Нетранзитивные технологии изменения вероятности в игре Пенни и в игре Фила

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ООО «Програм»

ООО «Физическая исследовательская лаборатория экспериментальной комбинаторики и информатики»

ГБОУ «Школа 1468»

Нетранзитивные технологии изменения вероятности в игре Пенни и в игре Фила

Филатов О.В.,

консультант по КДП - комбинаторике

Филатов Л.О.,

учащийся «Естественнонаучной вертикали»

г. Москва

Аннотация

Парадоксальная игра Пенни активно исследуется за рубежом. Рассматриваются её новые варианты и применяются к ней новые методы изучения, например, цепи Маркова. В статье рассмотрено дальнейшее развитие исследований не транзитивных процессов. В частности, в игре Фила рассматривается технология изменения вероятности угадывания серий, что является ещё более парадоксальным явлением, чем изменения вероятности обнаружения этих же серий в игре Пенни.

Ключевые слова: игра Пенни, игра Фила, цепи Маркова, аксиоматика Колмогорова, КДП.

Abstract

Filatov L.O.

School 1468 (Moscow, Russia)

Non-transitive technologies for changing probability in Penny's game and in Phil's game

The paradoxical game of Penny is being actively studied abroad. Its new variants are considered and new methods of study are applied to it, for example, Markov chains. The article considers the further development of research on non-transitive processes. In particular, Phil's game considers the technology of changing the probability of guessing series, which is even more paradoxical than changing the probability offinding the same series in Penny's game.

Keywords: Penny game, Phil game, Markov chains, Kolmogorov's axiomatics, KDP.

Основная часть

Нетранзитивный парадокс Пенни (также известен как парадоксальная игра Пенни, игра Пенни, игра PenneyAnte) [1 - 3] демонстрирует не равную (разную) вероятность обнаружения конкурирующих комбинаций. Наиболее известен вариант игры Пенни для комбинаций из трёх выпадений монеты, k=3, например: «011» и «111», где «0» и «1» - это обозначения орла и решки. В игре Пенни два игрока по очереди выбирают по одной двоичной строке (комбинации) длины kи несколько раз подбрасывают монету. Если на каком-то этапе последние kрезультатов совпадают с одной из своих строк, игрок с этой строкой побеждает.

Игра Пенни с комбинациями из трёх событий, k=3, [1 - 3] получила известность из-за результата, нарушающего догму о равной вероятности обнаружения серий. Кроме того, что серии встречаются с разной частотой, так ещё, оказывается, решающее значение имеет то, кто первый назвал свою комбинацию (серию, строку, поисковый шаблон), потому что выигрыш игрока, назвавшего первым свою комбинацию, зависит от воли второго игрока, ещё не назвавшего свою комбинацию. Если второй игрок желает выиграть, и он знает правила составления выигрышной комбинации, то второй игрок всегда выигрывает в серии из нескольких партий (сетов, геймов и т.п.). Игра Пенни является реальностью, которая перекликается с сюжетом полушутливого произведения Пушкина «Пиковая дама», в котором Пушкин рассказал о подборке, комбинации, трех побеждающих карт.

Сама по себе игра Пенни [1 - 3] совершенно не объясняет почему существует парадокс победной комбинации для второго игрока, и не раскрывает механизм этого парадокса. Объяснение этого парадокса даёт «Комбинаторика длинных последовательностей» (КДП), которая открыла и описала простыми формулами структуру любой случайной последовательности, и КДП объяснила на своих формулах эффект экранирования конкурирующими шаблонами друг друга.

При разработке КДП был найден ещё более интересный эффект, чем игра Пенни, который нарушает постулат независимости случайных событий. Для его демонстрации воспользуемся более короткими цепочками из двух событий (например: «01» и «11»). Назовём эту игру - игрой Фила, по аналогии с названием её прототипа - игра Пенни. Принципиальная разница игры Фила от игры Пенни заключается в том, что в игре Фила комбинации игроками угадываются (предсказываются), а в игре Пенни игроки просто визуально фиксируют выпадающие комбинации. Таким образом, в игре Фила происходит сбой основополагающей для теории вероятности парадигмы, о независимости случайных событий, так как изменение вероятности выпадений серий происходит в результате угадываний, а действующая парадигма утверждает, что вероятность угадывания изменить нельзя, так как случайные события не связаны друг с другом (не зависят друг от друга).

