Сила аналогий. Творчество Андрея Николаевича Колмогорова

Эксперт в области компьютерной и эволюционной биологии Евгений Кунин пытался определить сложность геномов разных организмов с помощью колмогоровской теории сложности, но потерпел неудачу. В книге «Логика случая» [47] он объясняет причину этой неудачи: «Информация эквивалентна колмогоровской сложности только для строго случайных последовательностей с предзаданными частотами символов. Геномные последовательности, как правило, не таковы - они заключают в себе зависимости между нуклеотидами в разных положениях. Несмотря на интуитивную понятность концепции колмогоровской сложности, не существует общей формулы для ее вычисления» [47].

8. Аналогия восьмая: формулировка гипотезы о том, что сложность перемножения N-значных чисел пропорциональна N²

В 1956 г. А.Н.Колмогоров высказал гипотезу о том, что сложность перемножения N-значных чисел пропорциональна N². Другими словами, если каждый из множителей состоит из N цифр, то для их умножения нужно выполнить N2 операций. Другая формулировка гипотезы Андрея Николаевича: нижняя оценка сложности любого метода умножения есть величина порядка N2. В 1960 г. он организовал в МГУ семинар по кибернетике, на первом заседании которого рассказал о своем предположении и поставил задачу доказать его.

Как А.Н.Колмогоров пришел к этой гипотезе? Зная об эффективности обычного умножения чисел «в столбик», применяемого с древнейших времен, он стал рассуждать следующим образом. Поскольку умножение чисел «в столбик» обладает неоспоримыми преимуществами (является достаточно быстрым способом умножения) и используется на протяжении тысяч лет, то вряд ли возможен более быстрый способ умножения. Если гипотетический более быстрый метод умножения не открыт за тысячу лет, то, значит, он не будет открыт и в будущем. Это рассуждение по аналогии и привело Андрея Николаевича к гипотезе, согласно которой обычное умножение в столбик является асимптотически наибыстрейшим способом умножения.

Однако ученик А.Н.Колмогорова Анатолий Алексеевич Карацуба опроверг это предположение, открыв в том же 1960 г. новый и более быстрый метод умножения чисел. Этот результат оказался настолько неожиданным, что на втором заседании упомянутого семинара, посвященного проблеме сложности вычислений, А.Н.Колмогоров объявил о закрытии семинара. Подробное изложение того, как А.А.Карацуба показал ошибочность гипотезы Андрея Николаевича, можно найти в статье [48].

Мы можем сожалеть о том, что в данном случае аналогия, которую использовал выдающийся математик, оказалась неверной (не нашла эмпирического подтверждения). Но сущность творчества как раз в том и заключается, чтобы генерировать идеи, постоянно проверять их на предмет соответствия эмпирическим данным и отбрасывать те из них, которые не выдерживают такой проверки. Ошибочные гипотезы можно рассматривать как пробы (броски в неизвестность), с помощью которых мы постигаем мир.

В.И.Арнольд в книге «Что такое математика» [49] отмечает: «Ошибки играют в математике не меньшую роль, чем доказательства: анализируя их причины и пути их преодоления, можно быстрее идти вперед, чем тупо пытаясь продвинуться в малоизученном направлении» [49, с.46].

Страх совершить ошибку является одним из препятствий для продуктивного творчества. Если бы А.Н.Колмогоров, заметив аналогию между понятиями метрической теории функций (теории меры) и понятиями теории вероятностей, не стал бы развивать ее, боясь ошибиться, он никогда бы не смог аксиоматизировать науку о случайных явлениях.

Заключение

В 1995 г. В.И.Арнольд был избран на должность вице-президента Международного математического союза и разослал крупным математикам письмо с предложением охарактеризовать важные проблемы, которые необходимо будет решать уже в следующем - двадцать первом - столетии.

В ответ на это письмо известный американский математик, лауреат премии Филдса за 1966 год, Стивен Смейл (Stephen Smale) подготовил свой список математических проблем, число которых составило 18.

Последняя - восемнадцатая проблема - звучит так: каковы пределы интеллекта - как искусственного, так и человека?

С.Смейл исходил из того, что один из пределов интеллекта (один из факторов, препятствующих полной формализации творческого мышления) описан в книге Р.Пенроуза «Новый ум короля» [50].

Р.Пенроуз показал, что указанным фактором, затрудняющим формализацию интеллекта, является теорема Геделя о неполноте.

Эта теорема, сформулированная австрийским логиком Куртом Геделем в 1931 г., продемонстрировала, что замкнутые алгоритмы (формальные системы), изолированные от опыта и эксперимента, в том числе машинные программы, основанные на этих замкнутых алгоритмах, не способны полноценно воспроизводить творческое мышление.

