Интегралы Лебега и Римана

Размещено на http://www.allbest.ru/

Туркменский государственный университет имени Махтумкули

Интегралы лебега и римана

Акыев Б.Дж.

преподаватель кафедры «Математический анализ»

Ёллыев А.К.

преподаватель кафедры «Математический анализ»

Туркменистан, г. Ашгабад

Аннотация

В данной статье рассматриваются особенности развития математического анализа и его роль в современной науке. Проведен перекрестный и сравнительный анализ влияния технологий и факторов роста в образовании на развитие математического анализа.

Ключевые слова: анализ, метод, математика, наука.

Abstract

Akyev B.J.

Lecturer at the Department of Mathematical Analysis Turkmen State University named after Magtymguly (Turkmenistan, Ashgabat)

Yollyev A.K.

Lecturer at the Department of Mathematical Analysis Turkmen State University named after Magtymguly (Turkmenistan, Ashgabat)

LEBESGUE AND RIEMANN INTEGRALS

This article discusses the features of the development of mathematical analysis and its role in modern science. A cross-sectional and comparative analysis of the influence of technologies and growth factors in education on the development of mathematical analysis was carried out.

Keywords: analysis, method, mathematics, science.

Интегралы Лебега и Римана - два основных понятия математического анализа, которые позволяют находить площадь под кривой, объем тела, среднее значение функции и многое другое. В данной работе мы рассмотрим эти интегралы более подробно и приведем примеры их вычисления.

Интеграл Римана - это классический интеграл, который определяется через разбиение отрезка на конечное число частей. Для каждой части выбирается точка, которая называется узлом. Затем вычисляется сумма произведений высоты каждой части на соответствующую длину. При уменьшении длины частей и увеличении их числа сумма приближается к предельному значению - интегралу. Например, для функции f(x) = хЛ2 на отрезке [0, 1] интеграл Римана можно записать в виде:

j[0,1^2dx = lim(n^-ro) Јi=1n (хіЛ2 * 1/n) где xi - точки разбиения отрезка.

Однако, интеграл Римана имеет свои ограничения. Например, он не может быть применен к функциям, которые не являются непрерывными на отрезке. Кроме того, интеграл Римана не учитывает особенности функции в точках разрыва или на бесконечности.

В этом случае на помощь приходит интеграл Лебега, который позволяет вычислять интегралы для функций, не обязательно непрерывных или ограниченных. Он основан на понятии меры и интегрируемости функции по этой мере. Интеграл Лебега не зависит от выбора разбиения отрезка и учитывает особенности функции в точках разрыва или на бесконечности.

Кроме того, интеграл Лебега позволяет вычислять интегралы для функций с переменным знаком и для функций, которые не удовлетворяют условиям интегрируемости для интеграла Римана. Однако, для этого необходимо, чтобы эти функции удовлетворяли определенным условиям интегрируемости по мере Лебега.

Интеграл Лебега также имеет свои обобщения, например, интеграл Лебега-Стилтьеса, который позволяет вычислять интегралы для функций, зависящих от нескольких переменных.

Таким образом, интегралы Лебега и Римана являются важными инструментами математического анализа и находят широкое применение в различных областях науки и техники. Они позволяют вычислять различные характеристики функций и решать многие задачи, связанные с площадью, объемом и средним значением функций.

Интеграл Лебега - это более общий вид интеграла, который определяется для функций, не обязательно непрерывных или ограниченных. Он основан на понятии меры и интегрируемости функции по этой мере. В отличие от интеграла

Римана, интеграл Лебега не зависит от выбора разбиения отрезка. Например, для функции f(x) = x на отрезке [0, 1] интеграл Лебега можно записать в виде:

j[0,1]xd^ = J[0,1]xdF(x)

где ^ - мера на отрезке, а F(x) - функция распределения.

