Вычисление вычетов функций
Теорема о вычетах является мощным инструментом для вычисления интеграла функции по замкнутому контуру. Рассмотрены определение вычета функции, основная теорема о вычетах, вычисление вычета относительно полюса, вычет функции относительно бесконечности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.11.2023 |
| Размер файла | 153,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТОВ ФУНКЦИЙ
План:
Введение
Определение вычета функции.
Основная теорема о вычетах.
Вычисление вычета относительно полюса.
Вычет функции относительно бесконечности.
Заключение
Список литературы
Введение
В комплексном анализе вычетом заданного объекта называется объект, характеризующий локальные свойства объекта заданного. Согласно определению, вычет может быть вычислен как контурный интеграл, однако в общем случае это довольно трудоёмко. Поэтому на практике пользуются, в основном, следствиями из определения.
Для возможности более полного изучения свойств функции вводится понятие вычета в бесконечности, при этом она рассматривается как функция на сфере Римана.
В большинстве случаев теория вычетов применяется для вычисления разного рода интегральных выражений с помощью основной теоремы о вычетах. Теорема о вычетах является мощным инструментом для вычисления интеграла функции по замкнутому контуру.
вычет функция полюс бесконечность
Определение вычета функции
Вычетом аналитической функции f относительно её изолированной особой точки z=f ? C называется коэффициент с-1 при первой отрицательной степени разложения функции f в ряд Лорана в окрестности этой точки.
Вычет обозначают:
Пусть дана функция голоморфная в некоторой точке a, тогда по теореме Коши имеем:
где контур С - гладкий замкнутый, при чем и малый настолько, что функция остается голоморфной всюду внутри контура, включая точки самого контура. Значение интеграла по такому контуру равно нулю. Если же a будет изолированной особой точкой функции и замкнутый контур C целиком лежит в окрестности этой точки а, то значение интеграла будет отличным от нуля. Это значение, как следует из теоремы Коши, не зависит от формы контура С и может быть вычислено. В окрестности точки a () функция может быть разложена в ряд Лорана
который будет равномерно сходящимся на линии С, так как контур С лежит в окрестности точки а. Интегрируя почленно ряд вдоль линии С, получим:
так как имеют место равенство
Значение интеграла назовем вычетом функции относительно точки а.
Определение. Вычетом функции относительно её изолированной особой точки называется коэффициент при первой отрицательной степени разложения функции в ряд Лорана в окрестности этой точки.
Обозначение вычета:
В итоге имеем:
Формулировка теоремы о вычетах
Сформулируем основную теорему о вычетах. Пусть есть функция голоморфная во всякой точке области G, кроме конечного числа особых точек а1,а2,…,аk. Обозначим через Г кусочно-гладкий замкнутый контур, содержащий в себе точки а1,а2,…,аk и целиком лежащий в области G. При этих условиях равен сумме вычетов функции относительно точек а1,а2,…,аk. Это утверждение представляет собой основную теорему о вычетах.
Она широко используется для вычисления интегралов. Для этого необходимо определить вычеты всех особых точек а1,а2,…,аk, лежащих внутри контра Г. Поэтому важно дать более простой способ вычисления вычетов, не требующий разложения в ряд Лорана в каждом отдельном случае. Такой способ известен для случая, когда особая точка является полюсом.
Вычисление вычета относительно полюса
Пусть точка a является простым полюсом функции . В этом случае главная часть разложения Лорана содержит лишь одну первую отрицательную степень :
Умножая обе части разложения на , получаем:
Так как правая часть последнего равенства есть обыкновенный степенной ряд, то его сумма будет непрерывной функцией в точке a. Следовательно, переходя в последнем равенстве к пределу при z стремящемся к a получим:
Эта формула позволяет быстро определить вычет функции относительно простого полюса. Её можно обобщить на случай произвольного полюса n-го порядка. В этом случае разложение Лорана будет:
Умножим обе части этого уравнения на , получим:
Продифференцировав последнее равенство (n-1) раз, мы получим в правой части обыкновенный степенной ряд, свободный член которого будет:
. Следовательно, имеем:
Откуда находим:
Получаем формулу для вычисления вычета функции относительно полюса а порядка n.
В частности, при n=1:
На практике оказывается полезной небольшая модификация последней формулы.
Пусть функция f(z) в окрестности простого полюса z=a имеет вид
Где ц и ш - аналитические в точке z=a функции, причем ц(a)?0, ш(a)=0, ш'(a)?0. Подставив в формулу (16), имеем:
Вычет функции относительно бесконечности
Вычетом функции относительно бесконечности называется коэффициент при первой отрицательной степени разложения функции f в окрестности бесконечности, умноженный на -1.
