Приложение интегральных преобразований к интегральным уравнениям

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

МЕЖГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКО-ТАДЖИКСКИЙ (СЛАВЯНСКИЙ) УНИВЕРСИТЕТ»

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

на тему: «Приложение интегральных преобразований к интегральным уравнениям»

Автор работы:

Абдувалиева Н.А.

Научный руководитель работы:

Д.ф.-м.н., профессор

Курбанов И.К.

Душанбе -2023



Содержание

Введение

Глава 1. Приложение интегральных преобразований к интегральным уравнениям

1.1 Основные понятия интегральных уравнений

1.2 Понятие интегральных преобразований и их таблица

Глава 2. Преобразование Фурье, Лапласа и Меллина и их применение к решению интегральных уравнений

2.1 Преобразование Фурье и её применение к решению некоторых интегральных уравнений

2.2 Применение преобразования Лапласа к решению интегральных уравнений

2.3 Преобразования Меллина и её применение к решению интегральных уравнений

Заключение

Список литературы



Введение

Интегральные преобразования появились в первые в начале ХIХ века в трудах Фурье, Лапласа, Пуассона, Коши. В последние десятилетия резко возрос интерес к теории интегральных преобразований, так как интегральные преобразования применяются в прикладных задачах физики, механики и других естественных науках. Они являются одним из наиболее эффективных и широко используемых аналитических методов решения различных практических задач. Многие задачи математической физики, астрофизики, термодинамики, механики и других естественных наук приводят к необходимости применения теории интегральных преобразований. Разработкой теории интегральных преобразований занимались В.А. Диткин, П.П.Забрейко, А.А.Килбас, А.П. Пруников и многие другие. Часто решения дифференциальных уравнений, интегральных уравнений удобно получить, применяя метод интегральных преобразований. Он помог решить много новых сложных задач, которые до этого времени считались неразрешимыми. Метод интегральных преобразований обладает доступной, простой, стройной схемой применения. Метод интегрального преобразования Лапласа удобен также при решении систем, состоящих из вышеперечисленных типов уравнений. Он позволяет решать большой круг задач нестационарной теплопроводности. Интегральные преобразования со специальными функциями в ядрах позволяют решать интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма, содержащие в ядре специальные функции, которые другими методами решить не удаётся. Решение многих задач математической физики, электротехники, радиотехники, теории вероятностей и математической статистики, обыкновенных дифференциальных уравнений, теории аэромеханики, квантовой механики других приводит к специальным функциям. Интегральные преобразования является мощным средством решения уравнений и частных производных. Эти преобразования позволяют во многих случаях свести уравнение в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению или в общей ситуации - уменьшить в уравнении число переменных, по которым берутся частные производные. фурье лаплас меллин интегральный



Глава 1. Приложение интегральных преобразований к интегральным уравнениям

1.1 Основные понятие интегральных уравнение

Термин интегральные уравнения, мы называем интегральными уравнениями, уравнения которого неизвестная функция независимого (скалярного или векторного) аргумента находится под знаком интеграла. Различают линейные и нелинейные интегральные уравнения, зависимости от того зависит ли уравнение от неизвестной функции линейным или нелинейным видом. Многие линейные интегральные уравнения записывается в виде;

Где ; R-искомая функция : R и K: ЧR -заданные функции. Функции K называется ядром интегрального уравнения. Уравнение (1.1), когда при а?t?s?b, называет уравнением Вольтерры. В противном случае его называют уравнением Фредгольма. Уравнение Вольтерры, очевидно оно может быть переписано в виде

Наиболее распространенными представителями нелинейных интегральных уравнений является уравнения Урысона

и уравнения Гаммерштейна

Если (t)?0 при всех t?, то уравнение (1.1), очевидно, может быть переписано в виде:

Уравнения такого вида называются уравнениями II рода, отличая их от уравнений I рода

Если в некотором пространстве функций на отрезке определить интегральный оператор

То уравнения (1.2) и (1.3), очевидно, переписывается в виде

х=(1.4)

(1.5)