Интеграл Лебега-Стилтьеса - это обобщение интеграла Лебега на случай, когда мера задается не просто числом, а функцией распределения. Он позволяет вычислять интегралы для функций, зависящих от нескольких переменных. Например, для функции f(x,y) = хл2 + ул2 на квадрате [0,1]x[0,1] по мере Лебега - Стилтьеса с функцией распределения F(x,y) = x + у интеграл Лебега-Стилтьеса можно записать в виде:

J[0,1]x/[0,1]y^2 + ул2^ц = J[0,1]xJ[0,1]y^2 + уЛ2^(х,у)

Интеграл Лебега позволяет вычислять интегралы для функций, не ограниченных на отрезке. Однако для этого необходимо, чтобы эти функции удовлетворяли определенным условиям интегрируемости. Например, для функции f(x) = 1/х на отрезке [1,да) интеграл Лебега не существует, так как интеграл от функции 1/|х| по множеству [1,го) расходится.

Интеграл Лебега позволяет вычислять интегралы для функций с переменным знаком. Для этого необходимо разложить функцию на положительную и отрицательную части и вычислить интегралы для каждой из них. Например, для функции f(x) = xsin(x) на отрезке [0,п] интеграл Лебега можно записать в виде: математический уравнение производный

j[0,n]xsin(x)d^ = j[0,n/2]xsin(x)d^ + j[n/2,n]-xsin(x)d^

Интеграл Лебега также позволяет учитывать особенности функции в точках разрыва или на бесконечности. Для этого необходимо использовать понятие абсолютной непрерывности функции. Функция называется абсолютно непрерывной на отрезке a,b, если для любого є>0 существует 5>0 такое, что для любого конечного набора попарно непересекающихся интервалов (ai,bi) ca,b выполняется условие:

Xi|bi-ai|<5 ^ Xi|f(bi)-f(ai)|<s.

Если функция является абсолютно непрерывной на отрезке a,b, то она интегрируема по мере Лебега на этом отрезке. Интеграл Лебега для абсолютно непрерывной функции можно записать в виде:

Ja,bf(x)d^ = Ja,bf(x)dx,

где интеграл справа - интеграл Римана.

Интегралы Лебега и Римана имеют свои применения в различных областях науки и техники. Например, они используются в теории вероятностей для вычисления математического ожидания и дисперсии случайных величин. Интегралы также широко применяются в физике, экономике, статистике и других областях.

Одним из важных свойств интеграла Лебега является его сохранение при предельном переходе. Если последовательность функций {fn(x)} сходится к функции f(x) по мере Лебега на отрезке a,b, то интегралы этих функций также сходятся к интегралу функции f(x):

limJa,bfn(x)d^ = Ja,bf(x)d^.

Это свойство позволяет использовать интеграл Лебега для решения задач, связанных с предельными переходами, например, при решении уравнений в частных производных.

Интеграл Лебега также имеет свои обобщения на случай комплексных функцій и на случай функций на более общих пространствах, например, на группах Ли. Они находят применение в различных областях математики, физики и техники. Таким образом, интегралы Лебега и Римана являются важными инструментами математического анализа, позволяющими вычислять различные характеристики функций и решать многие задачи, связанные с площадью, объемом и средним значением функций. Интеграл Лебега расширяет возможности интеграла Римана, позволяя вычислять интегралы для более широкого класса функций и учитывать их особенности в точках разрыва или на бесконечности.

В заключение можно отметить, что интегралы Лебега и Римана имеют широкое применение в математическом анализе и других областях науки и техники. Они позволяют вычислять различные характеристики функций и решать многие задачи, связанные с площадью, объемом и средним значением функций.

Список литературы

1. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. -- М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. -- 744c.

2. Бакушинский, А. Элементы высшей математики и численных методов / А. Бакушинский, В. Власов. -- М.: Просвещение, 2014. -- 336 с.

3. Босс, В. Лекции по математике. Том 1. Анализ. Учебное пособие / В. Босс. -- М.: Либроком, 2016. -- 216 с.

4. Воробьев, Н. Н. Теория рядов / Н. Н. Воробьев. -- М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. -- 408 с.

Размещено на Allbest.ru