В игре Пенни [1 - 3] разная вероятность побед игроков возникает в результате взаимодействия их серий друг с другом, внутри одного потока случайных событий (можно сказать, что наблюдается интерференция серий и «побеждающая», более мощная серия содержит всегда в своём конце начало слабой серии). При разработке КДП был обнаружен эффект нахождения разной численности серий в случайных потоках, причём без всякой конкуренции серий друг с другом, таблица 1. Зависимость частоты встреч серии в случайном потоке, от вида серии (наличие инверсных элементарных событий в серии), так же является проявлением эффекта самоэкранирования серии, для серий игры Пенни, k= 3, эта зависимость раскрыта в работе [5].

Поскольку, с уменьшением длины серии k, возрастает частота событий экранирования (процесс становиться более очевидным и быстрым), таблица 1, будем дальнейший материал развивать на серии минимально возможной длины k=2 (игра Пенни частично возможна для серий длины k=2).

Как было упомянуто выше, таблица 1, при поиске только одной, определённой, серии в отдельном случайном потоке, число её нахождений зависит от её вида (в нашем случае четыре вида: «00», «01», «10», «11»), В работе [6] подробно рассмотрен вывод формул для игры Пенни, для серий k=2. Опишем это в форме игры двух игроков. То есть, пусть один игрок А, обычно его именуют

Алиса, захотел найти самую удачную серию. Для этого Алиса запустила генератор случайных бит на генерацию 20000000 случайных событий, и стала считать сколько комбинаций «00» выпадет в этом потоке (Алиса насчитала 3331195 серии «00»), таблица 1. Потом она проделала то же для комбинации «01», потом для «10», потом для «11». Результаты она записала в таблицу 1.

Таблица 1. «Найдено одиночных серий»

В таблице 1 даны результаты поочерёдного поиска серий: «00», «01», «10», «11» в файле из 20000000 случайных элементарных событий. Поиск каждого из четырёх шаблонов начинался с начала этого файла и завершался в конце.

Математическое ожидание численности серий без инверсии состояний: «00», «11», рассчитывается по формуле: N/6 (выведена в КДП).

Математическое ожидание численности серий с инверсией состояний: «01», «10», рассчитывается по формуле: N/4 (выведена в КДП).

Из этого исследования Алиса делает вывод, что ей надо использовать серии с внутренней инверсией: «01», «10», так как они выпадают чаще, чем серии без инверсии элементарных событий: «00», «11».

Нарушающая основы ТВ игра Фила

На основании обнаруженного Алисой КДП-эффекта - разные серии (поисковые шаблоны) обладают разными частотами встреч в случайной последовательности, Алиса придумала игру, в которой хочет выиграть у второго игрока - Боба. Алиса предлагает Бобу подбрасывать монету. Причём, Алиса подбрасывает монету для себя и записывает последовательность своих выпадений монеты. А Боб подбрасывает монету для себя и записывает последовательность своих выпадений монеты. Алиса знает, на основе построенной таблицы 1, что она выберет серию с большой частотой выпадения N/4, например - «01» и надеется, что Боб выберет серию с низкой частотой выпадения N/6, например - «11», где N - это число выпадений монеты в серии.

Боб соглашается играть, только вводит ещё новые правила в игру. А именно, каждый из них объявит ещё по одной серии - это предсказательная серия. Когда в потоке Алисы или Боба выпадает заявленная серия - это ещё не победное очко. При обнаружении в своём потоке заявленной серии, игрок должен угадать какая сейчас серия (назовём эту серию предсказательной) находится в потоке соперника. Если в потоке соперника находится предсказательная серия (игрок её угадывает), то игрок получает очко. То есть для получения игроком очка (балла), должны быть выполнены вместе два условия: в потоке игрока находится поисковая серия, а в потоке соперника находится (угадана) предсказательная серия.

