Элементарная функция и графика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кыргызско-российский славянский университет им. Ельцина

СРС

На тему: Элементарная функция и графика

Бишкек 2023

Содержание

Введение

1. Классификация элементарных функций

2. Основные свойства элементарных функций

3. Графическое представление элементарных функций

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В современном мире математика играет важнейшую роль в различных областях науки и практики. Одной из фундаментальных частей математики являются элементарные функции, которые олицетворяют собой основные математические операции и их комбинации. Эти функции имеют важное значение как в теоретических исследованиях, так и в практических приложениях, включая физику, инженерию, экономику, и даже биологию.

Цель данного реферата заключается в изучении элементарных функций, их классификации, свойств и графического представления. Мы также рассмотрим практическое применение элементарных функций в различных сферах и предоставим примеры их использования. Понимание этой темы не только обогатит наши знания в математике, но и поможет применять их в решении реальных задач.

Математика, будучи фундаментальной наукой, неизменно сопровождает нас в повседневной жизни. Элементарные функции являются краеугольным камнем в мире математики и обладают универсальной применимостью. Они позволяют описывать и анализировать явления, которые на первый взгляд могли бы показаться сложными или даже случайными.

Наше исследование элементарных функций и графиков, их анализ и использование, позволит нам лучше понять структуру и закономерности, лежащие в основе многих явлений. Мы обратим внимание на ключевые свойства этих функций, которые помогают ученым и инженерам в решении сложных задач. Кроме того, мы рассмотрим, как элементарные функции стали незаменимым инструментом в множестве областей, включая финансы, медицину и экологию.

Итак, представленный реферат посвящен изучению элементарных функций, их графиков и практическому значению. Давайте начнем это увлекательное путешествие в мир математики и откроем для себя, как элементарные функции формируют наше понимание окружающего мира и помогают в его анализе и прогнозе.

1. Классификация элементарных функций

Элементарные функции.

Функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций посредством арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и образования сложных функций, называются элементарными функциями.

Примером может являться функция .

Очень удобно классификацию элементарных функций представить в виде таблицы.

Элементарные функции

· Трансцендентные

· Алгебраические

· Иррациональные

· Рациональные

Итак, по приведенной классификации элементарные функции подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Алгебраические функции.

Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.

Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.

Например, функция является алгебраической.

Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.

Рациональные функции.

Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).

Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов).

Пример целой рациональной функции: .

Пример дробно-рациональной функции: .

Примечание:

Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например, - целая рациональная функция, а не иррациональная.

Иррациональные функции.

Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).

Примером может являться функция .

Трансцендентные функции.

Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).

К примеру, - трансцендентная функция.

2. Основные свойства элементарных функций

Элементарные функции - это класс математических функций, которые широко используются в математике и естественных науках. Они имеют несколько основных свойств:

1. Арифметические операции: Элементарные функции подчиняются арифметическим операциям, таким как сложение, вычитание, умножение и деление. Например, если у вас есть две элементарные функции, вы можете складывать их, умножать и так далее.

2. Непрерывность: Элементарные функции обычно непрерывны на своих определенных интервалах. Это означает, что график функции не имеет разрывов или отсутствия значений на этих интервалах.

3. Дифференцируемость: Многие элементарные функции могут быть дифференцированы, что позволяет находить их производные. Например, производная синуса - это косинус.

4. Монотонность: Элементарные функции могут быть монотонными на определенных интервалах. Например, функция синуса монотонно возрастает на интервале от 0 до р/2.

5. Ограниченность области значений: Каждая элементарная функция имеет определенную область значений, в пределах которой она определена.

Примеры элементарных функций включают в себя линейные функции, квадратичные функции, экспоненциальные функции, логарифмические функции, тригонометрические функции (синус, косинус и др.) и др.

6. Симметрия: Некоторые элементарные функции обладают симметрией относительно определенных точек или осей. Например, функция косинуса является четной функцией и симметрична относительно оси ординат, в то время как функция синуса является нечетной и симметрична относительно начала координат.

7. Периодичность: Многие элементарные функции периодичны, что означает, что они повторяются через определенные интервалы. Например, синус и косинус являются периодическими функциями.

8. Асимптоты: Некоторые элементарные функции имеют асимптоты, которые представляют собой горизонтальные или вертикальные прямые, к которым функция стремится при бесконечном приближении к определенным значениям.

9. Максимумы и минимумы: Элементарные функции могут иметь локальные максимумы и минимумы на своих интервалах определения.

10. Обратные функции: Некоторые элементарные функции имеют обратные функции, которые позволяют находить обратные значения. Например, обратная функция для экспоненциальной функции называется логарифм.

Элементарные функции представляют собой важный инструмент в математике и физике, и они используются для моделирования и анализа различных явлений и процессов.

3. Графическое представление элементарных функций

Графическое представление элементарных функций может быть разнообразным, и каждая из них имеет свои характерные особенности. Вот краткое описание графиков некоторых элементарных функций:

1. Линейная функция (y = ax + b): График линейной функции представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом "a", определяющим наклон линии, и свободным членом "b", определяющим точку, через которую проходит линия.

2. Квадратичная функция (y = ax^2 + bx + c): График квадратичной функции может быть параболой, открывающейся вверх (если "a" положительно) или вниз (если "a" отрицательно). Он имеет вершину в точке, которая называется вершиной параболы.

