Аналіз фрактальності часових рядів: теоретичні аспекти дослідження

Пошук ефективних методів дослідження природних та соціальних явищ. Застосування математичної концепції часових рядів при аналізі складних соціально-економічних систем. Виявлення ступеню самоподібності та значення фрактальної розмірності методом Херста.

Рубрика Математика
Вид статья
Язык украинский
Дата добавления 22.07.2024
Размер файла 750,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://allbest.ru

Сумський державний університет

Аналіз фрактальності часових рядів: теоретичні аспекти дослідження

Коломієць Світлана Володимирівна

кандидат фізико-математичних наук, доцент,

старший викладач кафедри економічної кібернетики

Оліхненко Катерина Олександрівна магістр,

м. Суми

Анотація

Об'єктивні цивілізаційні зміни функціонування багатьох сучасних соціально-економічних систем, зокрема фінансових ринків, обумовлюють зміну методів їхнього дослідження та моделювання.

Одним з перспективних методів дослідження складних соціально-економічних систем є фрактальний аналіз, який дозволяє досліджувати закономірності, що можуть бути приховані у хаотичних нелінійних системах. Ідея фрактального аналізу застосування математичної концепції теорії фракталів до дослідження складних систем.

Фрактал геометрична фігура, що складається з кількох частин, кожна з яких подібна до усієї фігури у цілому. Універсальність методів фрактального аналізу дозволяє використовувати їх для дослідження систем будь-якої природи від фізичних до економічних та соціальних.

Фрактальні властивості та довгострокова пам'ять властиві багатьом часовим рядам, які описують динаміку еволюційних процесів у соціально-економічній сфері.

Суть фрактального аналізу часових рядів полягає у тому, щоб з'ясувати, наскільки ряди є близькими до фрактальних, що дозволить зробити певні прогнози щодо тенденцій розвитку відповідного соціально-економічного процесу. Індикатором поведінки часового ряду та можливості його прогнозування є значення фрактальної розмірності, яке може бути обчислене через значення показника Херста. Показник Херста допомагає виявити ступінь самоподібності в часових рядах, що дозволяє розуміти їхню структуру та динаміку.

Найбільш популярним методом оцінювання показника Херста є R/Sаналіз. До переваг R/S-аналізу відносять його універсальність для різних типів даних, простоту реалізації та розуміння, можливість інтерпретації результатів, ефективність, особливо у випадку аналізу часових рядів з довготривалими кореляціями.

До недоліків залежність результатів оцінювання показника Херста від довжини часового ряду та обраної методики оцінювання.

В роботі досліджено теоретичні аспекти фрактального аналізу часових рядів, проведено аналіз методик оцінювання показника Херста, вказано переваги та недоліки проведення передпрогнозного фрактального аналізу часових рядів на основі реалізації R/S аналізу,

Ключові слова: соціально-економічні системи, часові ряди, фрактальний аналіз, показник Херста, R/S-аналіз.

Abstract

Analysis of fractality of time series: theoretical aspects of research

Kolomiiets Svitlana Volodymyrivna Phd, associate professor, senior lecturer of the Department of Economic Cybernetics, Sumy State University, Sumy,

Olihnenko Kateryna Oleksandrivna,master's degree, Sumy State University, Sumy

Objective civilizational changes in the functioning of many modern socio-economic systems, in particular financial markets, cause a change in the methods of their research and modeling.

Fractal analysis is one of the promising methods of studying complex socioeconomic systems. Fractal analysis allows you to explore patterns that may be hidden in chaotic nonlinear systems. The idea of fractal analysis is the application of the mathematical concept of fractal theory to the study of complex systems. A fractal is a geometric figure consisting of several parts, each of which is similar to the whole figure as a whole.

Fractal analysis is a universal method that can be used to study physical, biological, socio-economic and other systems. The essence of fractal analysis of time series is to find out how close the series are to fractal. Fractal analysis provides an opportunity to make certain forecasts regarding the development trends of the corresponding socio-economic process. An indicator of the behavior of the time series and the possibility of its forecasting is the value of the fractal dimension. The value of the fractal dimension can be calculated through the value of the Hurst index.

The Hurst index is used to determine the degree of selfsimilarity of a time series and the interaction between the levels of this series.

The most popular method of estimating the Hurst index according to statistical data is the R/S analysis. The advantages of R/S analysis include its versatility for various types of data, ease of implementation and understanding, the possibility of interpreting results, efficiency, especially in the case of time series analysis with long-term correlations. The disadvantages include the dependence of the Hurst index evaluation results on the length of the time series and the chosen evaluation method.

Theoretical aspects of fractal analysis of time series, methods of estimating the Hurst index, advantages and disadvantages of predictive analysis are studied in the work.

Keywords: socio-economic systems, time series, fractal analysis, Hurst index, R/S analysis.

Вступ

Постановка проблеми. Сучасні соціально-економічні процеси, які є нестійкими та нестаціонарними, відбуваються в принципово новій технологічній реальності. Досвід останніх років свідчить, що соціально-економічні системи все частіше демонструють непрогнозовану поведінку та непередбачувані властивості. За таких умов виникає нагальна потреба глибокого осмислення законів розвитку складного нелінійного світу, пошуку нових методів дослідження соціально-економічних систем, що базуються на іншій парадигмі парадигмі нелінійності. Найбільш затребуваними методами дослідження складних соціально-економічних систем є методи нелінійної динаміки, зокрема метод фрактального аналізу.