Прежде, чем объяснить разницу между уравнениями I и II родов, введём понятие корректности уравнения. Огрубляя, ситуация, говорят, что уравнение (1.4) или (1.5) корректно, если при любых она однозначно разрешимо и решение х непрерывно зависит от . Более точно, говорят, что линейное уравнение корректно в паре (Е₁, Е₂) банаховых пространств функций на отрезке , если для любой Е₂ уравнение имеет единственное решение Е₁ и кроме того, найдется такая константа С, что Е₁? Е₂Интегральные уравнения о вырожденным ядром и уравнения типа свертки. Выделим ещё два класса линейных интегральных уравнений, часто встречающихся в математическом анализе. Первый из них состоит из так называемых интегральных уравнений с вырожденным ядром. К ним относятся интегральные уравнения, ядро которых представлено в виде

Интегральные уравнения с вырожденным ядром легко сводятся к системе алгебраических уравнений. Используя (1.6), уравнение (1.2) можно переписать в виде

где

Умножение (1.7) на и интегрирование по t от a до b приводит к системам алгебраических уравнений относительно неизвестных ;

, j=1,…,n, в которой

Уравнение Вольтерры типа свертки выделяется специальным видом ядра K(t;s)=k(t-s):

Название получается от интегрального оператора свертки

Играющего роль умножения в банаховых алгебраических функций. Уравнение типа свертки весьма широко распространено в приложениях. Уравнение Фредьголма типа свертки напишется в виде;

Пусть функция задана в интервале (a; b), конечном или бесконечном. Интегральным преобразованием функции называется функция

Где - фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования. Метод интегральных преобразований состоит при формулировании задачи через преобразованную функцию. При этом мы стремимся к тому, чтобы в этой новой форму задачу решить было бы легче. Применительно к интегральному уравнению мы получаем, вообще интегральное уравнение для преобразованной функции. Если это уравнение оказывается более простым, чем первоначальное, то мы можем получить интегральное представление для исходной неизвестной функции. Этот метод особенно хорош, когда интегральное уравнение после интегрального преобразования сводится к алгебраическому уравнению.

1.2 Понятие интегральных преобразований и их таблица

В математике и ее приложениях широкое распространение получил метод замены изучаемой функции f(x) некоторым ее преобразованием. Эти методы были успешно применены к решению дифференциальных и интегральных уравнений, изучению специальных функций, вычислению интегралов. Существенным преимуществом метода интегральных преобразований является возможность подготовки таблиц прямых и обратных преобразований различных функций, часто встречающихся в приложениях. Пусть функция f(x) определена на (a; b). Интегральным называют преобразование, которое для функции f(x) ставит в соответствие новую функцию F(u), определяемой формулой

Где - некоторая фиксированная функция, называемая ядром интегрального преобразования. Функция f(x) называют оригиналом функции F(u) , а функцию F(u)- изображением функции f(x). Метод интегральных преобразований - это один из мощных методов решения интегральных уравнений, в том числе и в частных производных. Суть метода заключается в следующем : искомой функции f(x) из класса функций {f} ставится в соответствие другая функция F(u) из класса функций {F}. Это соответствие можно записать так:

A[ ?f]=F или f (1.2.1)

В качестве закона соответствия выступает некоторый интеграл отсюда и название - интегральное преобразование. Преобразование, которым функция F(u) преобразовывается в функцию f(x) называется обратным преобразованием:

(1.2.2)