Алиса помнила, что на уроках математики в школе, и в университете преподавали, что влиять на вероятность угадывания независимых случайных событий нельзя, и Алиса согласилась на условия Боба, поскольку по полученным знаниям условия Боба не могут облегчить ему участь проигравшего. Сразу скажем, что хоть Алиса и правильно использовала полученные знания, но Боб провёл более глубокие КДП-исследования, и согласившись на условия Боба, Алиса оказалась в его полной власти, точно так же как первый объявивший свою серию в игре Пенни оказывается в полной зависимости от соперника, который вторым объявляет свою серию.

Рассмотрим в таблице 2 поясняющей пример на правила игры Фила, нарушающей принцип независимости случайных событий (демонстрация нарушений принципа независимости случайных событий даны последующем материале, и в таблицах: 3; 4; 5).

Таблица 2. «Пример правил игры Фила»

«01» - поисковая серия Алисы;

«00» - предсказательная серия Алисы в потоке Боба.

«10» - поисковая серия Боба;

«00» - предсказательная серия Боба в потоке Алисы.

t - символ попытки угадать Бобом бита в потоке Алисы; t - символ попытки угадать Алисой бита в потоке Боба;

ІІ - символ одновременной попытки угадать Алисой и Бобом бит друг у друга (каждый из них не знает, что соперник будет делать предсказание).

Таблица 2 демонстрирует правила игры Фила. Первоначальный счёт Алисы и Боба был нулевым. В игре Алиса и Боб подбрасывают одновременно свои монеты и записывают результаты их выпадения в виде «0», «1». На третьем подбрасывании (момент времени t3), Боб объявляет, что у него сложилась его поисковая серия «10» и он делает предсказание, что у Алисы два последних выпавших состояния монеты - «00». Боб угадал, получил бал и счёт стал: А0; Б1 (один - ноль в пользу Боба), тайм 1 завершён. После этого Алиса и Боб начинают новый тайм 2 (сет т. п.) и начинают заново учитывать выпадения своих монет.

В тайме 2 у Алисы сразу выпала её поисковая серия «01» (момент времени t5) и она об этом объявляет Бобу, и делает предсказание, что у Боба комбинация «00», но она ошиблась (не угадала). Счёт остаётся прежним: А0; Б1, но после этого предсказания тайм 2 завершён. После этого Алиса и Боб начинают новый тайм 3 (сет т. п.) и начинают заново учитывать выпадения своих монет.

В третьем тайме, в момент времени t9 (девятое выпадение монет), у Алисы выпадает её поисковая серия «01», и она об этом объявляет Бобу, и делает предсказание, что у Боба комбинация «00», она угадала и получает бал (очко). Счёт выравнивается 1: 1 (А1; Б1). После этого Алиса и Боб начинают новый тайм 4 (сет т. п.) и начинают заново учитывать выпадения своих монет.

В четвёртом тайме, в момент времени t14 (14-ое выпадение монет), у Алисы и Боба одновременно выпадают их поисковые серия «01» и «10». Они об этом объявляют друг другу и делают предсказания (каждый из них не знает, что соперник будет делать предсказание). Алиса предсказывает, что у Боба комбинация «00», она ошибается. Боб предсказывает, что у Алисы два последних выпадения монеты: «00» - он тоже ошибается. Счёт сохраняется 1:1 (А1; Б1). После этого Алиса и Боб начинают новый тайм (сет т. п.) и начинают заново учитывать выпадения своих монет.

Особенность игры Фила с точки зрения теории вероятности.

Как уже говорилось выше, в игре Фила, как и в игре Пенни, второй игрок, узнав ставки первого игрока, становится хозяином ситуации. Для второго игрока открываются три возможности: 1) гарантированно выиграть, 2) гарантированно проиграть, 3) сделать результат игры случайным. Рассмотрим на примерах все три возможности, таблицы: 3; 4; 5.

- поисковая серия Алисы (серия прокрутки) - «01»;

- предсказательный шаблон Алисы для Боба - «00».

Теперь перед Бобом открылись три возможности, рассмотрим каждую из них в отдельности.

Боб решил гарантированно выиграть у Алисы.