Основна ідея фрактального аналізу полягає в тому, що багато природних та соціальних явищ мають фрактальні властивості, тобто мають подібні структури на різних масштабах. Часові ряди, які характеризують ці процеси, є комплексом різних компонент трендової складової, циклічної складової з різними періодами, флуктації тощо. Як правило, такі ряди є фракталами, тобто характер їхньої поведінки залишається незмінним для різних масштабів, незважаючи на нерегулярність.

Ефективність фрактального аналізу у періоди нестабільного функціонування соціально-економічних систем зумовлює його популярність для аналізу динаміки сучасних складних систем.

Використання методів фрактального аналізу до дослідження складних соціально-економічних систем є вельми актуальним завданням, оскільки надає можливість знайти конструктивний підхід до вирішення проблем, які постали перед сучасною економічною наукою.

Аналіз останніх досліджень і публікацій. Фрактальний аналіз часових рядів привертає значну увагу науковців. Пояснюється це як новою науковою парадигмою, так і постійними змінами та кризами у функціонуванні складних соціально-економічних систем. На практиці динаміка соціально-економічних систем може бути представлена часовими рядами, які є деякою проєкцією внутрішніх та зовнішніх зв'язків відповідної динамічної системи. Все більше науковців погоджуються з висновком про фрактальну структуру динамічних систем та фрактальні властивості відповідних часових рядів. Фрактальний аналіз все частіше застосовують для практичного прогнозування динаміки часових рядів. Дослідження підтверджують, що фрактальні властивості та довгострокова пам'ять властиві багатьом часовим рядам, які описують динаміку еволюційних процесів у соціально-економічній сфері. фрактальний математичний часовий ряд херст

Ідея використання теорії фракталів з метою дослідження фінансових ринків знайшла висвітлення у роботах багатьох вчених, зокрема [1-11]. Сучасні дослідження продовжують розвиток інструментів фрактального аналізу, адаптують їх до дослідження часових рядів.

У роботі [12] досліджено теоретичні та практичні аспекти використання фрактального аналізу як одного з основних методів аналізу фінансових ринків у періоди інтенсивних коливань ринку. Алгоритм реалізації клітинкового методу для визначення фрактальної розмірності за допомогою табличного процесора MS Excel розроблений у роботі [13]. Питання застосування фрактального аналізу часових рядів на основі показника Херста, як альтернативи гіпотезі ефективного ринку, досліджується в роботі [14]. У роботі [15] запропонована методика передпрогнозного фрактального аналізу часових рядів, сформульовано критерії для визначення середньої довжини періодичного і неперіодичного циклів та інших фрактальних характеристик. Аналіз фрактальності валютного ринку України проведено у роботі [16], фрактальний аналіз рівня інноваційної активності промислових підприємств проведено у роботах [17],[18].

Завдяки своїй універсальності методи фрактального аналізу застосовують для проведення передпрогнозного аналізу різних соціально-економічних систем. Застосування фрактального аналізу для дослідження складних систем у часи постійних змін та криз є вельми актуальним та підтверджує необхідність подальших досліджень у напрямку передпрогнозного аналізу, зокрема систематизації методик оцінювання показника Херста.

Мета статті дослідження теоретичних аспектів фрактального аналізу часових рядів, систематизація методик проведення передпрогнозного фрактального аналізу часових рядів на основі реалізації R/S аналізу.

Виклад основного матеріалу

Довгий час вважалося, що поведінка більшості реальних соціально-економічних систем описується нормальним законом законом Гаусса. В 60-70 роках ХХ століття в якості основних моделей фінансових ринків використовували модель оптимального інвестиційного портфеля Г. Марковица, модель CAMP Шарпа, модель ціноутворення опціонів Блека-Шоулза, які базувались на припущені, що динаміка фінансових ринків описується законом нормального розподілу.

Динаміка фінансового ринку досліджувалась в рамках гіпотези ефективного ринку.

Відповідно до гіпотези ефективного ринку, рівні часових рядів, які описують динаміку фондового ринку, є незалежними або мають короткострокову пам'ять поточні зміни цін не залежать від попередніх змін.

Ймовірнісні моделі адекватно моделювали динаміку фінансового ринку до обвалу 1987 року, коли індекс Доу-Джонса впав майже на 29% за один день.

В рамках ймовірнісного підходу цей обвал рідкісна подія, яка може повторитися через кілька мільйонів років. Однак фінансові кризи 1992, 1995, 1998, 2008 років спростували це твердження. Виникла потреба переосмислення законів розвитку фінансових ринків, пошуку нових методів дослідження соціально-економічних систем, що базуються на іншій парадигмі парадигмі нелінійності.

Відповідно до лінійної парадигми, реакція системи на вплив пропорційна величині цього впливу, еволюційні процеси не мають пам'яті про минуле або мають короткострокову пам'ять, що не відповідає суті реальних економічних процесів.

Засновник теорії фракталів Бенуа Мальденброт припустив, що крива розподілу ймовірностей зміни ринкових котирувань відрізняється від нормальної кривої, динаміка фондових ринків описується не кривою Гаусса, а деякою степеневою функцією. Водночас було виявлено, що ризик появи великого відхилення прибутковості фактично значно вищий, ніж за умови нормального розподілу, тобто рідкісні події на ринках відбуваються частіше, ніж вважали.

Мандельброт, спостерігаючи симетрію як короткочасних, так і тривалих коливань ціни, показав, що саме методи фрактальної геометрії дозволяють створювати цінові діаграми, які відповідають реальності [19].