С.Смейл предполагает, что, помимо теоремы Геделя о неполноте, могут быть другие факторы, затрудняющие формализацию интеллекта, и фундаментальная задача состоит в том, чтобы открыть (установить) их.

Проведенный нами анализ математического творчества А.Н.Колмогорова показывает, что искомыми факторами (пределами в интерпретации С.Смейла) являются индукция и аналогия.

Эти логические процедуры, помогающие делать научные открытия, при всей своей эффективности, не являются строгими (детерминированными) алгоритмами.

Их нельзя формализовать, т.е. наделить качествами, благодаря которым они перестали бы, наряду с правильными результатами, давать ошибочные. Они применяются в условиях неполноты информации, но на переднем крае науки (на границе между известным и неизвестным) невозможно обладать всей полнотой сведений, избавляющей от риска.

Как заметил Д.Пойа в книге [51], правдоподобные рассуждения (индукция и аналогия) уступают строгим дедуктивным рассуждениям по своей надежности и неоспоримости, но именно с первыми связано всё новое, что мы узнаем о мире [51, с.14-15].

К числу других факторов, препятствующих полной формализации творческой деятельности, относятся вездесущий метод проб и ошибок (метод последовательного перебора) и фактор случая в научном открытии.

Любой исследователь, работающий в неизведанной области, прекрасно осведомлен о том, что в данной области можно продвигаться вперед лишь методом проб и ошибок, время от времени наталкиваясь на случайные открытия.

Предсказать эти открытия нельзя, так как нельзя заранее знать, какие сюрпризы готова преподнести природа, которую мы исследуем.

Открытие рентгеновских лучей (В.Рентген), радиоактивности (А.Беккерель), микроволнового космического реликтового излучения (А.Пензиас, Р.Вильсон) и т.д. - примеры подобных открытий.

Таким образом, индукция и аналогия, метод проб и ошибок, фактор случая в научном открытии и теорема Геделя о неполноте - реальные аспекты процесса научного познания, затрудняющие полную формализацию этого процесса и позволяющие предложить удовлетворительное решение 18-ой проблемы С.Смейла [52].

Той проблемы, которая была сформулирована в ответ на письмо В.И.Арнольда, одного из лучших учеников А.Н.Колмогорова. Андрей Николаевич (вслед за Ньютоном) всегда высоко оценивал индуктивный метод исследования природы, и этот подход с энтузиазмом воспринял В.И.Арнольд, неоднократно повторявший, что «математика - экспериментальная наука».

Мы можем восхититься тем, что индукция и аналогия - вероятностные стратегии, в плодотворности которых был убежден А.Н.Колмогоров, дают решение 18-й проблемы С.Смейла!

Литература

1. Сосинский А.Б. А.Н.Колмогоров в воспоминаниях учеников // Квант. - 1988. - № 11-12. - С.2-11.

2. Бернштейн С.Н. Петербургская школа теории вероятностей // Природа. - 1939. - № 8. - С.17-22.

3. Майстров Л.Е. Теор. вероятн. Истор. очерк. - М.: «Наука», 1967. - 320 с.

4. Медведев Ф.А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX-ХХ вв. - М.: «Наука», 1976. - 231 с.

5. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. - М.: «Наука», 1974. - 120 с.

6. Полищук Е.М. Эмиль Борель. - Ленинград: «Наука», 1980. - 169 с.

7. Шевелёв Г.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - Томск: изд-во Томского политехнического университета, 2019. - 114 с.

8. Ершов Ю.Л., Целищев В.В. Алгоритмы и вычислимость в человеческом познании. - Новосибирск: изд-во СО РАН, 2012. - 504 с.

9. Тихомиров В.М. Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987): жизнь, преисполненная счастья. - М.: «Наука», 2006. - 199 с.

10. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 184 с.

11. Никитенков Н.Н., Никитенкова Н.А. Синергетика для инженеров. - Томск: изд-во Томского политехнического университета, 2009. - 168 с.

12. Трубецков Д.И. Турбулентность и детерминированный хаос // Соросовский образовательный журнал. - 1998. - № 1. - С.77-83.

13. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Доклады АН СССР. - 1941. - Том 30. - № 4. - С.299-303.

14. Обухов А.М. Течение Колмогорова и его лабораторное моделирование // Успехи математических наук. - 1983. - Том 38. - № 4 (232). С.101-111.

15. Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы. Часть 2. - Пермь: Пермский государственный технический университет, 1999. - 136 с.

16. Фортова С.В. Вихревой каскад неустойчивостей и переход к турбулентности // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Том 54. - № 3. - С.536-544.

17. Синай Я.Г. Воспоминания об А.Н.Колмогорове // сб. «Колмогоров в восп. ученик.». Под ред. А.Н.Ширяева. - М.: МЦНМО, 2006. - С.205-207.