Если Боб решит гарантированно выиграть у Алисы, то ему нужно озвучить следующие условия, таблица 3:

- шаблон прокрутки - «10» (он «съест» часть комбинаций «00» в потоке Боба, на которые сделала ставку Алиса, которые хочет угадать Алиса);

- Боб должен предсказывать, искать в потоке Алисы шаблон - «00» (так как Алиса совершенно не затрагивает комбинацию «00» своим шаблоном прокрутки «01», смотри [6, 7])

Таблица 3 (фрагмент таблицы 6). «Боб гарантированно побеждает».

«01» - поисковая серия Алисы в своём потоке;

«00» - предсказательная серия Алисы в потоке Боба.

Боб решил поддаться (гарантированно проиграть) Алисе.

Если Боб решил поддаться (проиграть) Алисе, то он должен выбрать для своего потока такой шаблон прокрутки, который не затрагивает предсказываемые Алисой последовательности «00». Шаблон прокрутки Боба - «11», не будет затрагивать предсказываемые Алисой последовательности «00». В то же время, Боб должен заявить такую угадываемую последовательность, которой в потоке Алисы будет как можно меньше (правда дико звучит с точки зрения официальной версии ТВ?). Поскольку Алиса заявила своим прокруточным шаблоном - «01», а этот шаблон сильно сокращает численность последовательностей «11» в потоке Алисы, поэтому Боб, для своего гарантированного проигрыша, должен объявить, что угадывает в потоке Алисы состояния «11», таблица 4.

«11» - поисковая серия Боба в своём потоке;

«11» - предсказательная серия Боба в потоке Алисы.

Таблица 4. «Боб выбирал условия своего гарантированного проигрыша»

«01» - поисковая серия Алисы в своём потоке;

«00» - предсказательная серия Алисы в потоке Боба.

Как видно из таблицы 4, Боб обеспечил Алисе частоту предсказаний больше, чем себе, и вероятность угадывания у Алисы состояния «00» в потоке Боба: рА = 0.293, больше, чем у Боба: рБ = 0,196 - вероятность угадывания серии «11» в потоке Алисы, причём Боб будет делать меньше предсказаний, чем Алиса. В компьютерном эксперименте, таблица 4, Алиса угадала 1252018 раза, а Боб 572718 раза, то есть Алиса угадывала в 2,186 раза чаще Боба. Алиса угадала в 1252018 предсказаниях о состоянии последовательности Боба. Боб угадал в 572718 предсказаниях о состоянии последовательности Алисы.

Особенно нужно подчеркнуть, что и Алиса, и Боб угадывают серии равной длины: «00» и «11», и умудряются делать это с разной вероятностью. Что является прямым нарушением базового постулата, действующей теории вероятности, о равной вероятности независимых случайных событий.

Боб решил, что случай определит победителя.

В таблице 5, Боб решил положиться на волю случая и самое простое решение по выбору шаблонов для него - это повторить заявленные Алисой шаблоны. Алиса объявила: шаблон прокрутки - «01»; предсказательный шаблон - «00». Боб то же объявил эти же шаблоны для игры: шаблон прокрутки - «01»; предсказательный шаблон - «00».

Таблица 5. «Боб отдаёт результат на волю случая»

«01» - поисковая серия Алисы в своём потоке;

«00» - предсказательная серия Алисы в потоке Боба.

«01» - поисковая серия Боба в своём потоке;

«00» - предсказательная серия Боба в потоке Алисы.

В проведённом компьютерном эксперименте Боб честно проиграл по воле случая. Алиса выиграла, угадав на 1252018 - 1248528 = 3490 раза больше, чем Боб. Алисе повезло и с потоком, в её потоке оказалось на 4000162 - 3997397 = 2765 состояния для угадывания больше, чем у Боба.

Приведённые выше таблицы 3 - 5, являются небольшими фрагментами таблицы 6. Таблица 6 содержит гораздо больше информации о состояниях выигрыша / проигрыша при разных сочетаниях шаблонов. И таблицы 3 - 5 демонстрируют правила работы с таблицей 6.