Ідея фрактального аналізу застосування математичної концепції теорії фракталів до дослідження складних систем. Фрактал геометрична фігура, що складається з кількох частин, кожна з яких подібна до усієї фігури у цілому. Це означає, що ціле має таку саму форму, як і одна чи більше його частин.

Фрактальний аналіз спрямований на виявлення рекурсивних (фрактальних) моделей. Під рекурсією розуміють спосіб задання функції, коли значення шуканої функції в даній точці визначають через її значення в попередніх точках.

Фрактальний аналіз сформувався на базі теорії фрактальних ринків, яка стверджує, що розвиток ринкових процесів у майбутньому, зокрема майбутні значення часових рядів, залежать від ретроспективних змін. Відповідно до теорії фрактального ринку, процес ціноутворення загалом глобально детермінований і залежить від початкових умов, локально він є випадковим.

Окремим випадком фрактальних об'єктів є фрактальні часові ряди, які породжуються складними нелінійними системами. Моделювання цих систем за допомогою нелінійних систем диференціальних рівнянь пов'язане з певними труднощами. Інший підхід моделювання динаміки складних соціально-економічних систем через аналіз часових рядів. Відповідні часові ряди є фракталами характер їхньої динаміки не змінюється на різних масштабах, не зважаючи на нерегулярність.

Як зазначено в [1, С. 362], довгострокова пам'ять, хаотичність, мала довжина властива багатьом часовим рядам, що описують динаміку еволюційних процесів у соціально-економічній ссфері. Класичні (статистичні) методи аналізу не дозволяють отримати якісні моделі динаміки цих рядів. Для дослідження необхідно використовувати методи нелінійної динаміки, зокрема методи фрактального аналізу.

Важливою характеристикою динаміки часових рядів є тривалість реакції на зовнішні впливи. Математично цю властивість описують за допомогою автокореляційної функції. Чим швидше спадає автокореляційна функція, тим менший час присутності в часовому ряді наслідків зовнішнього впливу.

Явище «довгої пам'яті» було виявлено британським гідрологом Г. Херстом, який вивчав історичну статистику розливів Нілу. Він помітив, що за розливами вище середнього в наступному періоді йшли розливи ще більші; під час посушливого періоду за ним слідували більш посушливі. Отже, персистентний часовий ряд має здатність підтримувати тенденцію зміни. На переконання Мандельброта, цей ефект є характерним і для фінансових ринків. Більш того, сильна залежність між попередніми та наступними значеннями з часом зменшується дуже повільно (автокореляційна функція такого процесу зменшується гіперболічно).

Мета фрактального аналізу часового ряду виявлення в ньому наявності довгострокової пам'яті та оцінка її глибини, виявлення трендостійкості або «повернення до середнього» частіше, ніж за умови випадкового часового ряду, виявлення періодичних циклів. Знання фрактальних характеристик часового дозволяє отримати передпрогнозну інформацію і оцінити перспективність прогнозування досліджуваного ряду [1, С .99].

Процес прогнозування динаміки часових рядів складається з двох етапів передпрогнозний аналіз (оцінювання фрактальних характеристик) і побудова прогнозу. Класифікація методів передпрогнозного аналізу представлена на рисунку 1.

Рис. 1 Класифікація методів передпрогнозного аналізу

Основним показником, який характеризує фрактальні часові ряди, є фрактальна розмірність, що пов'язана з наявністю у часових рядах так званої «довгої пам'яті» (властивість персистентності).

Суть фрактального аналізу часових рядів полягає у тому, щоб з'ясувати, наскільки досліджувані ряди є близькими до фрактальних, та визначити характер зв'язку між лінією тренда та фрактальною розмірністю D. Методами математичного аналізу доведено, що фрактальна розмірність задовольняє нерівність 1 < D < 2.

Значення фрактальної розмірності може бути індикатором подальшої поведінки часового ряду та можливості його прогнозування.

Якщо D є(і;1,5) часові ряди мають довготривалу кореляцію («довгу пам'ять»), виникає персистентний стан ринку. Водночас близьке до одиниці значення фрактальної розмірності вказує на швидке закінчення чинного тренду. Для опису динаміки таких рядів застосовуються моделі з довгою пам'яттю, зокрема ARFIMA.

Якщо D = 1,5 ± 0,05 поведінка системи стохастична, для опису динаміки використовують ARIMA-моделі.

Якщо D є(і,5;2) часовий ряд стає більш нелінійним. Якщо D ^ 2, виникає антиперсистентний стан, потрібно використовувати аналіз фундаментальних факторів стану економіки або взагалі відмовитися від прогнозування.

На практиці фрактальну розмірність замінюють показником Херста, які пов'язані співвідношенням [1, C. 40]

де D фрактальна розмірність; H показник Херста.

Класифікація методів оцінювання показника Херста представлена на рисунку 2.

Рис.2 Методи оцінювання показника Херста

Серед різних методів фрактального аналізу найбільший інтерес викликає R/S-аналіз (метод Херста), що може бути застосований для вивчення часових рядів як в економіці, так і на ринках капіталу. Показник Херста пов'язують із коефіцієнтом нормованого розмаху R/S , де R - розмах часового ряду, S - середньоквадратичне відхилення. Херст експериментально виявив, що для багатьох часових рядів виконується рівність

де H показник Херста;

S середньоквадратичне відхилення ряду спостережень;

R розмах накопиченого відхилення;

n число періодів спостереження;

a додатне число.