При этом само преобразование называется прямым. Для практического применения интегральных преобразований важно, чтобы прямое (1.2.1) и обратное (1.2.2) преобразования устанавливали взаимно- однозначное соответствие между классами функций- оригиналов {f} и их {F}. При этом условии можно установить взаимно- однозначное соответствие между операциями на обоих классах функций. Существуют различные виды интегральных преобразований: преобразование Фурье, Лапласа, Ханкеля, Мейера Конторовича - Лебедева и ряд других. Основной элемент, отличающий одно преобразование от другого - это ядро. Обычно ядро выбирают так, чтобы преобразование обладало определёнными заданными свойствами. Пределы интегрирования также зависят от вида преобразования. Если aи b -конечные величины, то преобразование называются конечным интегральным преобразованием. Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором. Обычно интегральное преобразование строится так, чтобы оно обладало определенными свойствами, которые позволяют заменить сложные операции над функциями- оригиналами из класса {f} простыми операциями над функциями- изображениями {F}. Так, для многих известных интегральных преобразований операции интегрирования функций из класса{f} соответствует умножение функции образа Fна независимую переменную. Благодаря этому обыкновенное интегральное уравнение для f преобразуется в алгебраическое для функций изображений F. Аналогично идея применения интегральных преобразований к уравнениям в частных производных. Дифференциальные операции по одной из переменных заменяются алгебраическим выражением. В преобразованном уравнении будет на одну переменную меньше. Затем решается более простая задача в образах. К найденному решению этой задачи применяют обратное преобразование, в результате чего получается решение исходной задачи. Функции - оригиналы обычно обозначаются строчными буквами (f;g;u;v), а их изображения - прописными (F;G;U;V). Как показал анализ имеющейся учебной литературы, в ней не существует общепринятого обозначения для интегральных преобразований. Знак f означает f является оригиналом Fили F является изображением, есть и другие обозначения интегральных преобразований. Преобразование, которое восстанавливает первоначальную функцию f(x) из преобразованной F (u) называет обратным преобразованием: A^-1[F]=f. Обратное преобразование не всегда является интегральным. Для каждого типа задач вид интегрального преобразования, его ядра пределы интегрирования могут быть построены специальным образом. Существует общая теория интегральных преобразований. Рассмотрим более подробно интегральные преобразования Фурье и Лапласа.



№	Оригинал	Изображения
1	1
2
3	t
4	sin
5	cos
6	sh
7	ch
8
9
10
11
12
13
14	t
15	t
16	t
17	t
18
19
20
21
22	sin(
23	cos(



Глава2. Преобразование Фурье, Лапласа и Меллина и их применение к решению интегральных уравнений

2.1 Преобразование Фурье и её применение к решению некоторых интегральных уравнений

Известно, что если функция удовлетворяет условию Дирихле на любом конечном отрезки оси t и абсолютно интегрируема на всей числовой оси,

то для нее справедливо равенство

При этом во всякой точке t₀, являющейся точкой разрыва 1-го рода функции , значение интеграла в правой части (2.1.1) будет равно

Формулу (2.1.1) называют интегральной формулой Фурье, а стоящий в ее правой части интеграл- интегралом Фурье. От формулы (2.1.1) нетрудно перейти к комплексной форме интеграла Фурье

Пусть функция удовлетворяет сформулированным выше условиям. Функция

Называется преобразованием Фурье или спектральной функцией. В силу формулы (2.1.2) имеем

Это так называемое обратное преобразование Фурье. Важную роль в применении преобразования Фурье к решению интегральных уравнений играет теорема о свертки. Пусть F₁ и F₂ -- преобразования Фурье функций(t) и (t). Тогда

Причем двойной интеграл в правой части сходится абсолютно. Сделаем замену переменной t+ так что Тогда будем иметь



В силу теоремы Фубини перемена порядка интегрирования закона. Функция

Называется сверткой функции и и обозначается . Формула (2.1.5) может быть записана теперь так;

,

Оттуда видно , что преобразование Фурье свертки функций и равно умноженному на произведению преобразований Фурье свертываемых функций:

Где символом g обозначается преобразование Фурье функции g(t). Операция свертки коммутативна:=. В самом деле, производя замену переменной получаем

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма на оси (-<t<+c ядром, зависящим от разности



Уравнение типа свертки. Здесь обычно применяется преобразование Фурье в предположении, что все участвующие функции абсолютно интегрируемы на всей оси. Формальное решение может быть получено следующим образом. Применяя к обеим частям (2.1.6) преобразование Фурье и используя теорему о свертку функций, получим

H ( (2.1.7)

Где H( преобразования Фурье функций , и соответственно.