В свою очередь таблица 6 является частью более полной таблицы из работы [7], в которой кроме отношений серий друг к другу показана информация по отдельным битам, так как вероятности выпадений отдельных бит то же зависят от сочетаний конкурирующих шаблонов. Но, так как работу [7] никто не понял, то я решил максимально упростить материал и не перегружать его описанием по разным вероятностям угадывания отдельных нулей «0» (решек) и единиц «1» (орлов).

Таблица 6. Статистика видимых комбинаций в F1, F2, сквозь окна О1, О2.

Градация вероятностей по времени.

В игре Пенни игроки не делают предсказаний о выпадении каждой конкретной комбинации при подбрасывании монеты, игроки только фиксируют выпадение нужных комбинаций. Предсказание о победе серии делается вообще, то есть на один тайм или на целую игру, состоящую из нескольких таймов. Такое предсказание будем называть предсказанием «вообще» или предсказанием «первого рода». Дискретом, элементарным событием, для предсказаний первого рода является тайм или игра. Важно отметить, что поскольку в аксиоматике Колмогорова элементарным событием является серия неопределённой длины и содержания (физическим её проявлением является одиночный пробег до смены направления, итерация, броуновской частицы), то его аксиоматика описывает предсказания «вообще», то есть вероятность первого рода. Пример элементарных событий по Колмогорову: «101010», «11000100…», «11», «000000…».

В игре Фила предсказание относится к состоянию - сейчас есть, но пока не известно. Такое предсказание будем называть предсказанием «сейчас есть» или предсказанием второго рода. КДП может описывать вероятность первого рода (моношаблоны, игра Пени) и второго рода (игра Фила).

Предсказанием на то, что сейчас свершится некоторое событие, которое должно сейчас реализоваться, будем называть «конкретным» предсказанием, или предсказанием третьего рода. К таким предсказаниям относится утверждение, что сейчас, при вот этом броске монеты, выпадет орёл.

Парадоксальная игра Пенни активно исследуется за рубежными учёными, которые применяют новые идеи, подходы, методы. В частности, для построения математической модели игры Пенни пытаются применять цепи Маркова [4]. По-моему, применение цепей Маркова не позволяет наглядно раскрыть процесс экранирования конкурирующих шаблонов в потоке случайных событий. Более наглядный, естественный способ получения формул для расчёта результата игр Пенни и Фила обеспечивает математический аппарат «Комбинаторики длинных последовательностей» (КДП). КДП показала, что любые случайные последовательности однозначно разделяются на базовые цепочки - составные события. Численности составных событий рассчитывается по простым формулам. Оперируя численностями составных событий, можно рассчитать число побед / поражений в играх Пенни и Фила, однозначно решить «несчастную и вечную» проблему блуждания точки на оси.

Комбинаторика длинных последовательностей (КДП) получила прорывные результаты в генетике [8; 9] (рассчитана степень сродства ДНК к случайной последовательности), в естественных науках и информатике [10] (показав, что число Эйлера и число Пи - это информационная энтропия КДП - событий) и, собственно, в теории вероятности [11; 12; 13; 14; 15] (обогатив ТВ множеством новых законов и открытий, среди которых демонстрация несостоятельности базового постулата о неизменности вероятности частот в стохастических потоках - игра Пенни и игра Фила). То есть, КДП, создав и объяснив игру Фила, научилась управлять, изменять, вероятности угадывания серий случайных событий.

Выводы

1) В игре Пенни игроки не делают предсказаний о выпадении каждой конкретной комбинации, игроки только фиксируют выпадение нужных комбинаций. Если предсказание о победе серии даётся, то оно даётся вообще, то есть на один тайм или на целую игру, состоящую из нескольких таймов. Такое предсказание будем называть предсказанием «вообще» или предсказанием «первого рода».

2) Аксиоматика Колмогорова создана под вероятность первого рода, так как её элементарным событием является последовательность бит не установленной длины и содержания, физическими аналогами которого являются перемещение броуновских частиц.

3) В игре Фила предсказание относится к состоянию - сейчас есть, но пока не известно. Такое предсказание будем называть предсказанием «сейчас есть» или предсказанием второго рода.