З формули (2) отримаємо

Показник Херста це число, що набуває значення з відрізку [0-4] характеризує відношення складової функції тренда до білого шуму. Показник Херста дозволяє визначити характер часового ряду персистентний (антиперсистентний) та характер динаміки відповідного процесу описується детермінованим нелінійним законом чи є випадковим. Значення показника Херста надає можливість класифікувати часові ряди та розрізняти випадкові (гаусові) та невипадкові ряди.

Існує три різні класифікації часових рядів залежно від значення показника Херста (фрактальної розмірності):

-0 < H < 0,5 (1,5 < D < 2) -часовий ряд є антиперсистентним або ергодичним рядом («рожевий шум»). Спостерігається схильність економічної системи до постійної зміни тенденції. Якщо система демонструє зростання у попередній період, то, скоріш за все, у наступному періоді почнеться спад. І навпаки, якщо був спад, то ймовірний близький підйом. Стійкість такої антиперсистентної поведінки залежить від того, наскільки показник Херста наближається до нуля. Чим ближче значення показника Херста до нуля, тим ряд більш мінливий або волатильний. Такий тип системи називають «поверненням до середнього».

- H = 0,5 (D = 1,5) - часовий ряд є випадковим («білий шум»), події випадкові та некорельовані, теперішній стан процесу не впливає на майбутній, не буде жодної кореляції між ретроспективними даними і прогнозними даними (випадкова поведінка економічного показника);

- 0,5 < H < 1 (1 < D < 1,5) - часовий ряд є персистентним або трендостійким («чорний шум»). Припускається, що події не є випадковими, спостерігається тренд, збереження тенденції до зростання чи спадання показника як у минулому, так і майбутньому.

Чим ближче значення показника Херста наближаються до 0,5, тим менш виражений тренд ряду. Чим ближче значення показника до 1, тим частіше за підйомом слідує підйом, а за спадом спад.

Слід зазначити, що відхилення значення показника Херста від 0,5 є певним проявом фрактальних властивостей процесів, які породжують часові ряди. Для оцінювання показника Херста використовують різні емпіричні методи. Найбільш поширеними є алгоритми запропоновані в роботах [19,20].

Нехай задано часовий ряд

y(t) = {y1(t), y2(t),..., yn (t)},

де n кількість рівнів. Для проведення R/S-аналізу необхідно:

1. Обчислити середнє значення Їy(t) та середньоквадратичне відхилення S.

2. Для кожного рівня ряду обчислити відхилення від середнього значення за формулою yi (t)= Їy(t).

3. З послідовності отриманих відхилень, за допомогою послідовного накопичення суми, утворити кумулятивний ряд за формулою

4. Для кумулятивного ряду (4) визначити розмах варіації

Визначити показник Херста за допомогою логарифмування емпіричної формули

5. Залежно від значення показника Херста зробити висновок щодо персистентності або антиперсистентності часового ряду.

У роботі [21] перевірено гіпотезу правильності застосування показника Херста, розрахованого за формулою (6), та показано, що застосування емпіричного відношення (6) для деяких вибірок електроспоживання призводить до великих похибок у визначенні показника Херста.

Цілком логічно, що різні емпіричні способи не можуть однозначно визначати показник Херста через різні припущення та попередні перетворення початкових даних.

Оскільки для визначення показника Херста використовують емпіричні формули, то алгоритми обчислення, результати оцінювання показника Херста можуть відрізнятись у різних дослідників.

Для проведення R/S-аналізу найбільш часто використовують інші методики обчислення показника Херста. Загальний алгоритм оцінювання показника Херста [14]:

1. Часовий ряд Y(t) розбивають на A суміжних періодів довжини п.

2. Визначають середнє значення нормованого розмаху

де R максимальний розмах і -го періоду; St вибіркове відхилення для і -го періоду.

3. Визначають ln (R/S)п та ln п.

4. Будують лінійну регресію ln (R/S) = f(ln п), у якій оцінка кутового коефіцієнту буде дорівнювати показнику Херста.

Аналіз різних підходів до обчислення показника Херста, показав що у випадку великої кількості статистичних даних, більш доцільно використовувати алгоритм, запропонований в роботі [22].

1. Знайти логарифмічні відношення наступного значення до поточного, тобто утворити новий ряд Z = {z1, z2,..., zn-1}, де

де mk+1 =mk + А, де А величина інтервалу, max mk <

2. Розбити ряд (8) на k суміжних інтервалів довжиною m1, т.

Максимальна величина інтервалуmkмає забезпечити поділ часового ряду

Z = {Zj, z2,..., zn-1} на два інтервали з однаковою кількістю рівнів. Е. Петерс [23] емпірично визначив, що mk ? 10, k ? 5 та запропонував обирати лише значення mk, які є дільниками числа n - 1, тобто кількість рівнів у інтервалі mk має бути кратна (n- 1j).

3. Для кожного інтервалу визначити середнє значення zk та стандартне відхилення Sk .

4. Для кожного інтервалу zk (mk) утворюють ряд накопичених відхилень

де j = 1,2,..., mk.

Отже, від кожного рівня zkj в інтервалі zk (mk) віднімається середнє значення ~zk, і це відхилення додається до суми попередніх відхилень, тобто будується послідовність сум, які є елементами кумулятивного ряду zk* для даного інтервалу zk (mk).

5. Визначити розмах елементів кумулятивного ряду zk* за формулою

6. Нормувати значення розмаху (10) діленням на стандартне відхилення, обчислити середнє всіх k нормованих розмахів

7. Для кожного k обчислюють логарифм довжини інтервалу mk, який є абсцисою точки ln(mk), і логарифм нормованого розмаху ln(R / S), який є ординатою точки для побудови графіка регресії ln(R / S) = f (ln(mk)) в подвійних логарифмічних координатах.