Из формула (2.1.7) находим

и решение уравнения (2.1.6) получается в виде

Если имеет нули при вещественном , то уравнение (2.1.6), вообще говоря, не имеет абсолютно интегрируемого на всей оси t решения. Из (2.1.8) получаем

Пусть R(t; обратное преобразование Фурье функции

Это другое формальное решение уравнение (2.1.6). Простейшие условия, при которых приведенные выкладки законны, даются следующей теоремой. Теорема: Пусть а К(t) абсолютно интегрируема на всей оси t, и пусть для всех . Тогда формула (2.1.8) дает решение (2.1.6) и притом единственное. Если К(t) то это же верно и для b формула (2.1.10) эквивалентна (2.1.8).

Пример 1. Решить интегральное уравнение

Решение: Пусть F(- преобразование Фурье функции , K(x) - преобразование Фурье ядра К(х)= Здесь

Применяя преобразование Фурье к обеим частям данного уравнения, получим

Следовательно, решением исходного уравнения является функция



Заметим, что в данном случае

При не обращается в нуль ни при каком вещественном значении

Полагая, например , f(x)=, будем иметь

F(

Так что формула (2.1.3) дает

К вычислению последнего интеграла применим метод контурного интегрирования. Это дает нам

для xдля х

Ответ: .

Пример 2.

Синус и косинус преобразования Фурье

Ф_s(x)=

Называется синус преобразованием Фурье функции .

Имеют место следующие формулы обращения синус и косинус преобразований Фурье:

,

Замечание: Если четная функция , то Ф(х)=, если же нечетная функция, то Ф(х)=, где Ф(х) есть преобразование Фурье функции , а является соответственно синуси и косинус преобразованиями Фурье функции .

Пример 2. Решим интегральное уравнение

(x>0)

Решение: Функция очевидно, является синус преобразованием Фурье искомой функции Применяя формулу обращения синус преобразования Фурье, будем иметь

Интеграл в правой части вычисляем с помощью двукратного интегрирования по частям. Получим

Так что

Пример 3.

В задачах о колебаниях тонкой упругой пластины приходим к следующему интегральному уравнению:

Где --искомая функция, известная функция.

Решение: Уравнение - это интегральное уравнение 1- го рода. Полагая

Преобразуем уравнение к виду

Используя формулу обращения для синуса преобразования Фурье, получим

Или

2.2 Применение преобразования Лапласа к решению интегральных уравнений

Функцией - оригиналом называется любая комплексная функция действительного аргумента , удовлетворяющая условиями;

1) интегрируема на любом конечном интервале оси t (локально интегрируема).

2) Для всех отрицательных.

3) с ростом t возрастает по модулю не быстрее показательной функции, то есть существуют такие постоянные и s, что для всех t.

.

Если существует число s=s₁, для которого выполняется неравенство, то оно будет выполняется и для всех больших чисел ss₁.Нижняя грань s₀ всех чисел s , для которых выполняется неравенство,

называется показателем роста функции f(t).

В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать непрерывные функции- оригиналы. Изображением функции по Лапласу называется функции F(p) комплексной переменной , определяемая равенством

То , что F(p) есть изображение функции f(t), будем обозначать так:

Функция F(p) определена в полуплоскости Rep=s> s₀ комплексной переменной p=s+ и является в этой полуплоскости аналитической функцией от р. В приложениях преобразования Лапласа к интегральным уравнениям большую роль играет теорема о свертке теорема умножения. Аналогично, если функции f(t) определена для всех t, то сверткой этих функций называется новая функция от t, обозначаемая символом и определяемая равенством.

Если интеграл существует.

Основные свойства свертки:

1) Операция свертки коммутативна:

= .

2) Для функций- оригиналов f(t) операция свертки всегда выполнима:

Действительно, произведение функций-оригиналов , как функция от , является финитной функцией, то есть обращается в нуль вне некоторого конечного интервала 0. Для финитных функций операция свертки выполнима, мы получаем формула. Свертка функций - оригиналов есть снова функция- оригинал.

Теорема о свертке. Если f(t)=F(p) и то свертка f имеет изображение F(p)*;

= F(p)*,

То есть перемножение изображений равносильно свертыванию оригиналов.

В самом деле, свертка двух функций-оригиналов есть снова функция - оригинал.