Вычет функции относительно бесконечности определяется коэффициентом правильной чести ряда Лорана и поэтому может быть отличным от нуля и в том случае, когда бесконечность является устранимой особой точкой функции f(z) .
Пусть бесконечность является устранимой особой точкой функции f. Введем обозначение . Тогда:
Так же следует упомянуть теорему(т. 1):
Если f(z) есть функция, голоморфная во всякой точке расширенной плоскости комплексного переменного z, кроме конечного числа особых точек, то сумма вычетов всех её особенностей всегда равна нулю.
Заключение
Из рассмотренных в самостоятельной работе видно, что понятие и свойства вычетов позволяют вычислять интегралы от функций комплексного переменного с помощью теоремы о вычетах. При чем на практике для её применения удобнее использовать не определение вычета, а следствия из него.
Список литературы
1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1984.
2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. -- М.: Наука, 1976.
3. Боярчук А.К. Функции комплексного переменного: теория и практика. - М.: Едиториал УРСС, 2001.
4. Высшая математика для начинающих физиков и техников. Зельдович Я.Б., Яглом И.М. М.: Наука, 1982.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.
контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.
презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014Составление структурной схемы дискретной системы по разностному уравнению. Частотный коэффициент передачи. Методы вычисления обратного Z-преобразования. Определение системной функции рекурсивного фильтра второго порядка с применением теоремы о вычетах.
презентация [87,9 K], добавлен 19.08.2013Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.
презентация [159,1 K], добавлен 18.09.2013Поверхностный интеграл второго рода, вычисление поверхности. Теорема Остроградского-Гаусса. Дивергенция, векторное поле скоростей. Поток вектора через замкнутую поверхность, направления внешней нормали. Поверхность произвольных частей.
реферат [354,0 K], добавлен 23.02.2011Методы интегрирования в древности. Понятие первообразной функции. Основная теорема интегрального исчисления. Свойства неопределенных и определенных интегралов и методы их вычисления, произвольные постоянные. Таблица интегралов элементарных функций.
презентация [525,7 K], добавлен 11.09.2011Понятие и основные свойства обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Область определения функции. Обратимость монотонной функции. Построение графиков функций и определение их свойств. Симметричность графиков функций относительно прямой у=х.
презентация [98,6 K], добавлен 18.01.2015Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.
контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Понятие мероморфной функции и ее основные свойства. Характеристика теоремы Миттаг-Леффлера. Общий вид мероморфной функции с заданными полюсами, ее представление в виде суммы целой функции и ряда рациональных функций. Разбор случая простых полюсов.
курсовая работа [357,6 K], добавлен 20.07.2015Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Аналог формул прямоугольников и формулы трапеции. Теорема существования двойного интеграла, его геометрический и физический смысл и основные свойства.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 13.02.2013Первообразная и неопределённый интеграл. Описание вычисления неопределенного интеграла в системе Mathcad, его свойства. Примеры вычисления функций в системе Mathcad. Вычисление значения результирующей функции. Подведение функций под знак дифференциала.
курсовая работа [454,6 K], добавлен 24.12.2012Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.
презентация [174,5 K], добавлен 18.09.2013Вычисление пределов гиперболических функций. Дифференцирование сложной функции. Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора. Свойства неопределенного интеграла, интегрирование функций. Гиперболические функции комплексного переменного.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 11.01.2011Основные обозначения и понятия, относящиеся к множествам, операции над ними. Объединение, пересечение и разность двух множеств и непринадлежность к нему элемента. Первая и вторая теорема Вейерштрасса, Ферма и Ролля. Вычисление интеграла вероятности.
контрольная работа [389,2 K], добавлен 12.12.2010Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Понятие непрерывности функции. Понятие, физический и геометрический смысл производной. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теорема Ролля о нулях производных. Формула конечных приращении Лагранжа. Обобщенная формула конечных приращении (формула Коши).
курсовая работа [812,7 K], добавлен 17.03.2015Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле, ее доказательство в виде произведения L-функций в разветвленном и неразветвленном случаях. Приложение теоремы: выведение функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
курсовая работа [65,6 K], добавлен 15.06.2011Поиск общего интеграла дифференциального уравнения. Расстановка пределов интегрирования. Координаты вершины параболы. Объем тела, ограниченного поверхностями. Вычисление криволинейного интеграла. Полный дифференциал функции. Вычисление дуги цепной линии.
контрольная работа [298,1 K], добавлен 28.03.2014