18. Баренблатт Г.И. Турбулентные пограничные слои при очень больших числах Рейнольдса // Успехи математических наук . - 2004. - Том 59. № 1 (355). - С.45-62.

19. Колмогоров А.Н. О сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Доклады АН СССР. - 1954. - Том 98. - № 4. - С.527-530.

20. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблема устойчивости в классической и небесной механике // Успехи математических наук. - 1963. - Том 18. - № 6 (114). - С.91-192.

21. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. - М.: «Факториал», 1999. - 768 с.

22. Севрюк М.Б. К истории теории КАМ // Нелинейная динамика». - 2016. - Том 12. - № 2. - С.289-293.

23. Козлов В.В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. - Москва- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 320 с.

24. Арнольд В.И. Об А.Н. Колмогорове // сборник «Колмогоров в воспоминаниях учеников». Под ред. А.Н.Ширяева. - М.: МЦНМО, 2006. - С.34-53.

25. Тихомиров В.М. Леонид Витальевич Канторович (к 100-летию со дня рождения) // сборник «Историко-математические исследования». - 2014. - № 15 (50). - С.16-24.

26. Поляк Б.Т. Метод Ньютона и его роль в оптимизации и вычислительной математике // Труды ИСА РАН. - 2006. - Том 28. - С.48-66.

27. Проблемы Гильберта. Под ред. П.С. Александрова. - М.: «Наука», 1969. - 240 с.

28. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных // Доклады АН СССР. - 1956. - Том 108. - № 2. - С.179-182.

29. Арнольд В.И. О функциях трех переменных // Доклады АН СССР. - 1957. - Том 114. - № 4. - С.679-681.

30. Иоффе Б.Л. Кое-что из истории атомного проекта в СССР // Сибирский физический журнал. - 1995. - № 2. - С.67-87.

31. Витушкин А.Г. Полвека - как один день // Успехи математических наук. - 2002. - Том 57. - № 1 (343). - С.191-206.

32. Арнольд В.И. О представлении функций нескольких переменных в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных // Математическое просвещение. Серия 2. - 1958. - № 3. - С.41-61.

33. Тихомиров В.М. А.С.Кронрод (1921-1986) // Математическое просвещение. Серия 3. - 2002. - № 6. - С.49-54.

34. Колмогоров А.Н. К работам о суперпозициях // Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика. - М.: «Наука», 1985. - С.444-445.

35. Ясницкий Л.Н. Интеллектуальные системы. - М.: «Лаборатория знаний», 2016. - 221 с.

36. Вершик А.М. Информация, энтропия, динамика // сборник «Математика XX века. Взгляд из Петербурга». - М.: МЦНМО, 2010. - С.4776.

37. Хинчин А.Я. Понятие энтропии в теории вероятностей // Успехи математических наук. - 1953. - Том 8. - № 3 (55). - С.3-20.

38. Хинчин А.Я. Об основных теоремах теории информации // Успехи математических наук. - 1956. - Том 11. - № 1. - С.17-75.

39. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и эндоморфизмов пространства Лебега // Доклады АН СССР. - 1958. - Том 119. - № 5. - С.861-864.

40. Колмогоров А.Н. Энтропия на единицу времени как метрический инвариант автоморфизма // Доклады АН СССР. - 1959. - Том 124. - № 4. -С.754-755.

41. Мартин Н., Ингленд Дж. Математическая теория энтропии. - М.: «Мир», 1988. - 350 с.

42. Аров Д.З. К истории возникновения понятия е-энтропии автоморфизма пространства Лебега и понятия (е,Т)-энтропии динамической системы с непрерывным временем // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2015. - Том 436. - С.76-100.

43. Колмогоров А.Н. Три подхода к определению понятия «кол-о информации» // Пробл. передачи информации. - 1965. - Том 1. - № 1. - С.3-11.

44. Успенский В.А., Вьюгин В.В. Становление алгоритмической информации в России // Информационные процессы. - 2010. - Том 10. - № 2. - С.145-158.

45. Успенский В.А. Предварение для читателей «Нового литературного обозрения» к семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова // Новое литературное обозрение. - 1997. - № 24. - С.122-215.

46. Манин Ю.И. Математика как метафора. - М.: МЦНМО, 2008. - 400 с.

47. Кунин Е. Логика случая. О природе и происхождении биологической эволюции. - М.: «Центрполиграф», 2014. - 527 с.

48. Карацуба А.А. Комментарии к моим работам, написанные мной самим // Современные проблемы математики. - 2013. - № 17. - С.7-29.

49. Арнольд В.И. Что такое математика? - М.: МЦНМО, 2002. - 104 с.

50. Пенроуз Р. Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 384 с.

51. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М.: «Наука», 1975. - 464 с.

52. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия // сборник «Современные проблемы хаоса и нелинейности». - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - С.280-303.

Размещено на Allbest.ru