8. Розбити початковий ряд Z = {zl5 z2,..., zn-1} на декілька інтервалів з іншою кількістю даних m та повторити процедуру.

9. Параметри рівняння регресії

ln (R / S) = ln c + H ln n

знаходять методом найменших квадратів.

10. Для перевірки значущості рівняння в цілому використовують критерій Фішера, для перевірки значущості показника Херста H використовують критерій Стьюдента.

Вказаний алгоритм оцінювання показника Херста також є емпіричним, оскільки математично не обґрунтовано вибір кількості інтервалів, але досвід його використання підтверджує правильність запропонованого алгоритму.

Аналіз фундаментальних публікацій з питань фрактального аналізу, аналіз публікацій останніх років, підтверджує, що метод R/S-аналізу часового ряду (метод нормованого розмаху Херста) є одним з найбільш популярних методів дослідження фрактальних властивостей часових рядів.

Незважаючи на те, що він був запропонований Херстом у 50-ті роки ХХ століття, застосування R/S-аналізу для визначення фрактальних характеристик часового ряду залишається актуальним. Серед найбільш вагомих причин популярності R/S-аналізу нескладні алгоритми його застосування, достатня точність за умови великого об'єму вибірки. Недоліки похибки обчислень за умови малого об'єму вибірки, необхідність перетворення вхідного часового ряду за умови його нестаціонарності.

Висновки

Постійні зміни та кризи, які є характерними рисами сучасного нестабільного світу, висувають нові вимоги до моделювання динаміки соціально-економічних систем.

Одним з перспективних методів моделювання соціально-економічних процесів є фрактальний аналіз. Головна ідея фрактального аналізу застосування математичної концепції теорії фракталів до дослідження складних систем.

Фрактальний аналіз дозволяє досліджувати складні закономірності, які можуть бути приховані у хаотичних нелінійних системах.

Суть фрактального аналізу часових рядів полягає у тому, щоб з'ясувати, наскільки ряди є близькими до фрактальних, що дозволить робити певні прогнози щодо тенденцій розвитку відповідного соціальноекономічного процесу.

Індикатором поведінки часового ряду та можливості його прогнозування є значення фрактальної розмірності, яке може бути обчислене через значення показника Херста. Існують різні методи оцінювання показника Херста, найбільш популярним серед яких є R/S-аналіз.

До переваг R/S-аналізу можна віднести його універсальність для різних типів даних, простоту реалізації та розуміння, можливість інтерпретації результатів, ефективність, особливо у випадку аналізу часових рядів з довготривалими кореляціями.

До недоліків залежність результатів оцінювання показника Херста від довжини часового ряду та обраної методики оцінювання.

Незважаючи на переваги R/S-аналізу, необхідно враховувати, що жоден з методів оцінювання показника Херста не є універсальним, вибір алгоритму буде залежати від мети дослідження та особливостей даних.

Відмінність у емпіричних методах оцінювання показника Херста спонукає дослідників удосконалювати методики розрахунку показника на основі процедури R/S аналізу. Пропонуються інші підходи до обчислення показника Херста, зокрема через визначення фрактальної розмірності. Актуальність використання фрактального аналізу до часових рядів будь-якої природи відкриває широкі перспективи подальших наукових досліджень.

Література

1. Максишко Н.К. Моделювання економіки методами дискретної нелінійної динаміки: Монографія. Запоріжжя, 2009. 416 с.

2. Aslam F., Ferreira P., Ali H., Kauser, S. Herding behavior during the Covid-19 pandemic: a comparison between Asian and European stock markets based on intraday multifractality. Eurasian Economic Review. 2021. Vol. 12. P. 333-359. https://doi.org/10.1007/s40822-021-00191-4.

3. Aslam F., Mohti W., Ferreira P. Evidence of Intraday Multifractality in European Stock Markets during the recent Coronavirus (COVID-19) Outbreak. International Journal of Financial Studies. 2020. Vol. 8(2). P. 1-13.

4. Васильєва, О. В., Максишко Н.К.. Порівняльний аналіз динаміки інвестиційних інструментів у контексті гіпотези ефективного ринку. Наукові записки Національного університету Острозька академія. Серія: Економіка. 2019. № 12. С. 200 -206.

5. Chen C., Wang Y. Understanding the multifractality in portfolio excessreturns. Physica A. 2017. Vol. 466. P. 346-355.

6. Даценко Т.В. Система моделей оцінювання та прогнозування інноваційних фінансових інструментів (на прикладі криптовалют) : автореф. дис. ... канд. екон. наук : 08.00.11. Київ, 2019. 24 с.

7. Кравець Т. В., Гапоненко Т. О. Фрактальний аналіз валютного ринку за допомогою моніторингу показника Херста. БІЗНЕСІНФОРМ. 2015. № 11. С. 125-131.

8. Kuchansky A., Biloshchytskyi A., Andrashko Y., Biloshchytska S., Honcharenko T., Nikolenko V. Fractal time series analysis in non-stationary environment. International Scientific Practical Conference Problems of Infocommunications, Science and Technology (PIC S&T). October 2019. IEEE, 2019. P. 236-240.

9. Tebyaniyana H., Jahanshad A., Heidarpoor F. Analysis of Weak Performance Hypothesis, Multi-Fractality Feature and long-Term Memory of Stock Price in Tehran Stock Exchange. Int. J. Nonlinear Anal. App.. 2020. Vol. 11, No. 2. P. 161-174.

