболой, имеет вершину в начале координат. Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встречается на практике. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы.
Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
Согласно легенде, Архимед из Сиракуз сжёг флот римлян, обороняя свой город с помощью параболических зеркал. [3]
Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки. Имеет теоретическую и практическую значимость.
Параболу мы можем наблюдать в окружающем мире, как траекторию тел. Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, парашютиста, выпрыгнувшего из горизонтально летящего самолета, артиллерийского снаряда, будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Известно также, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости. [4]
В архитектуре чаще встречаются сооружения и конструкции, в основе которых лежит парабола, оси которой направлены вниз. Это не случайно именно такая ее форма сочетает в себе геометрическую красоту и механическую приспособленность к напряжениям и деформациям, вызываемым весом сооружений, именно это ее свойство привлекало и сейчас привлекает архитекторов использовать данную функцию при строительстве мостов и различный арок.
Симметричность же данной функции относительно оси абсцисс позволяет достигать равномерного распределения нагрузки, что способствует устойчивости и прочности сооружений, в основе которых так или иначе лежит парабола. Стоит отметить, что парабола является узнаваемым элементом архитектуры настоящего и прошлого. [2]
Парабола имеет широкое применение в природе и технике. В Перу существует удивительная скала, которую называют Парабола Бога. (Приложение 6)
Её форма невероятна, как, впрочем, и высота. Некоторые люди до сих пор не верят в существование этой странной скалы, потому что она идеально напоминает форму соответствующей её названию функции.
Так и говорят: «Нет ни Бога, ни Параболы. А то, что показывают - это фотошоп» [10].
Однако всё-таки имеются фотографии, реально подтверждающие этот природный феномен. Интересными представляются и городские фонтаны. Их струи вытекают в форме параболы, ветви которой направлены вниз. Точно так же падают с высоты все природные водопады и вода с плотин всех гидроэлектростанций на нашей планете. (Приложение 7) [7]
Удивительно красиво смотрится падение звезды или какого-либо метеорита на фоне ночного неба! Светящийся след траектории падения любого небесного тела - это парабола.
Именно по параболическим орбитам движутся все без исключения астрономические объекты. (Приложение 8)
Животный мир также не остался в стороне. Траектории прыжков многих животных близки к параболе. Именно в форме параболы и животные, и даже человек отдыхают и спят. [8]
Дробно-линейная функция функция:
С помощью гиперболических функций описывается прогиб каната, зона слышимости звука пролетающего самолета. Если самолет движется со сверхзвуковой скоростью, то в воздухе зона слышимости образует конус.
Во время второй мировой войны использовались гиперболические навигационные системы. При скорости больше 11,1 км/с тело будет двигаться по гиперболе и навсегда уйдёт от Земли. Так движутся запускаемые землянами зонды для изучения Вселенной и так выглядят орбиты движения некоторых астероидов.
Показательная функция используется в биологии и химии, например, для расчёта всходов и потомства, а также, например, для расчёта распада радия. Показательная и периодическая функции наблюдаются в истории и философии как исторические закономерности.
Глава 2. Практическая часть
С целью приобщить студентов 1 курса к дисциплине «Математика», а также рассказать о различных видах функций и их практическом применении, было решено разработать методическую рекомендацию к проведению внеклассного урока на тему «Показательные и дробные функции с нуля».
Актуальность внеклассного урока заключается в расширении кругозора студентов и более продуктивной адаптации к новому материалу. Раздел «Функции» в математике многогранный, он требует детального изучения. Опираясь на теорию, можно понять, что воспринимать функции гораздо проще, когда ты видишь и осознаешь их применение и проявление в окружающих нас вещах.
В ходе практической работы мы детально изучили основные виды функций, математические основы и их проявление в различных сферах деятельности. Методическая рекомендация подразумевает изучение и демонстрацию показательных и дробных функций. Это связано с тем, что в течении 2 семестра студенты 1 курсов столкнутся именно с ними.
Заключение
В ходе работы над проектом мы проанализировали и изучили литературу по истории создания функции, применении её в науке и технике. Краткий обзор происхождения понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция ещё далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий.
Изучая и анализируя различные области применения и взаимосвязь математических функций не только с естественными, но и гуманитарными науками, мы наглядно продемонстрировала примеры функций в окружающей нас среде, изучили их происхождение, а также разработали методические рекомендации.
Мы убедились в том, что функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом, так как функциональные зависимости, действительно, существуют во всех сферах жизни человека, а также, с помощью разработанных методических рекомендаций, помогли студентам проще освоить материал.
список использованных литературных источников
1. Виленкин Н.Я. «Функции в природе и технике»: Книга для внеклассного чтения 9 - 10 кл. - 2 - е изд., испр. - М.: Просвещение, 1993.
2. Ульяновская Н. Н. «О, функция, как ты Важна // Математика». - 1999. - №45.
3. Е. Канин «Начала в изучении функций», Москва 2005 г., Чистые пруды.
4. Сивашинский И.Х. «Элементарные функции и графики» «Просвещение»,1965
5. «Математика. Функции и их графики» Н.В. Бурмистрова
6. Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс - М.: Просвещение. - 1982.