4) Предсказанием на то, что сейчас свершится некоторое событие, которое должно сейчас реализоваться, будем называть «конкретным» предсказанием, или предсказанием третьего рода.

5) Комбинаторика длинных последовательностей (КДП) способна количественно рассчитывать вероятности первого и второго рода.

6) Для изменения вероятности обнаружения поисковых серий (поисковых шаблонов, моношаблонов), не нужно в игре Пенни задействовать две конкурирующие (соревнующиеся) друг с другом поисковые серии, взятые по отдельности серии во многих случаях показывают разные вероятности своего обнаружения в потоке бинарных случайных событий.

7) В статье предложена новая парадоксальная игра - «Игра Фила» (названая по аналогии с парадоксальной игрой Пенни), основным парадоксальным результатом игры Фила является управляемая вероятность угадывания выпавших серий из случайных независимых событий, что нарушает основополагающий постулат ТВ о независимости случайных событий.

Список литературы

парадоксальный игра филл пенни

1. Walter Penney, 95 Penney-Ante, Journal of Recreational Mathematics, 2 (1969), 241.

2. ГарднерМартин. Путешествиевовремени = Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. - М.: «Мир», 1990. - С. 75. - 341 с. - ISBN 503-001166-8.

3. Janos A. Csirik. Optimal Strategy for the First Player in the Penney Ante Game // Combinatorics, Probability and Computing. - Cambridge University Press, 1992. - Вып. 1. - С. 311-321. - doi:10.1017/S0963548300000365.

4. James Brofos, «A Markov Chain Analysis of a Pattern Matching Coin Game», Dartmouth College, Hanover NH 03755, USA, Website: http://www.cs. dartmouth.edu/ ~james/

5. Филатов О.В., статья «Расчёт численностей поисковых шаблонов в парадоксе Пенни», «Проблемы современной науки и образования», №11 (41), 2015 г., с. 40-50.

6. Филатов О.В., статья «Количественный расчёт результатов парадоксальной игры Пенни (управляемая вероятность выпадений серий монеты) на ставках минимальной длины», «Проблемы современной науки и образования», №17 (99), 2017 г., с. 6-19.

7. Филатов О.В., статья «Техника управления вероятностью обнаружения элементарных событий - «0», «1» (аналоги сторон монеты) через псевдозапутывание случайных последовательностей по правилам парадоксальной игры Пенни», «Проблемы современной науки и образования», №10 (92), 2017 г., с. 10-18.

8. Филатов О.В., статья «Применение энтропии Шеннона и КДП комбинаторики в ДНК анализе для выявления биологических классов, энтропийная шкала классов», «Вестник науки и образования», №7 (127), 2022 г., с. 18-29, DOI: 10.24411/2312-8089-2022-10703.

9. Филатов О.В., статья «ДНК комбинаторика, применение мтДНК матриц для расчёта родственных связей. Теорема о равенстве нулю корректирующей мтДНК матрицы», «Проблемы современной науки и образования», №8 (153), 2020 г., с. 5-11.

10. Филатов О.В., статья «О двойственности характеризующих бинарную последовательность величин: eи п (Е и Пи).», «Вестник науки», №5 (62), 2023 г., с. 345-359.

11. Филатов О.В., Филатов И.О., статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №5 (95), 2014 г., с. 226-233.

12. Филатов О.В., Филатов И.О., статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение)», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №6 (96), 2014., с. 236-245.

13. Филатов О.В., статья «Применение геометрической вероятности для изменения вероятности нахождения серий случайных выпадений монеты», «Проблемы современной науки и образования», №22 (64), 2016 г., с. 5-14, DOI: 10.20861/2304-2338-2016-64-001.

14. Филатов О.В., Филатов И.О. «Закономерность в выпадении монет - закон потоковой последовательности». Германия, Издательский Дом: LAPLAMBERT Academic Publishing, 2015, с. 268, ISBN 978-3-659-71144-2.

15. Филатов О.В., Филатов И.О., Макеева Л.Л. и др. «Потоковая теория: из сайта в книгу». Москва, «Век информации», 2014, с. 200, ISBN978-5-906511-065.

Размещено на Allbest.ru