10. Wang, H.Y., Wang T.T. Multifractal analysis of the Chinese stock, bond and fund markets. Physica-Statistical mechanics and its applications. 2018. Vol. 152. P. 280 -292.

11. Yeliz Karaca, Baleanu Dumitru. A novel R/S fractal analysis and wavelet entropy characterization approach for robust forecasting based on self-similar time series modeling. Fractals. 2020. doi: 10.1142/s0218348x20400320.

12. Барташевська Ю.М., Яворський А.О.. Фрактальний аналіз фінансових ринків: теоретичні та практичні аспекти застосування. Європейський вектор економічного розвитку. Економічні науки. 2015. № 1(18). С. 7-14.

13. Нич Л. Я., Камінський Р. М. Визначення показника Герста за допомогою фрактальної розмірності, обчисленої клітинковим методом на прикладі коротких часових рядів. Вісник Національного університету Львівська політехніка. Серія: Інформаційні системи та мережі. 2015. № 814. С.100-111.

14. Гардер С.Є., Корніль Т.Л. Фрактальний аналіз та прогнозування тенденції фінансового часового ряду. Вісник національного технічного університету «ХПІ».Серія: математичне моделювання в техніці та технологіях. 2018. № 3 (1279). С. 37-40.

15. Човнюк, Ю. В., Броварець, О.О. Використання методів фрактального аналізу довгострокових часових рядів для дослідження параметрів електропровідності грунтів сільськогосподарського призначення. Вестник Херсонского национального технического университета, 2018. № 3-2 (66). С. 112-119.

16. Макаренко, Ю. П., Василькович, О.О. Аналіз фрактальності валютного ринку України. Економіка та держава, 2020 . № 1. С. 16-22.

17. Ястремська О. М., Демченко Г.В. Фрактальний аналіз рівня інноваційної активності промислових підприємств Харківської області та тенденції розвитку. Причорноморські економічні студії. 2016. № 11. С. 186-190.

18. Чайковська І.І. Фрактальний аналіз та тенденції розвитку інноваційних процесів на промислових підприємствах. Економічний часопис-ХХІ. 2014. № 7-8(2). С. 65-68.

19. Mandelbrot B.B., Hudson R. L The (mis)behavior of markets. А fractal view of rislc ruin and reward. New Yorh : Basic Books, 2004. 328 p.

20. Peters, E.E. Fractal Market Analysis: Applying Chaos Theory to Investment & Economics. John Wiley & Sons, Inc, 1994. 336 p.

21. Волошко А.В., Бедерак Я.С., Джеря Т.Е. Визначення показника Херста при фрактальному аналізі електричних навантажень. Енергетика: економіка, технології, екологія: науковий журнал. 2020. № 3. С. 22-28.

22. Peters, E.E. Chaos and Order in the Capital Markets: A New View of Cycles, Prices, and Market Volatility. Wiley; 2nd edition. 1996. 228 p.

References

1. Maksishko, N. K. (2009). Modelyuvannya ekonomiki metodami diskretnoyi nelinijnoyi dinamiki: monografiya [Modeling of the economy using methods of discrete nonlinear dynamics: Monograph]. Zaporizhzhya. 416 p [in Ukrainian].

2. Aslam, F., Ferreira, P., Ali, H., & Kauser, S. (2021). Herding behavior during the COVID-19 pandemic: A comparison between Asian and European stock markets based on intraday multifractality. Eurasian Economic Review, 1-27.

3. Aslam, F., Mohti, W., & Ferreira, P. (2020). Evidence of intraday multifractality in European stock markets during the recent coronavirus (COVID-19) outbreak. International Journal of Financial Studies, 8(2), 31.

4. Vasilyeva, O. V., & Maksishko, N. K. (2019). Porivnyalnij analiz dinamiki investicijnih instrumentiv u konteksti gipotezi efektivnogo rinku [Comparative analysis of the dynamics of investment instruments in the context of the efficient market hypothesis]. Naukovi zapiski Nacionalnogo universitetu Ostrozka akademiya. Seriya: Ekonomika [Scientific notes of the National University Ostroh Academy. Series: Economy], (12), 200-206 [in Ukrainian].

5. Chen, C., & Wang, Y. (2017). Understanding the multifractality in portfolio excess returns. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 466, 346-355.

6. Dacenko T.V. Sistema modelej ocinyuvannya ta prognozuvannya innovacijnih finansovih instrumentiv (na prikladi kriptovalyut) [A system of models for evaluating and forecasting innovative financial instruments (on the example of cryptocurrencies)]: avtoref. dis. ... kand. ekon. nauk [PhD tesis] : 08.00.11. Kiyiv, 2019. 24 p [in Ukrainian].

7. Kravec, T. V., & Gaponenko, T. O. (2015). Fraktalnij analiz valyutnogo rinku za dopomogoyu monitoringu pokaznika Hersta [Fractal analysis of the currency market by monitoring the Hurst indicator]. Biznes Inform [Business information], (11), 125-131 [in Ukrainian].

8. Kuchansky, A., Biloshchytskyi, A., Andrashko, Y., Biloshchytska, S., Honcharenko, T., & Nikolenko, V. (2019, October). Fractal time series analysis in non-stationary environment. In 2019 IEEE International Scientific-Practical Conference Problems of Infocommunications, Science and Technology (PIC S&T) (pp. 236-240). IEEE.