7. Алгебра. 7, 8, 9 класс: учебник для общеобразовательных организаций /Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин: Просвещение 2017г.
8. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Учебник. 10, 11 класс. Базовый и углубленный уровни / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др. - М.: Просвещение, 2016г.
9. Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс - М.: Просвещение. - 1983.
10. Волович М.Б. «Справочник школьника 5-11 класс»
11. Ульяновская Н. Н. О, функция, как ты Важна // Математика. - 1999. - №45.
12. Симонов А.С. Проценты и банковские расчёты. Журнал Математика в школе - июль- август
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
Приложение 7
Приложение 8
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие и основные свойства обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Область определения функции. Обратимость монотонной функции. Построение графиков функций и определение их свойств. Симметричность графиков функций относительно прямой у=х.
презентация [98,6 K], добавлен 18.01.2015Рассмотрение и анализ основных свойств показательной функции: решение задач, способы построения графиков. Понятие и примеры применения гиперболических функций, их роль в различных приложениях математики. Способы нахождения области определения функции.
контрольная работа [902,6 K], добавлен 01.11.2012Понятие функции в древнем мире: Египет, Вавилон, Греция. Графическое изображение зависимостей, история возникновения. Вклад в развитие графиков функций Рене Декартом. Определение функций: понятие и способы задания. Методы построения графиков функций.
реферат [3,5 M], добавлен 09.05.2009Описание сущности функции, которая была введена немецким математиком П.В. Дирихле как пример функции, свободной от аналитического задания значения. Характеристика и описание ряда ее свойств и области определения методами математического анализа.
курсовая работа [44,8 K], добавлен 23.11.2011Характеры и L-функции Дирихле, функциональное уравнение. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость; тривиальные и нетривиальные нули. Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций. Обобщенная гипотеза Римана.
реферат [573,1 K], добавлен 15.06.2011Формулировка и доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии (теорема Дирихле). Определение и основные свойства характеров. Суммы характеров и соотношение ортогональности. Характеры, L-функция Дирихле. Доказательство основных лемм.
курсовая работа [214,2 K], добавлен 12.08.2009Пределы функций и их основные свойства, операция предельного перехода, бесконечно малые функции. Производная функции, важнейшие правила дифференцирования, правило Лопиталя. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях, построение графиков.
методичка [335,2 K], добавлен 18.05.2010Основные правила преобразования графиков на примерах элементарных функций: преобразование симметрии, параллельный перенос, сжатие и растяжение. Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций.
презентация [2,4 M], добавлен 16.11.2010Общее определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье. Ортогональные системы функций. Интеграл Дирихле, принцип локализации. Случай непериодической функции, произвольного промежутка, четных и нечетных функций. Примеры разложения функций в ряд Фурье.
курсовая работа [296,3 K], добавлен 12.12.2010Число как одно из основных понятий математики. Виды чисел, абсолютная и переменная величины. Область определения функции, четные и нечетные функции. Построение графиков функций. Пределы последовательности и пределы функции. Непрерывность функции.
учебное пособие [895,7 K], добавлен 09.03.2009Краткая биография Н.И. Лобачевского. История открытия неевклидовой геометрии. Основные факты и непротиворечивость геометрии Лобачевского, её значение и применение в математике и физике. Путь признания идей Н.И. Лобачевского в России и за рубежом.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 21.08.2011Характеристика понятий "порядок", "хаос" и особенностей их применения в точных науках: математике, физике. Исследование взаимосвязи упорядоченных и хаотических явлений и методы формулировки (содержательно и математически строго) правил относительно них.
реферат [595,3 K], добавлен 29.11.2010Классификация основных элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Определение и простейшие свойства линейной и квадратичной функции. Понятие обратной пропорциональной зависимости.
презентация [1,0 M], добавлен 29.10.2015Ознакомление с принципами параллельного переноса, растяжения и сжатия функции y=f(x) вдоль осей Ох и Оу. Рассмотрение правил симметрического отображения функции относительно осей координат. Особенности сложения и умножения ординат точек графиков.
презентация [356,6 K], добавлен 16.12.2011Обозначение основных тригонометрических терминов: радианная и градусная мера угла, синус, косинус, тангенс, котангенс. Область определения функций и построение их графиков. Выведение формул сложения, суммы, разности и двойного аргумента функций.
презентация [229,3 K], добавлен 13.12.2011Построение графиков функций F(x), симметричное их отбражение относительно оси координат ОХ, ОУ, при значениях -F, -x. Особенности построения графиков функций и симметричное отображение относительно осей координат: f(x)+A; f(x+а); kf(x); |f(x)|; |f(|x|)|.
контрольная работа [82,1 K], добавлен 18.03.2010Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Студенческие годы Н.И. Лобачевского. Первые годы преподавательской деятельности. Организация печатного университетского органа. История открытия неевклидовой геометрии. Признание геометрии Н.И. Лобачевского и ее применение в математике и физике.
дипломная работа [4,4 M], добавлен 05.03.2011Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.
презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010