Рассмотрит изображение интеграла

Справа стоит двукратный интеграл, распространенный на сектор S плоскости (t;. Меняя порядок интегрирования и пологая t-получим

И вот мы доказали формулу.

Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода типа свертки:

Предположим, что функция и непрерывны при t>0 и являются функциями- оригиналами. Пусть и .

Как было доказано ранее, интегральное уравнение имеет единственно непрерывное решение при любом значении

Для решения , где s₃>max.

Таким образом, решение уравнения есть также функция - оригинал.

Применяя к обеим частям преобразование Лапласа и пользуясь теоремой умножения, будем иметь

Откуда

Функция будет аналитической в полуплоскости ,так что знаменатель в не может иметь корней в указанной полуплоскости. Используя формулу обращения преобразования Лапласа, находим решение интегрального уравнения.

Интеграл берется вдоль прямой и понимается в смысле главного значения. На практике для отыскания оригинала по его изображение Ф(р) не всегда целесообразно использовать формулу обращения. Часто бывает легче найти оригинал, используя другие теоремы операционного исчисления.

Пример 1. Решить интегральное уравнение

Решение: известно, что

Пусть=Ф(р). Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения и учитывая при этом теорему умножения, получим

Отсюда

Следовательно, решение данного интегрального уравнение есть

Теорема о свертке может быть использована также для решения нелинейных интегральных уравненных уравнений Вольтерра вида

Пусть .

Тогда в силу уравнения

откуда

Оригинал для Ф(р), если он существует, будет решением интегрального уравнения.

Пример 2. Решить интегральное уравнение

Решение: пусть Применяя к обеим частям преобразование Лапласа, получим

Функции будут решениями уравнения (решение уравнения не единственно).

Система интегральных уравнений Вольтерра типа свертки. Преобразование Лапласа может быть использовано при решении систем интегральных уравнений Вольтерра вида

Известные непрерывные функции, имеющие изображение по Лапласу. Применив к обеим частям преобразование Лапласа получим

Это система линейных алгебраических уравнений относительно . Решая ее, найдем оригиналы, для которых и будут решениями исходной системы интегральных уравнений.

Пример 3. Решить систему интегральных уравнений

Решение: переходя к изображениям и используя теорему об изображении свертки, получим

Решая полученную систему относительно , найдем

Оригиналы для равны соответственно

Функции дают решение исходной системы интегральных уравнений.

Интегро-дифференциальные уравнения. Пусть имеем линейное интегро- дифференциальные уравнение вида

где ,…, - постоянные, - известные функции, искомая функция.

Для искомой функции ставятся начальные условие вида

(0)=,…,(0)=.

Пусть функцииявляется функциями - оригиналами и

Тогда функция будет иметь изображение по Лапласу

Применяя к обеим частям преобразование Лапласа и используя теорему об изображении производной и теорему умножения, придем к уравнению.

где некоторая известная функции от р. Из полученной уравнении операторное решение задачи. Функция будет решением интегро-дифференциального уравнения, удовлетворяющим начальном условиям.

Пример 4. Решить интегро- дифференциальное уравнение

Решение: пусть р²Ф(р)

Поэтому после применения преобразования Лапласа уравнение примет вид

Из уравнение находим

Следовательно, решение интегро- дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, определяется

+1

Интегральные уравнения Вольтерра с пределами (х;+. Интегральные уравнения вида

Возникающие в ряде задач физики, можно также решать с помощью преобразования Лапласа. Справедливо следующая формула:

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям и используя формулу, получим

Функция

Является частным решением интегрального уравнения. Подчеркнем, что для того, чтобы решение имело смысл, необходимо, чтобы области аналитичности перекрывались.

Пример 5. Решить интегральное уравнение

Решение: в данном случае Таким образом, получаем следующие операторное уравнение:

Так что

Отсюда

Интеграл можно вычислить по интегральной формуле Коши. Подынтегральной функция имеет двукратный полюс р=0 и простой полюс р=1, который появляется при , что связано с включением и не включением в решение уравнения решения соответствующего однородного уравнения

Следовательно , решение интегрального уравнения есть ^z

(С -произвольная постоянная).