9. Tebyaniyana H., Jahanshad A., Heidarpoor F. Analysis of Weak Performance Hypothesis, Multi-Fractality Feature and long-Term Memory of Stock Price in Tehran Stock Exchange. Int. J. Nonlinear Anal. App.. 2020. Vol. 11, No. 2. P. 161-174.

10. Wang, H. Y., & Wang, T. T. (2018). Multifractal analysis of the Chinese stock, bond and fund markets. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 512, 280-292.

11. Karaca, Y., & Baleanu, D. (2020). A novel R/S fractal analysis and wavelet entropy characterization approach for robust forecasting based on self-similar time series modeling. Fractals, 28(08), 2040032.

12. Bartashevska, Yu. M., & Yavorskij, A. O. (2015). Fraktalnij analiz finansovih rinkiv: teoretichni ta praktichni aspekti zastosuvannya [Fractal analysis of financial markets: theoretical and practical aspects of application]. Yevropejskij vektor ekonomichnogo rozvitku. Ekonomichni nauki [European vector of economic development. Economic sciences], (1), 7-14 [in Ukrainian].

13. Nich, L. Ya., & Kaminskij, R. M. (2015). Viznachennya pokaznika Gersta za dopomogoyu fraktalnoyi rozmirnosti, obchislenoyi klitinkovim metodom na prikladi korotkih chasovih ryadiv [Determination of the Hurst index using the fractal dimension calculated by the cellular method on the example of short time series]. Visnik Nacionalnogo universitetu Lvivska politehnika. Seriya: Informacijni sistemi ta merezhi [Bulletin of the Lviv Polytechnic National University. Series: Information systems and networks], (814), 100-111 [in Ukrainian].

14. Garder S.Ye., Kornil T.L. (2018)/ Fraktalnij analiz ta prognozuvannya tendenciyi finansovogo chasovogo ryadu [Fractal analysis and trend forecasting of financial time series]. Visnik nacionalnogo tehnichnogo universitetu «HPI».Seriya: matematichne modelyuvannya v tehnici ta tehnologiyah [Bulletin of the National Technical University "KhPI". Series: mathematical modeling in engineering and technology], (3 (1279)), 37-40 [in Ukrainian].

15. Chovnyuk, Yu. V., & Brovarec, O. O. (2018). Vikoristannya metodiv fraktalnogo analizu dovgostrokovih chasovih ryadiv dlya doslidzhennya parametriv elektroprovidnosti gruntiv silskogospodarskogo priznachennya [The use of fractal analysis methods of long-term time series for the study of electrical conductivity parameters of agricultural soils]. Vestnik Hersonskogo nacionalnogo tehnicheskogo universiteta [Bulletin of Kherson National Technical University], (3-2 (66)), 112-119 [in Ukrainian].

16. Makarenko, Yu. P., & Vasilkovich, O. O. (2020). Analiz fraktalnosti valyutnogo rinku Ukrayini [Analysis of the fractality of the currency market of Ukraine]. Ekonomika ta derzhava [Economy and the State], (1), 16-22 [in Ukrainian].

17. Yastremska, O. M., & Demchenko, G. V. (2016). Fraktalnij analiz rivnya innovacijnoyi aktivnosti promislovih pidpriyemstv harkivskoyi oblasti ta tendenciyi rozvitku розвитку [Fractal analysis of the level of innovative activity of industrial enterprises of the Kharkiv region and development trends]. Prichornomorski ekonomichni studiyi [Black Sea Economic Studies], (11), 186-190 [in Ukrainian].

18. Chaikovska, I. (2014). Fraktalnij analiz ta tendenciyi rozvitku innovacijnih procesiv na promislovih pidpriyemstvah [Fractal analysis and trends in the development of innovative processes at industrial enterprises]. Ekonomichnij chasopis-XXI [Economic magazine-XXI], (07-08 (2)), 65-68.

19. Mandelbrot B.B., Hudson R. L (2004). The (mis)behavior of markets. А fractal view of rislc ruin and reward. New Yorh : Basic Books, 328 p.

20. Peters, E.E. (1994). Fractal Market Analysis: Applying Chaos Theory to Investment & Economics. John Wiley & Sons, Inc, 336 p.

21. Voloshko, A. V., Bederak, Ya. S., & Dzherya, T. E. (2020). Viznachennya pokaznika hersta pri fraktalnomu analizi elektrichnih navantazhen [Determination of the Hurst index in the fractal analysis of electric loads.]. Energetika: ekonomika, tehnologiyi, ekologiya: naukovij zhurnal [Energy: economy, technology, ecology: scientific journal], (3), 22-28.

22. Peters, E.E. (1996)/ Chaos and Order in the Capital Markets: A New View of Cycles, Prices, and Market Volatility. Wiley; 2nd edition. 228 p.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Основні поняття з теорії рядів, характеристика методів підсумовування збіжних рядів. Особливості лінійних перетворень рядів, суть методів Ейлера, Куммера, Пуассона і Чезаро. Поняття суми розбіжного ряду, що задовольняє умовам регулярності і лінійності.

    дипломная работа [2,1 M], добавлен 23.09.2012

  • Загальні поняття про числові ряди. Ознака збіжності Куммера. Дослідження ознаки збіжності Раабе та використання ознаки Даламбера. Ознака збіжності Бертрана. Дослідження ознаки збіжності Гаусса. Застосування ознаки Діріхле для знакозмінних рядів.

    курсовая работа [523,8 K], добавлен 25.03.2012

  • Дзета-функція Римана та її застосування в математичному аналізі. Оцінка поводження дзета-функції в околиці одиниці. Теорія рядів Фур'є. Абсолютна збіжність інтеграла. Функціональне рівняння дзета-функції. Властивості функції в речовинній області.