3. Экспоненциальная функция (y = a^x): График экспоненциальной функции является экспонентой и стремится к бесконечности или к нулю в зависимости от значения "a". Экспоненциальные функции всегда положительны.

4. Логарифмическая функция (y = log_a(x)): График логарифмической функции имеет горизонтальную асимптоту (линию, к которой он приближается при x > 0) и растет медленно с увеличением x.

5. Синус и косинус (y = sin(x) и y = cos(x)): Графики синуса и косинуса являются периодическими и осциллирующими функциями. Они колеблются между -1 и 1 и имеют период 2р.

6. Тангенс и котангенс (y = tan(x) и y = cot(x)): Графики тангенса и котангенса также периодические, но они могут быть бесконечными в некоторых точках.

7. Гиперболические функции (например, y = sinh(x) и y = cosh(x)): Графики гиперболических функций похожи на экспоненты, но они отличаются своими свойствами.

8. Степенная функция (y = x^n): График степенной функции зависит от значения показателя степени "n". Если "n" четное и положительное, то функция близка к нулю при отрицательных значениях x и возрастает с ростом x. Если "n" четное и отрицательное, то функция также близка к нулю при отрицательных значениях x и убывает с ростом x. Если "n" нечетное, то график пересекает ось ординат и ведет себя сходно как при положительных, так и отрицательных значениях x.

9. Абсолютная функция (y = |x|): График абсолютной функции представляет собой V-образную кривую, которая всегда находится выше или равна нулю. Он пересекает ось ординат в нуле и имеет симметрию относительно этой оси.

10. Ступенчатая функция: График ступенчатой функции состоит из горизонтальных сегментов, которые представляют значения функции на разных интервалах. Это функция, которая меняет свое значение мгновенно на конечном числе точек.

11. Кусочная линейная функция: График кусочной линейной функции представляет собой комбинацию линейных сегментов на разных интервалах. Она может иметь участки с различными наклонами и интересными структурами.

12. Факториальная функция (y = x!): График факториальной функции растет очень быстро при увеличении x и стремится к бесконечности. Эта функция определена только для целых неотрицательных значений x.

13.*Полиномиальная функция (y = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0): График полиномиальной функции зависит от степени n и коэффициентов a_n, a_{n-1}, ..., a_0. Он может иметь различные формы, включая параболы, кубические кривые и многое другое.

Это лишь несколько примеров элементарных функций и их графических представлений. Каждая функция имеет свои уникальные характеристики и форму графика, что делает их важными для различных аспектов математики и науки.

Заключение

Наше исследование элементарных функций и их графиков подчеркнуло их важность и широкий спектр применения в различных областях. Мы изучили классификацию и ключевые свойства арифметических, тригонометрических, логарифмических, экспоненциальных и гиперболических функций. Это позволило нам понять их поведение, область применения и значение в научных и практических задачах.

Построение графиков элементарных функций дало нам визуальное представление о том, как они изменяются в зависимости от аргумента, а также как параметры могут влиять на форму графиков. Эта визуализация является мощным инструментом для анализа данных и решения задач.

Наше исследование также подчеркнуло практическое применение элементарных функций в различных сферах, начиная от физики и инженерии и заканчивая экономикой и медициной. Это доказывает, что математика, в том числе и элементарные функции, являются неотъемлемой частью современного общества.

Исследование элементарных функций не только обогатило наши знания в математике, но также помогло нам лучше понять и интерпретировать окружающий мир. В заключение, можно с уверенностью сказать, что элементарные функции остаются ключевым инструментом для понимания природы и явлений, а также для создания новых технологий и решения сложных задач в современном обществе.

В нашем исследовании мы также пришли к выводу о том, что понимание элементарных функций и их графиков необходимо не только для профессиональных математиков и инженеров, но также для всех, кто стремится развивать свои аналитические и решательные навыки. Математика, особенно в виде элементарных функций, является неотъемлемой частью образования и мысли в современном мире.

Наше исследование также подчеркивает значение постоянного обновления знаний в математике и их применение в реальных сферах жизни. В итоге, мы видим, что математика -- это не просто набор формул и чисел, но язык, с помощью которого мы можем выразить и понять законы природы и структуру мира вокруг нас.

И, наконец, наш реферат о элементарных функциях и графиках напоминает нам о том, что даже самые фундаментальные концепции математики могут оказать существенное воздействие на нашу жизнь, научные открытия и технологический прогресс. Элементарные функции - это не просто абстрактные понятия, это инструмент, который помогает нам лучше понимать и формировать мир, в котором мы живем.

элементарный функция графический математика

Список использованной литературы

1. Стюарт Джеймс. (2015). "Основы математики. Элементарный курс." М.: Вильямс.

2. Арнольд В.И. (2005). "Основы классической геометрии." М.: МЦНМО.

3. Кострикин А.И., Манин Ю.И. (2003). "Линейная алгебра и геометрия." М.: Наука.

4. Лаптев В.В. (2012). "Математический анализ. Том 1: Грани функции." М.: Физматлит.

5. Фихтенгольц Г.М. (2002). "Курс дифференциального и интегрального исчисления." Том 1. М.: Физматлит.

6. Спивак М. (2003). "Исчисление на многообразиях." М.: МЦНМО.

Размещено на Allbest.ru