2.3 Применение преобразования Меллина к решению интегральных уравнений

Пусть функция определена при положительных и удовлетворяет условиям

при надлежащем выборе чисел и . Преобразованием Меллина функции называется функция

Формула обращения преобразования Меллина имеет вид

где интеграл берется вдоль прямой , параллельной мнимой оси плоскости s, и понимается в смысле главного значения. В случае, когда поведение функции f(t) при t 0, t известно, например, из физических соображений, границы полосы ( , ) могут быть установлены из условий абсолютной сходимости интеграла. Если же поведение f(t) известно лишь на одном конце интервала (0, +, например, при t 0, то определяется только , прямая интегрирования (2.3.3) должна быть выбрана правее прямой и левее ближайшей особой точки функции F(s). Преобразование Меллина тесно связано с преобразованиями Фурье и Лапласа и многие теоремы, относящиеся к преобразованиям Меллина, могут быть получены из соответствующих теорем для преобразований Фурье и Лапласа путем замены переменных.

Отсюда можно заключить, что преобразование Меллина удобно применять при решении интегральных уравнений вида

В самом деле, пусть функции ц(x), f(x) К (х) допускают преобразование Меллина и пусть > Ф(s), F(s), К(х)>К Ю(s), причем области аналитичности и (s), имеют общую полосу <. Применяя к обеим частям уравнения (2.3.5) преобразование Меллина и используя теорему о свертке (2.3.4), получим

Это операторное решение интегрального уравнения (2.3.5). По формуле обращения (2.3.3) находим решения этого уравнения:

Рассмотрим интегральное уравнение вида

(уравнения Фокса). Умножая обе части (2.3.6) на и интегрируя по х в пределах от 0 до , получим



Заключение

Изучая научную литературу, исследуя и анализируя данную тему можно сделать вывод, что интегральные преобразования является мощным средством решения различных задач не только в математике, но и в других областях науки. Применение методов, использующих преобразования Фурье и Лапласа и Меллина позволяет минимизировать и упростить вычисления сложных задач математики. Методы решения интегральных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, не применяющие технику интегральных преобразований, не всегда делают возможным проведение численного анализа необходимо для практического использования полученных результатов. Интегральные преобразования позволяют найти решения целого ряда сложных задач математики. Применение интегрального преобразования во многих случаях позволяет свести решение интегральных равнений и дифференциальных уравнений в частных производных с n независимыми переменными к решению уравнения с n-1 независимыми переменными, что облегчает решение рассматриваемой задачи. Последовательное применение интегральных преобразований может иногда свести задачу к решению обыкновенного интегрального уравнения теория которого хорошо разработает.

Достоинства операционного метода решения по сравнению с классическим методам решения интегральных уравнений состоит в том, что начальные условия автоматически входят в изображающее уравнение. Поэтому после выполнения обратного преобразования Лапласа сразу получается частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Следовательно, при операционном методе не надо искать произвольные постоянные. Недостаток метода - трудность обращения преобразования Лапласа, особенно в случае сложной правой части или уравнений высокого порядка. Существенным преимуществом метода интегральных преобразований является возможность подготовки таблиц прямых и обратных преобразований различных функций, часто встречающихся в приложениях.



Список литературы

1. Бейтмен Г. Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. М; Наука (1969)

2. Бейтмен Г. Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2. М; Наука (1970)

3. Брычков Ю. А.,Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функции М; Наука , (1977)

4. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений М;, Наука, (1969)

5. Гурса Э. Курс математического анализа , том 3 часть 2 Интегральные уравнения М; -Л ГТТИ, (1934)

6. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы М;, Наука, (1966)

7. Диткин В.А. Прудников А.П. Интегральные преобразование и операционное исчисление ,М; ГИФМЛ, (1961)

8. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости Л; Наука (1968)

9. Петровский И.Гю Лекции по теории интегральных уравнений М;, Наука , (1965)

10. Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики , математической физики и техники М-Л;, ГИТТЛ, (1947)

Размещено на Allbest.ru

...