    курсовая работа [329,1 K], добавлен 28.12.2010

  • Історія виникнення математичних рядів. Монотонна послідовність, сума ряду і властивості гармонійного ряду. Поняття числа "e", властивості рядів Фур'є і Діріхле. Приклади розгортання і збіжності рядів Фур'є. Індивідуальна побудова математичних рядів.

    контрольная работа [502,5 K], добавлен 08.10.2014

  • Загальні поняття та основні властивості числових рядів. Додаткові ознаки збіжності числових рядів: ознака Куммера і Раабе, Бертрана та Гаусса, ознака Діріхле, їх порівняння та практичність застосування. Мала чутливість ознаки збіжності Даламбера.

    курсовая работа [509,5 K], добавлен 29.02.2012

  • Поняття збіжного числового ряду. Підсумовуючі функції, лінійність та регулярність підсумовування розбіжних рядів за Пуассоном-Абелем. Різниця між абсолютною та умовною збіжністю. Співвідношення між підсумовуванням за Чезаро і за Пуассоном-Абелем.

    курсовая работа [746,1 K], добавлен 15.06.2013

  • Теоретичні матеріали щодо визначення методів дослідження лінійної залежності та незалежності функцій, проведення дослідження лінійної залежності систем функцій однієї змінної за визначенням і з використанням визначників матриць Вронського та Грама.

    курсовая работа [235,2 K], добавлен 15.06.2013

  • Лінійні методи підсумовування рядів Фур'єю, приклади трикутних та прямокутних методів. Підсумовування методом Абеля. Наближення диференційованих функцій інтегралами Абеля-Пауссона. Оцінка верхніх наближень функцій на класах в рівномірній матриці.

    курсовая работа [403,1 K], добавлен 22.01.2013

  • Збіжність ряду та базиси в нормованому просторі. Ряд Фур’є за ортонормованою системою. Деякі властивості біортогональних систем. Біортогональні системи в бананових просторах. Властивості базисів та особливості застосування рядів в бананових просторах.

    курсовая работа [363,1 K], добавлен 28.11.2014

  • Методика розрахунку невизначених інтегралів. Обчислення площі фігури, обмеженої вказаними лініями, та формування відповідного рисунку. Загальний та частинний розв’язок диференціального рівняння першого порядку. Дослідження на збіжність числових рядів.

    контрольная работа [490,5 K], добавлен 19.01.2015

  • Передумови виникнення та основні етапи розвитку теорії ймовірностей і математичної статистики. Сутність, розробка та цінність роботи Стьюдента. Основні принципи, що лежать в основі клінічних досліджень. Застосування статистичних методів в даній сфері.

    контрольная работа [16,7 K], добавлен 27.11.2010

  • Історія розвитку математичної науки. Математичне моделювання і дослідження процесів і явищ за допомогою функцій, рівнянь та інших математичних об`єктів. Функції, їх основні властивості та графіки, множина раціональних чисел. Розв`язання типових задач.

    книга [721,3 K], добавлен 01.03.2011

  • Розв'язання системи лінійних рівнянь методом повного виключення змінних (метод Гаусса) з використанням розрахункових таблиць. Будування математичної моделі задачі лінійного програмування. Умови для застосування симплекс-методу. Розв'язка спряженої задачі.

    практическая работа [42,3 K], добавлен 09.11.2009

  • Дослідження тенденцій захворюваності на туберкульоз (усі форми), рак, СНІД, гепатити А та Б в двадцяти чотирьох областях України, Криму, містах Києві та Севастополі в період з 1990 по 2005 роки шляхом застосування методів лінійного регресійного аналізу.

    дипломная работа [5,7 M], добавлен 12.08.2010

  • Ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей. Відомості з історії математики про рішення рівнянь. Розгляд та застосування на практиці методів рішення рівнянь і нерівностей, заснованих на використанні властивостей функції.

    дипломная работа [1,4 M], добавлен 26.01.2011

  • Фінансова математика на кредитно-депозитному банківському та страховому ринку. Аналіз практичного застосування методів фінансової математики на фінансових ринках України. Умови вкладів з щомісячним нарахуванням відсотків. Рівні показників інфляції.

    дипломная работа [288,9 K], добавлен 16.06.2013

  • Характеристика, поняття, сутність, положення і особливості методів математичної статистики (дисперсійний, кореляційний і регресійний аналіз) в дослідженнях для обробки експериментальних даних. Розрахунки для обчислення дисперсії, кореляції і регресії.

    реферат [140,6 K], добавлен 25.12.2010

  • Визначення коефіцієнтів по методу Ейлера-Фур'є та поняття ортогональних систем функцій. Інтеграл Дирихле та принцип локалізації. Випадки неперіодичної, парної і непарної функції та довільного проміжку. Приклади розкладання рівняння в тригонометричний ряд.

    курсовая работа [148,6 K], добавлен 17.01.2011

  • Аналіз рівняння еліпсоїда, властивостей кривих і поверхонь другого порядку. Канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного переносу й повороту координатних осей. Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами.

    курсовая работа [137,1 K], добавлен 27.12.2010

  • Дослідження диференціального рівняння непарного порядку і деяких систем з непарною кількістю рівнянь на нескінченному проміжку. Побудова диференціальної моделі, що описується диференціальним рівнянням, та дослідження її на скінченому проміжку часу.

    дипломная работа [1,4 M], добавлен 24.12.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.